Bây giờ, vì sao tôi gọi công việc này là sự ngẫu nhiên Mandelbrot, hay sự ngẫu nhiên phân dạng? Từng mảnh ghép nhỏ của bài toán đã được nhắc đến trước đó bởi những người như Pareto, Yule và Zipf, nhưng chính Mandelbrot là người a) kết nối chúng lại với nhau, b) tạo ra mối liên hệ giữa tính ngẫu nhiên và hình học (và một phân nhánh đặc biệt ở đó), đồng thời c) đi đến kết luận tự nhiên về vấn đề đó. Quả thực, nhiều nhà toán học nổi tiếng hiện nay một phần là nhờ Mandelbrot đã đi sâu nghiên cứu các công trình của họ để phục vụ cho những tuyên bố của ông - chiến lược mà tôi đã áp dụng trong cuốn sách này. “Tôi phải hư cấu về các bậc tiền bối của mình để được mọi người nhìn nhận một cách nghiêm túc”, ông từng nói với tôi như thế, và đã sử dụng sự tin cậy của những nhân vật quyền lực và có ảnh hưởng như một công cụ tu từ. Một người hầu như lúc nào cũng có thể tìm kiếm một tư tưởng nào đó từ các bậc tiền bối của mình. Bạn có thể tìm thấy một người nào đó đã nghiên cứu về lý luận của bạn và sử dụng nghiên cứu đó để hỗ trợ cho chính mình. Mối liên hệ mang tính khoa học với một ý tưởng lớn, “brand name” (tên nhãn hiệu), sẽ thuộc về người có khả năng kết nối các điểm chứ không phải người chỉ thực hiện một quan sát ngẫu nhiên - thậm chí Charles Darwin, người đã được các nhà khoa học văn hóa thấp cho là “đã bịa đặt” về sự sống sót của những loài thích hợp nhất, không phải là người đầu tiên nói về điều này. Trong phần giới thiệu của cuốn Nguồn gốc muôn loài (The Origin of Species), ông đã viết rằng những sự kiện mà mình trình bày không nhất thiết phải nguyên bản, mà là những kết quả ông cho là “thú vị” (vì ông nhận xét nó với sự khiêm nhường đặc trưng thời Victoria). Cuối cùng, chính những người rút ra kết luận và nắm bắt được tầm quan trọng của các ý tưởng, nhìn thấy được giá trị thật sự của chúng sẽ là người chiến thắng. Họ là những người nói về chủ đề này.

Do đó, tôi sẽ mô tả về hình học của Mandelbrot.

Hình tam giác, hình vuông, hình tròn và các khái niệm hình học khác khiến nhiều người buồn ngủ trong lớp học có lẽ là những khái niệm trong sáng và đẹp đẽ, nhưng có vẻ như chỉ xuất hiện trong suy nghĩ của các kiến trúc sư, các nhà thiết kế, các tòa nhà nghệ thuật hiện đại, và các giáo viên nhiều hơn so với chính bản chất của nó. Điều này chính xác, ngoại trừ một điều là hầu hết chúng ta đều không nhận ra. Các ngọn núi không phải là hình tam giác hay hình kim tự tháp; cây cối không phải là hình tròn; các đường thẳng hiếm khi xuất hiện ở khắp nơi. Mẹ Thiên Nhiên không tham dự các khóa học về hình học và cũng không đọc những cuốn sách về Euclid của Alexandria. Môn hình học của Mẹ Thiên Nhiên có hình dạng lởm chởm nhưng với một lôgic riêng rất dễ hiểu.

Tôi đã nói rằng chúng dường như thiên về Plato hóa, và chỉ nghĩ trong phạm vi những gì đã nghiên cứu: không ai, dù là thợ nề hay nhà triết học tự nhiên, có thể dễ dàng thoát khỏi tình trạng nô lệ đó. Hãy xem xét nội dung sau của Galileo vĩ đại, nếu không thì đó là của một người chuyên lật tẩy những gì dối trá: Cuốn sách vĩ đại về Thiên Nhiên luôn ở rộng mở trước mắt bạn và trong đó có chứa đựng triết học chân chính… Nhưng chúng ta không thể đọc nó trừ khi biết được ngôn ngữ và các nhân vật được viết trong đó…

Nó được viết bằng ngôn ngữ toán học và các nhân vật là các hình tam giác, hình tròn và các mô hình hình học khác.

