Con vật kỳ quái được gọi là đường cong hình chuông Gauss này không phải là do Gauss tạo ra. Mặc dù đã nỗ lực làm việc với nó nhưng ông chỉ là một nhà toán học đối mặt với một quan điểm lý thuyết, chứ không phải đưa ra tuyên bố về cấu trúc thực tại giống như các nhà khoa học có đầu óc thống kê. Trong cuốn “A Mathematician’s Apology” (Lời xin lỗi của một nhà toán học) GH. Hardy đã viết như sau:

Môn toán học “thực sự” của các nhà toán học “thực sự” - như toán học của Fermat, Euler, Gauss, Abel và Riemann - hầu như đều “vô dụng” (và điều này đúng với cả toán học “ứng dụng” lẫn toán học “thuần túy”).

Như tôi đã nói trước đó, đường cong hình chuông chính là hình ảnh của một tay cờ bạc, Abraham de Moivre (1667-1754), một người Pháp tị nạn theo chủ nghĩa Canvin, đã trải qua phần lớn cuộc đời mình ở Luân Đôn dù nói bằng thứ tiếng Anh nặng trịch. Nhưng không phải Gauss mà chính Quételet - được cho là một trong những gã có tư tưởng phá hoại nhất trong lịch sử tư tưởng, như chúng ta sẽ thấy sau đây.

Adolphe Quételet (1796-1874) đưa ra ý niệm về một con người có thể chất bình thường, L’homme moyen. Chẳng có gì là moyen (bình thường) về Quételet cả, “một người có đam mê sáng tạo vĩ đại, một người tràn đầy năng lượng”, ông làm thơ và thậm chí đồng sáng tác một vở nhạc kịch. Vấn đề cơ bản với Quételet nằm ở chỗ ông là một nhà toán học chứ không phải một nhà khoa học thực nghiệm, nhưng bản thân ông lại không biết điều đó. Ông tìm thấy sự hòa hợp trong đường cong hình chuông.

Vấn đề này tồn tại ở hai mức. Thứ nhất, Quételet có một ý tưởng quy phạm (normative idea) là làm cho thế giới trùng khớp với mức trung bình của ông theo nghĩa mức trung bình đó là “bình thường”. Thật tuyệt nếu có thể bỏ qua sự xuất hiện của những thứ bất thường, “không bình thường”, Thiên Nga Đen. Nhưng hãy quay về thực tại và để giấc mơ đó cho một thế giới không tưởng.

Thứ hai, có một vấn đề rất nghiêm trọng về mặt thực nghiệm. Quételet nhìn thấy đường cong hình chuông ở khắp mọi nơi. Ông bị những đường cong hình chuông làm cho mù quáng và một lần nữa, tôi hiểu được rằng một khi trong đầu bạn đã xuất hiện một đường cong hình chuông thì sẽ rất khó lấy ra được, về sau, Frank Ysidro Edgeworth sẽ đề cập đến Quételesmus như một sai lầm nghiêm trọng của việc nhìn thấy đường cong hình chuông ở khắp mọi nơi.

Quételet tạo ra một sản phẩm hết sức cần thiết cho những khát khao tư tưởng của những người cùng thời với ông. Ông sống vào khoảng năm 1796 đến 1874, vì thế hãy xem xét danh sách những tên tuổi cùng thời với ông: Saint-Simon (1760-1825), Pierre-Joseph Proudhon (1809-1865), và Karl Marx (1818-1883), mỗi người là một phiên bản khác của chủ nghĩa xã hội. Mọi người trong thời điểm hậu Khai sáng này đều mong mỏi về thời aurea mediocritas - phương kế hành động ôn hòa: về sự giàu có, chiều cao, cân nặng, vv. Niềm mong mỏi này bao gồm một mơ tưởng nào đó cùng với mức độ hòa hợp và chủ nghĩa Plato thật lớn. Tôi luôn nhớ lời giáo huấn của bố tôi rằng “đức hạnh nằm ở trạng thái điều tiết” (in medio stat virtus). Quả thật, điều này được xem là lý tưởng trong một thời gian dài; theo nghĩa đó, mediocrity thậm chí trở thành “khuôn vàng thước ngọc”. Một mediocrity bao hàm tất cả.

