Hãy xem xét chiếc máy pinball như được thể hiện trong Minh họa 8. Với 32 quả bóng, giả sử ta có một tấm ván cân bằng để quả bóng có cả hai cơ hội rơi về bên phải hoặc trái ở bất kỳ ngả rẽ nào khi ăn điểm. Kết quả mà bạn mong đợi là nhiều quả bóng sẽ chạm vào các cột ở giữa và số lượng bóng sẽ giảm khi bạn chạm vào các cột cách xa trung tâm.

Kế tiếp, hãy xem xét gedanken, một thử nghiệm tư duy. Một người sẽ tung đồng xu và sau mỗi lần tung đó, anh ta sẽ bước qua trái hoặc qua phải một bước, phụ thuộc vào mặt xuất hiện của đồng xu đó. Đây được gọi là bước đi ngẫu nhiên. Thay vì dùng bước đi, bạn cũng có thể áp dụng hình thức thắng hoặc thua l đô-la ở mỗi lần tung đồng xu, và sẽ theo dõi số tiền tích lũy mà bạn có được trong túi. Giả sử tôi bố trí bạn tham gia vào một trò đánh cược (hợp pháp), nơi khả năng thắng thua không có lợi cho bạn mà cũng chẳng có hại cho tôi. Tung đồng xu lên, nếu là mặt ngửa, bạn được 1 đô-la, nếu là mặt sấp, tôi thua 1 đô-la.

Minh họa 8: Mô hình Quincunx (đã được đơn giản hóa) - Máy Pinball

Những lần bóng rơi để ăn điểm đều có thể ngẫu nhiên rơi sang phải hoặc sang trái. Minh họa trên là kịch bản có thể xảy ra nhất là điều này rất giống với đường cong hình chuông (hay còn gọi là luật phân phối Gauss). Ảnh của Alexander Taleb.

Ở lần tung đầu tiên, bạn có hai khả năng: hoặc thắng hoặc thua.

Ở lần tung thứ hai, số lượng kết quả có thể xảy ra sẽ tăng gấp đôi. Trường hợp 1: thắng, thắng. Trường hợp 2: thắng, thua. Trường hợp 3: thua, thắng. Trường hợp 4: thua, thua. Mỗi một trường hợp đều có xác suất như nhau, sự kết hợp của một thắng và một thua đều có phạm vi ảnh hưởng gấp đôi bởi vì trường hợp 2 và 3 - thắng, thua và thua, thắng - đều có kết quả bằng nhau. Và đó là yếu tố then chốt đối với đường cong Gauss. Qúa nhiều mức ở giữa mất đi - và chúng ta sẽ thấy có nhiều mức ở giữa này. Vì thế, nếu đánh cược ở mức 1 đô-lavòng, sau hai vòng, bạn sẽ có 25% cơ hội thắng hoặc thua 2 đô-la, nhưng có đến 50% cơ hội được hòa vốn.

Hãy tung bóng một lần nữa. Lần tung thứ ba này lại nhân đôi các trường hợp, vì thế chúng ta có tám kết quả có thể xảy ra. Trường hợp 1 (thắng, thắng trong lần tung thứ hai): thắng, thắng, thắng và thắng, thắng, thua. Chúng ta thêm một thắng hoặc thua vào cuối mỗi kết quả trước đó. Trường hợp 2: thắng, thua, thắng và thắng, thua, thua. Trường hợp 3: thua, thắng, thắng và thua, thắng, thua. Trường hợp 4: thua, thua, thắng và thua, thua, thua.

Lúc này chúng ta có tám kết quả, tất cả có thể bằng nhau. Xin lưu ý một lần nữa, bạn có thể nhóm các kết quả ở giữa, nơi mà một lần thắng sẽ bù lại cho một lần thua. (Trong mô hình quincunx của Galton, các tình huống nơi quả bóng rơi sang trái và sau đó rơi sang phải, hoặc ngược lại, chiếm ưu thế, và thế bạn sẽ có kết quả chung cuộc với nhiều mức ở giữa). Kết quả chung cuộc như sau: 1) ba thắng; 2) hai thắng, một thua, chung cuộc một thắng; 3) hai thắng, một thua, chung cuộc một thắng; 4) một thắng, hai thua, chung cuộc một thua; 5) hai thắng, một thua, chung cuộc là một thắng; 6) hai thua, một thắng, chung cuộc một thua; 7) hai thua, một thắng, chung cuộc một thua; 8) ba thua.