Có đúng là Galileo bị mù không? Ngay cả Galileo vĩ đại, với toàn bộ tư tưởng độc lập của mình, vẫn không thể hiểu rõ được Mẹ Thiên Nhiên. Tôi tin rằng nhà ông ta có nhiều cửa sổ và rằng ông ta hay đi ra ngoài: lẽ ra Galileo nên hiểu rằng không thể dễ dàng tìm thấy các hình tam giác trong tự nhiên. Chúng ta bị tẩy não một cách quá dễ dàng.

Chúng ta hoặc là mù, hoặc dốt nát, hoặc cả hai. Rõ ràng, hình học của tự nhiên không phải là hình học của Euclid, và không ai, hầu như không một ai, nhìn thấy nó.

Điểm mù (tự nhiên) này giống với ngụy biện trò chơi - thứ khiến chúng ta cho rằng các sòng bạc đại diện cho tính ngẫu nhiên.

Tính phân dạng

Phân dạng (Fractal) là từ Mandelbrot dùng để mô tả đặc điểm hình học của những vật thể dạng thô và gãy vỡ - xuất phát từ tiếng La-tinh fractus, và có nguồn gốc của từ fractured. Tính phân dạng (fractality) là quá trình lặp lại các mô hình hình học ở nhiều tỷ lệ khác nhau, tạo ra ngày càng nhiều phiên bản nhỏ hơn của chúng. Trong một chừng mực nào đó, các phần nhỏ cũng giống với phần nguyên. Trong chương này, tôi sẽ cố gắng chỉ ra cách áp dụng phân dạng vào phân nhánh về tính bất định có mang tên Mandelbrot: sự ngẫu nhiên Mandelbrot.

Các vân lá trông như các nhánh; các nhánh trông như cây; các hòn đá trông như những ngọn núi nhỏ. Một vật thể khi thay đổi về kích thước sẽ không thay đổi về chất lượng. Nếu bạn nhìn bờ biển Anh từ trên máy bay, nó sẽ giống như những gì bạn nhìn thấy qua kính lúp. Đặc tính của phép tự biến đổi Afin này ám chỉ rằng có thể sử dụng một quy tắc tưởng chừng như ngắn gọn và đơn giản về tính lặp trên máy vi tính hoặc ngẫu nhiên để tạo ra hình dáng của tính phức tạp tưởng chừng như vĩ đại. Điều này có ích cho các phép đồ họa máy tính, nhưng quan trọng hơn, đây chính là cách vận hành của tự nhiên. Mandelbrot đã thiết kế ra vật thể toán học mà ngày nay được biết đến với tên gọi là tập hợp Mandelbrot, đối tượng nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học. Nó trở nên phổ biến với những người theo thuyết hỗn mang vì đã tạo ra các hình ảnh về độ phức tạp ngày càng tăng bằng cách sử dụng quy tắc đệ quy nhỏ một cách dễ nhầm lẫn; đệ quy có nghĩa là thứ có thể tái ứng dụng với chính nó một cách không giới hạn. Bạn có thể nhìn vào tập hợp này với các độ phân giải ngày càng nhỏ không bao giờ kết thúc; bạn sẽ luôn nhìn thấy những hình ảnh có thể nhận biết được. Những hình ảnh đó không bao giờ giống nhau nhưng lại có mối quan hệ với nhau, một sự tương đồng mạnh mẽ giữa các nhóm cùng họ.

Các đối tượng này có vai trò trong lĩnh vực mỹ học. Hãy xem xét các ứng dụng sau:

Nghệ thuật thị giác: Hầu hết các đối tượng được tạo ra từ máy vi tính đều dựa trên một phiên bản nào đó từ hình học phân dạng của Mandelbrot. Chúng ta cũng có thể nhìn thấy hình học phân dạng trong lĩnh vực kiến trúc, hội họa, và nhiều tác phẩm nghệ thuật thị giác khác - dĩ nhiên là không được kết hợp một cách có ý thức bởi người tạo ra tác phẩm đó.

Âm nhạc: Hãy ngâm nga phần mở đầu bốn nốt trong bản giao hưởng thứ năm của Beethoven: ta-ta-ta-ta. Sau đó thay mỗi nốt bằng chính phần mở đầu bốn nốt đó để tạo ra một nhịp điệu gồm mười sáu nốt. Bạn sẽ thấy (hay nói đúng hơn là nghe) mỗi làn sóng nhỏ sẽ giống với làn sóng lớn ban đầu. Ví dụ, Bach và Mahler đã viết các phần phụ giống với những phần lớn đầu tiên nơi các phần phụ đó được hình thành.

Thơ: Ví dụ, thơ của Emily Dickinson là một kiểu phân dạng: phần lớn giống với phần nhỏ. Theo một nhà bình luận, thơ của bà là “một sự kết hợp đầy ý thức giữa các cách phát âm, nhịp thơ, lối nói tu tù; và ngữ điệu”.