Nhưng Quételet đã nắm bắt ý tưởng đó theo một mức độ hoàn toàn khác. Thu thập các số liệu thống kê, ông bắt đầu tạo ra các tiêu chuẩn về “các phương kế”. Vòng ngực, chiều cao và cân nặng của những em bé mới sinh, tất cả đều không thoát khỏi “các chuẩn mực” của ông. Ông phát hiện ra rằng các độ lệch chuẩn trở nên hiếm hoi theo cấp số nhân khi cường độ của độ lệch đó tăng lên. Về sau, khi đã nhận biết được ý tưởng về các đặc điểm vật lý của L’homme moyen (người bình thường) này, Quételet đã chuyển sang các vấn đề xã hội. L’homme moyen có các sở thích, giả định và phương pháp của riêng mình.

Thông qua cấu trúc về l’homme moyen physique và l’homme moyen moral - người bình thường về thể chất và người bình thường về trí tuệ - Quételet đã tạo ra một phạm vi chệch khỏi mức trung bình để chia con người sang nhóm hoặc bên trái hoặc bên phải so với tâm điểm và thực sự trừng phạt những ai tự thấy mình đang chiếm giữ phần cực trái hoặc cực phải của đường cong hình chuông thống kê đó. Khi đó, chúng trở thành thứ không bình thường. Điều này đã tạo cảm hứng cho Marx, người đã trích lời Quételet về khái niệm một người bình thường hoặc một người trung bình, và đã viết trong cuốn Das Kapital như sau: “Cần phải tối thiểu hóa những độ lệch về mặt xã hội, ví dụ trong phạm vi phân bổ tài sản chẳng hạn”.

Ngày nay, con người ít nhiều phải ngợi ca sự ra đời của cơ sở khoa học thời Quételet. Nhưng thời điểm đó, những luận điểm của ông không được chấp nhận ngay. Đầu tiên, Augustin Cournot, nhà triết họcnhà toán họcnhà kinh tế học, không tin rằng một người có thể hình thành nên tiêu chuẩn của con người chỉ dựa trên các yếu tố định lượng. Một tiêu chuẩn như thế sẽ phụ thuộc vào thuộc tính đã được xem xét. Phép đo ở tỉnh này có thể khác với phép đo ở tỉnh khác. Nên lấy tỉnh nào làm chuẩn? Cournot nói rằng L’homme moyen sẽ là một con quỷ. Tôi xin giải thích quan điểm của ông như sau.

Giả sử có một điều gì đó đáng mơ ước về việc trở thành một người trung bình, anh ta phải có một đặc điểm riêng mà trong đó anh ta có tài hơn người khác - tức là anh ta không thể trung bình ở tất cả mọi điểm. Một nghệ sĩ dương cầm sẽ giỏi chơi dương cầm hơn mức trung bình, nhưng lại dở ở một điểm khác, ví dụ như cưỡi ngựa chẳng hạn. Người phác thảo sẽ giỏi về các kỹ năng phác thảo, vv. Khái niệm về một người được cho là trung bình khác với khái niệm về một người trung bình ở những gì anh ta làm. Trên thực tế, một người trung bình chính xác phải là nửa nam nửa nữ. Quételet hoàn toàn bỏ qua điểm này.

Lỗi của Thượng đế

Một khía cạnh đáng lo hơn nhiều trong phần thảo luận này chính là, vào thời của Quételet, sự phân bổ Gauss được gọi là la loi des erreurs - luật sai số, vì một trong những ứng dụng sớm nhất của nó là sự phân bố các sai số trong các tính toán về thiên văn. Bạn có lo lắng giống như tôi không? Việc lệch khỏi mức trung bình (hay còn gọi là median) đã được xem như một sai số!