Trong số tám trường hợp thì trường hợp có ba lần thắng xảy ra một lần. Trường hợp ba lần thua xảy ra một lần. Trường hợp một lần thua chung cuộc (một thắng, hai thua) xảy ra ba lần.

Hãy thử thêm một lần nữa, lần thứ tư. Có thể có mười sáu kết quả tương tự. Bạn sẽ có một trường hợp với bốn lần thắng, một trường hợp với bốn lần thua, bốn trường họp có hai lần thắng, bốn trường hợp có hai lần thua, và sáu trường hợp hòa vốn.

Mô hình quincunx (từ này xuất phát từ tiếng La-tinh có nghĩa là số 5) trong ví dụ về trò chơi pinball cho thấy, lần tung thứ năm, với 64 khả năng có thể xảy ra, là lần dễ theo dõi. Đó chính là khái niệm đằng sau mô hình quincunx được Frands Galton sử dụng. Galton là người vừa không đủ lười biếng vừa hơi ngây thơ về toán học; thay và xây dựng phương pháp của riêng mình, ông hẳn đã có thể sử dụng môn đại số học đơn giản hơn, hoặc có thể thực hiện một thử nghiệm tư duy như thử nghiệm này.

Minh họa 9: Số lượng các lần thắng đã được tung

Kết quả của 40 lần tung đồng xu. Chúng ta thấy đường cong hình chuông đang xuất hiện

Hãy tiếp tục chơi cho đến khi đạt được 40 lần tung. Bạn có thể tiến hành trong vài phút, nhưng cần phải có máy tính mới có thể tính được các kết quả vì phương pháp tư duy đơn giản của chúng ta không thể nào đảm đương nổi. Bạn sẽ có khoảng 1.099.511.627.776 tổ hợp có thể xảy ra - tức hơn 1000 tỷ. Đừng phí công tính toán theo cách thủ công, quy tắc của nó là nhân đôi và cứ thế lặp lại 40 lần, vì mỗi nhánh sẽ tăng gấp đôi ở mỗi giao điểm. (Hãy nhớ lại cách chúng ta thêm một thắng và một thua vào cuối các phương pháp thay thế của lần tung thứ ba để áp dụng cho lần tung thứ tư, từ đó nhân đôi số lượng các hình thức thay thế.) Trong số những tổ hợp này, chỉ có một trường hợp trên 40 và một trường hợp dưới 40. Phần còn lại sẽ dao động ở khoảng giữa, gần 0.

Chúng ta có thể thấy rằng trong loại hình ngẫu nhiên này, các điểm cực trở nên vô cùng hiếm hoi. Trong số 40 lần tung đồng xu, chỉ có một trên 1.099.511.627.776 trường hợp là có kết quả trên 40. Nếu bạn thực hiện 40 lần tung mỗi giờ, khả năng đạt được các mức trên 40 trong một hàng sẽ thấp đến mức phải mất khoảng 40 lần tung thử mới đạt được. Giả sử dừng lại để ăn uống, nghỉ ngơi, tranh luận với bạn bè, bạn có thể phải đợi gần bốn triệu lần thời gian sống của một đời người để có cơ hội đạt được một kết quả trên 40 (hoặc một kết quả dưới 40). Và hãy xem xét trường hợp sau đây. Giả sử bạn chơi thêm một vòng nữa, để có tổng cộng là 41 lần. Để đạt được 41 lần liên tiếp toàn mặt ngửa của đồng xu, người ta sẽ mất khoảng tám triệu thời gian sống của một đời người! Khả năng này sẽ giảm xuống còn một nửa từ lần tung thứ 40 sang lần tung thứ 41. Đây là thuộc tính chính của mô hình phi thang bậc đối với việc phân tích các kết quả: các độ lệch cực độ sẽ ngày càng giảm nhanh hơn. Bạn kỳ vọng một lần trong bốn tỷ lần thời gian sống có thể tung được 50 mặt ngửa liên tiếp.