Ban đầu, hình học phân dạng đã khiến Benoit M. trở thành “kẻ lạc loài” trong tổ chức toán học đó. Các nhà toán học Pháp khiếp sợ nó. Cái gì? Lạy chúa! Điều này chẳng khác nào trình chiếu một bộ phim khiêu dâm cho những người phụ nữ thế hệ bà tôi - những người mộ đạo thuộc Giáo hội Chính thống tại ngôi làng cổ Amioun. Vì thế, Mandelbrot đã làm việc với tư cách một nhà trí thức tị nạn tại một trung tâm nghiên cứu IBM ở phía bắc New York. Đó là tình huống f*** you money vì IBM cho phép ông làm bất cứ thứ gì ông muốn.

Nhưng đại đa số công chúng (chủ yếu là các chuyên viên tin học) đều hiểu được điều này. Cuốn sách The Fractal Geometry of Nature (Tạm dịch: Hình học phân dạng của tự nhiên) của Mandelbrot đã gây chú ý khi ra mắt lần đầu cách đây một phần tư thế kỷ. Nó lan rộng khắp các giới văn nghệ sĩ và dẫn đến nhiều nghiên cứu về mỹ học, thiết kế kiến trúc, thậm chí trong ứng dụng công nghiệp lớn. Benoit M. còn được mời làm giáo sư về y học! Giả sử là các lá phổi đều tự đồng dạng. Những buổi nói chuyện của ông truyền đi khắp giới nghệ sĩ và người ta gọi ông là “Ngôi sao nhạc rock” trong lĩnh vực toán học. Thời đại vi tính đã giúp ông trở thành một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất là trong lịch sử nếu xét trong phạm vi các ứng dụng của ông, nhưng mãi về sau ông mới được tháp ngà công nhận. Ngoài tính phổ biến, chúng ta sẽ thấy công trình của ông tạo ra một đặc tính khác thường: nó vô cùng dễ hiểu.

Xin nói vắn tắt về tiểu sử của ông. Năm 1936, vào lứa tuổi 12, Mandelbrot rời Warsaw đến Pháp. Vì hoàn cảnh, ông đã may mắn thoát khỏi nền giáo dục truyền thống xứ Gô-loa với những bài tập đại số chán ngắt và phần lớn là tự học. Ông chịu ảnh hưởng sâu sắc bởi tư tưởng của người chú là Szolem, thành viên xuất chúng của tổ chức toán học Pháp và là giáo sư của trường College de France. Về sau, Benoit M. định cư tại Mỹ, dành phần lớn cuộc đời mình hoạt động như một nhà khoa học công nghiệp, với một vài công việc nghiên cứu học thuật nhất thời khác. Máy vi tính có hai vai trò trong lĩnh vực khoa học mới mà Mandelbrot đã giúp tạo ra. Thứ nhất, như chúng ta đã thấy, các chủ thể phân dạng có thể được tạo ra với một quy tắc đơn giản được áp dụng cho bản thân chúng, khiến chúng trở nên lý tưởng cho hoạt động tự động của máy vi tính (hoặc Mẹ Thiên Nhiên). Thứ hai, trong quá trình hình thành các khả năng trực giác về thị giác, có một mối quan hệ biện chứng giữa nhà toán học đó và các vật thể được tạo ra.

Bây giờ, hãy cùng xem cách nó mang chúng ta đến với tính ngẫu nhiên. Trên thực tế, chính xác suất là chuyên môn mà Mandelbrot đã bắt đầu sự nghiệp của mình.

Một cách tiếp cận bằng mắt với ExtremistanMediocristan

Đường cong Gauss không phải là tự đồng dạng, và đó là lý do tách cà phê của tôi không nhảy trên bàn.

Bây giờ, hãy thực hiện một chuyến đi núi. Dù bạn đi trên độ cao nào trên bề mặt trái đất thì nó vẫn rất lởm chởm. Điều này lại càng đúng với độ cao 30.0 feet. Khi bay trên dãy Alps, bạn sẽ nhìn thấy những ngọn núi lởm chởm như những viên đá nhỏ. Vì thế, một số bề mặt không thuộc Mediocristan, và việc thay đổi độ phân giải sẽ không làm cho chúng trở nên nhẵn mịnphẳng lặng hơn. (Lưu ý rằng hiệu ứng này chỉ biến mất khi bạn càng đi lên các độ cao cực độ hơn. Theo quan sát của người đứng trên không gian, hành tinh của chúng ta trông thật nhẵn mịn, nhưng đó là vì nó quá nhỏ. Nếu trở thành một hành tinh lớn hơn, nó sẽ có những ngọn núi cao hơn cả dãy Himalaya, và khi đó người ta cần phải đứng ở vị trí quan sát xa hơn nữa để thấy nó nhẵn nhụi. Tương tự, nếu hành tinh này có đông dân số hơn, và thậm chí vẫn duy trì mức tài sản bình quân tương tự, khi đó có thể sẽ có một người giàu hơn rất nhiều so với Bill Gates).