Khái niệm này diễn ra rất nhanh chóng. Từ phải bị nhầm lẫn với từ là, và điều này bị hiểu là sự tán thành của khoa học. Ý niệm về người trung bình thấm sâu vào nền văn hóa với sự ra đời của tầng lớp trung lưu châu Âu, văn hóa của chủ cửa hàng tạp hóa thời hậu Napoleon, luôn thận trọng về khối tài sản quá mức và trí tuệ vượt bậc. Trên thực tế, giấc mơ về một xã hội với những kết quả bị dồn nén được cho là cách phản ứng với nguyện vọng của một người lý trí đang đối mặt với sự may rủi phát sinh. Nếu được lựa chọn một xã hội cho kiếp sau của mình nhưng không biết điều gì chờ đón, có vẻ như bạn không phải là người thích mạo hiểm; bạn thích thuộc về một xã hội với những kết quả đồng nhất (không bị chệch so với mức trung bình).

Một hiệu ứng thú vị tô điểm cho mediocrity là sự hình thành một đảng phái chính trị tại Pháp có tên là Poujadism, ban đầu gồm một chiến dịch vận động của cửa hàng tạp hóa. Đó là một sự tụ tập thân mật giữa những người gần như ủng hộ hy vọng được nhìn thấy phần còn lại của thế giới tự dồn nén thành một cấp bậc - một trường hợp về cuộc cách mạng phi vô sản. Đảng phái này có tâm lý của chủ của hàng tạp hóa, cho đến việc áp dụng các công cụ toán học. Liệu có phải Gauss đã mang toán học đến cho những người chủ cửa hàng tạp hóa chăng?

Poincaré và sự giải thoát

Bản thân Poincaré rất nghi ngờ về đường cong Gauss. Tôi đồ là ông đã cảm thấy buồn nôn khi được giới thiệu về nó và các phương pháp tiếp cận tương tự trong việc phác họa mô hình về tính bất định, chỉ cần hiểu rằng đường cong Gauss ban đầu được dùng để đo các sai sót về thiên văn và rằng các ý tưởng của Poincaré về việc hình thành các mô hình cơ học thiên thể đều hàm chứa ý nghĩa sâu sắc về tính bất định.

Theo Poincaré, một trong những người bạn của ông, một “nhà vật lý thực nghiệm” vô danh, đã phàn nàn rằng các nhà vật lý có xu hướng sử dụng đường cong Gauss vì cho rằng các nhà toán học tin tưởng nó như một yếu tố cần thiết trong toán học; còn các nhà toán học sử dụng nó bởi vì tin rằng các nhà vật lý nhận thấy nó là một thực tế thực nghiệm.

Loại bỏ sự ảnh hưởng bất công

Ở đây, tôi xin tuyên bố rằng ngoại trừ tâm lý của cửa hàng tạp hóa kia, tôi thật sự tin vào giá trị của sự trung bình và mediocrity - có nhà nghiên cứu khoa học nhân văn nào lại không muốn giảm thiểu sự không nhất quán giữa con người? Không có gì đáng ghét hơn lý tưởng khinh suất về “siêu nhân”! Vấn đề thật sự của tôi thuộc về nhận thức luận. Thực tại là thứ không thuộc về Mediocristan, vì thế chúng ta phải học cách chung sống với nó.

“Người Hy Lạp hẳn đã tôn sùng nó”

Nhờ vào sự thuần khiết thuộc chủ nghĩa Plato, danh sách những người có đầu óc lúc nào cũng xoay quanh đường cong hình chuông này dài một cách đáng kinh ngạc.

Ngoài Charles Darwin ra, có lẽ Frands Galton, em họ đầu tiên của Charles Darwin và là cháu trai của Erasmus Darwin, là một trong những nhà khoa học lịch thiệp có tư tưởng độc lập cuối cùng của một danh sách gồm Lord Cavendish, Lord Kelvin, Ludwig Wittgenstein (theo cách riêng của ông), và trong chừng mực nào đó, có cả siêu triết gia của chúng ta, Bertrand Russell. Mặc dù John Maynard Keynes không thuộc lĩnh vực này nhưng lối tư duy của ông lại tiêu biểu cho nó. Galton sống vào thời Victoria, bên cạnh những sở thích như cưỡi ngựa hoặc săn bắn, thời mà những người thừa kế và nhàn rỗi, đã trở thành những tư tưởng gia, nhà khoa học hay chính trị gia (đối với những kẻ ít tài giỏi hơn). Có nhiều điều đáng khao khát vào thời đó: con người làm khoa học vì lợi ích của khoa học chứ không vì động cơ nghề nghiệp trực tiếp nào.