Minh họa 10: Một phiên bản trừu tượng hơn: đường cong Plato

Vô số lần tung đồng xu

Dù không hoàn toàn ở trong đường cong hình chuông Gauss, nhưng chúng ta đang tiến đến gần nó một cách đáng báo động. Đây vẫn thuộc giai đoạn tiền Gauss, nhưng bạn có thể nhìn thấy thực chất vấn đề. (Trên thực tế, bạn không bao giờ có thể bắt gặp một đường cong Gauss ở dạng nguyên thủy vì nó là một dạng thức Plato - bạn chỉ đến gần chứ không thể đạt được nó). Tuy nhiên, như có thể thấy ở Minh họa 9, hình chuông quen thuộc bắt đầu xuất hiện.

Làm cách nào chúng ta có thể đến gần hơn với đường cong hình chuông Gauss hoàn hảo đó? Bằng cách hoàn thiện quy trình tung đồng xu. Chúng ta có thể hoặc tung 40 lần với mỗi lần được 1 đô-la hoặc 4000 lần với mỗi lần được 10 xu, và tổng hợp các kết quả đó lại. Rủi ro mà bạn có thể gặp phải ở hai tình huống đều như nhau - và đó là một thủ thuật. Sự tương đương trong hai đợt tung đồng xu có rất ít tình huống bất ngờ theo kiểu phản trực giác. Chúng ta nhân số lần cược đó với 100, nhưng chia quy mô cá cược cho 10 - đừng tìm hiểu nguyên nhân vào lúc này, chỉ giả định rằng chúng “tương đương”. Toàn bộ rủi ro đó đều tương đương, nhưng giờ đây, chúng ta đã có khả năng thắng hoặc thua 400 lần liên tiếp. Khả năng đó có tỷ lệ khoảng 1 trên 1 và 120 con số 0 sau đó, tức là trên 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00 0.000.000.000.000.000.000.000.000 lần.

Tiếp tục với quy trình này. Chúng ta di chuyển từ mức 40 lần tung với mỗi lần được 1 đô-la đến 4000 lần tung với mỗi lần được 10 xu, cho đến 400.000 lần tung với mỗi lần được 1 xu, và càng tiến gần hơn đến đường cong Gauss. Minh họa 10 cho thấy các kết quả dao động từ khoảng -40 đến 40, tức là 80 điểm plot. Lần tiếp theo sẽ nâng con số đó lên 8000 điểm.

Hãy cùng tiếp tục. Chúng ta có thể tung 4.000 lần với mỗi lần đặt cược 1/10 xu. Vậy thử tung 400.000 lần với mức cược 1/1000 xu xem sao? Như một dạng thức Plato, đường cong Gauss thuần túy chính là những gì xảy ra khi có vô số lần tung mỗi vòng, với mức đặt cược cực nhỏ. Đừng cố hình dung các kết quả đó, hay thậm chí tìm kiếm ý nghĩa của chúng. Chúng ta không thể nói về một mức đặt cược “vi phân” (vì có vô số mức đặt cược, và chúng ta đang ở trong giới hạn mà các nhà toán học gọi là cơ cấu liên tục (continuous framework). Tin vui ở đây là có một cách thay thế.

Chúng ta đã chuyển từ hình thức cá cược đơn giản sang một thứ hoàn toàn trừu tượng. Chúng ta đã di chuyển từ các quan sát đến phạm vi toán học. Trong toán học, mọi thứ đều mang một vẻ thuần túy.

Giờ đây, người ta cho rằng những thứ hoàn toàn trừu tượng không tồn tại, vì thế đừng cố gắng hiểu Minh họa 10. Chỉ cần biết được cách sử dụng nó. Hãy xem nó như một nhiệt kế: Bạn không cần phải hiểu ý nghĩa của nhiệt độ để nói chuyện với nó. Bạn chỉ cần biết được sự tương ứng giữa nhiệt độ và sự thoải mái (hoặc một lý do thực nghiệm nào đó). 600F có nghĩa là thời tiết dễ chịu, nhưng dưới 100 thì lại chẳng dễ chịu chút nào. Bạn không nhất thiết phải quan tâm đến tốc độ thực tế của những va chạm giữa các vật thể để hiểu về nhiệt độ theo cách chuyên môn. Nói cách khác, nhiệt độ là phương tiện để bạn diễn giải về các hiện tượng bên ngoài thành một con số. Tương tự, đường cong hình chuông Gauss sẽ được thiết lập để 68,2% các quan sát sẽ rơi vào giữa các độ lệch chuẩn -1 và +1 so với mức trung bình. Tôi xin lặp lại: đừng cố gắng hiểu độ lệch chuẩn có phải là độ lệch trung bình hay không - nó không phải là độ lệch trung bình, đồng thời nhiều (quá nhiều) người sử dụng từ độ lệch chuẩn này cũng không hiểu được nó. Độ lệch chuẩn chỉ là một con số mà theo đó mọi thứ được đối chiếu, một vấn đề về sự tương ứng nếu các hiện tượng thuộc đường cong Gauss.