Thật đáng tiếc, chuyện làm khoa học vì lòng ham học hỏi và hiểu biết không nhất thiết khẳng định được rằng bạn đang đi đúng hướng. Sau khi chạm trán và tiếp thu sự phân phối “chuẩn” đó, Galton đã “chết mê chết mệt” nó. Người ta cho rằng ông đã tuyên bố là nếu người Hy Lạp biết về điều này, hẳn họ đã tôn sùng nó. Lòng nhiệt huyết của ông có lẽ đã góp phần tạo nên sự phổ biến của lý thuyết Gauss.

Galton không vinh hạnh có được hành trang toán học, nhưng lại có sự ám ảnh hiếm hoi về phép đo. Ông không biết về luật số lớn nhưng đã tái khám phá nó từ chính dữ liệu của luật này. Ông đã xây dựng nên quincunx - máy pinball hiển thị sự phát triển của đường cong hình chuông - mà chúng ta sẽ đề cập đến ở vài đoạn tiếp theo. Đúng vậy, Galton đã ứng dụng đường cong hình chuông vào những lĩnh vực như di truyền học, nơi mà tính hữu dụng của nó đã được chứng minh là đúng. Nhưng lòng nhiệt huyết của ông đã giúp thúc đẩy việc áp dụng các phương pháp thống kê mới vào các vấn đề xã hội.

Chỉ cần trả lời Có hoặc Không

Ở đây, tôi xin thảo luận về mức độ của thiệt hại đó. Nếu bạn đang đối mặt với kiểu suy luận định tính, như tâm lý học hoặc y học, việc tìm kiếm câu trả lời cókhông cho các mức độ nghiêm trọng sẽ không có tác dụng, khi đó bạn có thể giả định mình thuộc về Mediocristan mà không gặp phải chút rắc rối nghiêm trọng nào. Những sự kiện được cho là không thể xảy ra có tác động không quá lớn. Bạn bị ung thư hoặc không bị ung thư, bạn mang bầu hoặc không mang bầu, vv. Mức độ chết chóc hay mang thai không hề liên quan đến nhau (trừ khi bạn đang đối mặt với dịch bệnh). Nhưng nếu đang đối mặt với khối kết tập, nơi mà phạm vi ảnh hưởng của nó có ý nghĩa đáng kể, như thu nhập, tài sản, lợi nhuận từ các hạng mục đầu tư, hoặc doanh số bán sách, bạn sẽ gặp rắc rối và có sự phân phối không đúng nếu sử dụng đường cong Gauss vì nó không thuộc phạm vi này. Chỉ một con số đơn lẻ có thể phá vỡ toàn bộ các mức trung bình của bạn; một thất bại có thể làm tiêu tan lợi ích của cả một thế kỷ. Bạn sẽ không còn có thể nói rằng “đây là trường hợp ngoại lệ” Tuyên bố “À, tôi có thể mất tiền” sẽ không mang lại thông tin gì trừ khi bạn kèm theo đó một con số cụ thể. Có thể bạn mất hết toàn bộ số tiền có được, hoặc chỉ mất một phần thu nhập hàng ngày thôi; nhưng ở đây có một sự khác biệt.

Điều này giải thích vì sao tâm lý học thực nghiệm và những thấu hiểu của nó về bản chất con người, mà tôi đã trình bày trong những phần trước của cuốn sách này, lại có tác động mạnh mẽ đến sai lầm của việc sử dụng đường cong hình chuông; chúng cũng may mắn vì hầu hết các biến số của chúng đều cho phép ứng dụng các số liệu thống kê Gauss truyền thống. Khi tìm hiểu có bao nhiêu người trong một mẫu thử có thiên kiến, hoặc gây ra sai lầm, nhìn chung, những nghiên cứu này thường gợi ý cho kiểu câu hỏi cókhông. Không có quan sát đơn lẻ nào có thể phá vỡ những phát hiện tổng thể của chúng.

Trong phần tiếp theo, tôi sẽ trình bày riêng về ý tưởng đường cong hình chuông theo hướng từ dưới lên.