Những độ lệch chuẩn này thường có tên hiệu là “xích-ma”. Mọi người cũng nói về “phương sai” (tương tự: phương sai là bình phương của xích- ma, tức bình phương của độ lệch chuẩn).

Hãy lưu ý tính đối xứng trong đường cong này. Bạn sẽ nhận được những kết quả giống nhau dù xích-ma đó là âm hay dương. Khả năng rơi xuống dưới mức -4 xích-ma cũng bằng khả năng vượt quá 4 xích-ma, ở đây tỷ lệ là 1 trên 32.000 lần.

Như tôi vẫn nói, bạn đọc có thể thấy được rằng điểm chính của đường cong hình chuông Gauss là hầu hết các quan sát đều xoay quanh mediocre, tức là mức trung bình, trong khi khả năng của một độ lệch chuẩn lại suy giảm ngày càng nhanh (theo cấp số nhân) khi bạn rời xa mức trung bình đó. Nếu bạn cần phải giữ lại một thông tin nào đó, hãy luôn ghi nhớ tốc độ suy giảm mạnh mẽ này khi bạn rời xa mức trung bình. Các yếu tố ngoại lai sẽ ngày càng khó xảy ra. Bạn có thể yên tâm bỏ qua chúng.

Thuộc tính này cũng tạo ra luật tối thượng của Mediocristan: căn cứ theo sự khan hiếm của các độ lệch chuẩn lớn, vai trò của chúng trong tổng thể sẽ rất nhỏ.

Trong phần ví dụ về chiều cao ở đầu chương này, tôi đã sử dụng các đơn vị lệch chuẩn 10cm, chỉ ra cách suy giảm của phạm vi ảnh hưởng khi chiều cao tăng lên. Đây là những độ lệch 1 xích-ma; minh họa về chiều cao cũng cung cấp ví dụ về hoạt động của “vẽ theo một xích-ma” bằng cách sử dụng xích-ma như một đơn vị đo lường.

Lưu ý rằng các giả định trọng tâm mà chúng ta đã đưa ra trong trò chơi tung đồng xu dẫn đến đường cong Gauss nguyên thủy, hay sự ngẫu nhiên ôn hòa.

Giả định trọng tâm thứ nhất: những lần tung đều không liên quan với nhau. Đồng xu đó không có trí nhớ. Việc bạn được mặt sấp hay mặt ngửa ở lần tung trước không ảnh hưởng đến khả năng đạt được mặt sấp hay mặt ngửa ở lần tung thứ hai. Bạn không thể trở thành người tung đồng xu “giỏi hơn” được. Nếu bạn đưa được trí nhớ hay kỹ năng vào quá trình tung đồng xu, khi đó toàn bộ đường cong Gauss sẽ không thể trụ vững được nữa.

Hãy nhớ lại các thảo luận của chúng ta ở Chương 14 về “quá trình phân phối ưu tiên” (preferential attachment) và lợi thế lũy tích (cumulative advantage). Cả hai lý thuyết này đều khẳng định rằng việc chiến thắng hôm nay sẽ khiến bạn có nhiều khả năng chiến thắng về sau. Do đó, các khả năng xảy ra sẽ phụ thuộc vào lịch sử, và giả định trọng tâm đầu tiên dẫn đến đường cong hình chuông Gauss sẽ thất bại trong thực tiễn. Dĩ nhiên, trong trò chơi, những lần thắng trong quá khứ không nhất thiết sẽ làm tăng khả năng giành chiến thắng ở những lần sau đó - nhưng điều này không diễn ra trong cuộc sống thực, đó là lý do tại sao tôi lo lắng về việc giảng dạy bộ môn xác suất từ các trò chơi. Nhưng khi việc chiến thắng dẫn đến nhiều chiến thắng hơn nữa, bạn càng có nhiều khả năng chứng kiến 40 lần thắng liên tiếp nhiều hơn so với một đường cong Gauss nguyên thủy.

Giả định trọng tâm thứ hai: không có trường hợp thay đổi “dữ dội”. Ai cũng biết rõ kích thước bậc thang của khối bêtông làm sẵn trong xây dựng là vừa cho một bước chân. Không có sự bất định trong kích cỡ của bậc thang đó. Chúng ta không gặp phải những tình huống nơi bước di chuyển đó thay đổi một cách khác thường.

Hãy nhớ rằng nếu không đáp ứng được một trong hai giả định trung tâm này, các bước di chuyển (hoặc các lần tung đồng xu) sẽ không tạo ra đường cong hình chuông. Dựa vào những gì xảy ra, chúng có thể tạo ra sự ngẫu nhiên có quy mô bất biến theo kiểu tập hợp Mandelbrot.

“Sự tràn ngập khắp nơi của đường cong Gauss”

Thay vì nghiên cứu các mô hình có thể tạo ra tính ngẫu nhiên không thuộc đường cong hình chuông để từ đó tạo ra các sai sót giống nhau trong quá trình lý thuyết hóa mù quáng, tôi đã làm điều trái ngược: tìm cách hiểu tường tận về đường cong hình chuông đến mức có thể và xác định nơi nào nó có thể tồn tại và nơi nào không. Tôi biết Mediocristan ở đâu. Đối với tôi, chính những người sử dụng đường cong hình chuông thường xuyên (hay nói đúng hơn, hầu như luôn) là người không hiểu rõ, và phải chứng minh về nó, chứ không phải những người không sử dụng. Sự xuất hiện của đường cong Gauss ở khắp nơi không phải là thuộc tính của thế giới, mà là vấn đề thuộc suy nghĩ của chúng ta, xuất phát từ cách nhìn nhận của chúng ta.

Chương tiếp theo sẽ chỉ ra quy mô bất biến của tự nhiên và các thuộc tính của tập trung phân dạng. Chương tiếp sau đó sẽ tìm hiểu về việc lạm dụng đường cong Gauss trong đời sống kinh tế xã hội và “sự cần thiết phải sản sinh ra các lý thuyết”.

Đôi khi, tôi hơi dễ xúc động vì đã trải qua phần lớn cuộc đời suy nghĩ về vấn đề này. Vì đã bắt đầu suy nghĩ về nó, và tiến hành nhiều thực nghiệm tư duy ở trên, trong cuộc đời mình, tôi chưa gặp được người nào trong giới kinh doanh và thống kê có khả năng trí tuệ nhất quán vừa tiếp nhận Thiên Nga Đen vừa chối bỏ các công cụ Gauss. Nhiều người chấp nhận ý tưởng Thiên Nga Đen của tôi nhưng lại không hiểu nó đúng với kết luận ban đầu, tức là bạn không thể sử dụng một công cụ đo lường tính ngẫu nhiên đơn lẻ được gọi là độ lệch chuẩn (và gọi nó là “rủi ro”); bạn không thể kỳ vọng một câu trả lời đơn giản sẽ nêu bật được đặc tính của sự bất định. Để tiến xa hơn nữa đòi hỏi phải có lòng can đảm, sự tận tụy, khả năng kết nối các điểm, và lòng khao khát được hiểu về tính ngẫu nhiên một cách trọn vẹn. Điều đó cũng có nghĩa là không lấy sự thông thái của người khác làm nguyên tắc chỉ đạo. Về sau, tôi bắt đầu tìm thấy các nhà vật lý - những người đã chối bỏ các công cụ Gauss nhưng lại rơi vào tội lỗi khác: sự cả tin về những mô hình dự đoán chính xác, chủ yếu là những sự trau chuốt xoay quanh quá trình phân phối ưu tiên ở Chương 14 - một dạng thức khác của Plato hóa. Tôi không thể tìm thấy người nào vừa có chiều sâu vừa có kỹ năng khoa học - người có thể nhìn vào thế giới ngẫu nhiên và hiểu được bản chất của nó, người có thể xem các tính toán như một công cụ hỗ trợ chứ không phải mục đích chính. Phải mất gần mười lăm năm tôi mới tìm thấy được nhà tư tưởng đó, người đã khiến cho nhiều thiên nga có màu xám: Mandelbrot - Benoit Mandelbrot vĩ đại.