Minh họa 11 và 12 chứng minh cho quan điểm trên: một người quan sát nhìn vào bức tranh đầu tiên có thể nghĩ đó là nắp ống kính (máy ảnh) rơi trên nền đất.

Hãy nhớ lại thảo luận của chúng tôi về bờ biển Anh. Nếu bạn ngồi trên máy bay nhìn xuống, các đường quanh của nó không khác mấy so với các đường cong nhìn thấy trên bãi biển. Sự thay đổi về tỷ lệ không làm thay đổi hình thù hoặc mức độ nhẵn mịn của chúng.

Nước đổ đầu vịt

Vấn đề mấu chốt ở đây là sự phân dạng có các ước số thống kê hoặc bằng số mà (trong chừng mực nào đỏ) được bảo toàn khắp các tỷ lệ - tỷ lệ đều giống nhau, không như đường cong Gauss. Minh họa 13 sẽ trình bày một cách nhìn khác về sự tự đồng dạng. Như chúng ta đã thấy ở Chương 15, những người cực giàu cũng giống như những người giàu, chỉ khác là họ giàu hơn thôi - tài sản không phụ thuộc vào tỷ lệ.

Minh họa 11

Rõ ràng, đây là một nắp ống kính (máy ảnh) rơi trên nền đất.

Vào thập niên 60, Mandelbrot đã trình bày các ý tưởng của mình về giá cả hàng hóa và chứng khoán với cơ quan kinh tế học, và các nhà kinh tế tài chính đều rất hào hứng với nó. Năm 1963, George Shultz, vị chủ nhiệm khoa khi đó của trường kinh doanh thuộc Đại học Chicago, đã đề nghị Mandelbrot làm giảng sư cho trường, về sau, chính George Shultz đã trở thành Bộ trưởng Bộ ngoại giao dưới thời Ronald Reagan.

Một tối nọ, Shultz gọi điện cho Mandelbrot xin hủy bỏ lời đề nghị đó.

Vào thời điểm tôi viết cuốn sách này, tức 44 năm sau, không có gì mới xảy ra trong lĩnh vực kinh tế học và thống kê khoa học xã hội - ngoại trừ sự tầm phào được tô điểm với cách nhìn nhận thế giới như thể chúng ta chỉ phụ thuộc vào sự ngẫu nhiên ôn hòa - và do đó người ta bắt đầu tổ chức trao giải Nobel. Một số tài liệu được viết bởi những người không hiểu được luận điểm trung tâm của cuốn sách này đã cung cấp “bằng chứng” cho thấy Mandelbrot đã sai - bạn luôn có thể tạo ra các dữ liệu để “cũng cố” quan điểm cho rằng quá trình cơ bản đều thuộc về đường cong Gauss bằng cách tìm thấy những thời điểm không có các biến cố hiếm, hệt như cách bạn nhìn thấy không có ai giết ai cả và sử dụng nó làm “bằng chứng” cho hành vi lương thiện. Bởi tính bất cân xứng với phương pháp quy nạp, tôi xin nhắc lại rằng chúng ta dễ dàng chối bỏ một đường cong hình chuông hơn chấp nhận nó, cũng giống như dễ dàng chối bỏ sự ngây thơ vô tội; ngược lại, chúng ta lại khó chấp nhận một phân dạng? Vì sao? Vì một sự kiện đơn lẻ có thể bác bỏ tranh luận rằng chúng ta đối phó với một đường cong hình chuông Gauss.

Minh họa 12

Thật ra, vật thể đó không phải là nắp ống kính (máy ảnh). Hai hình này minh họa cho sự bất biến về tỷ lệ: địa hình này mang tính phân dạng (fractal). Hãy so sánh nó với các vật thể do con người tạo ra như xe hơi hay nhà ở. Nguồn: Giáo sư Stephen W. Wheatcraff, University of Nevada, Reno.

Tóm lại, cách đây bốn thập kỷ, Mandelbrot đã trao “những viên ngọc trai” cho các nhà kinh tế và những kẻ “phàm phu tục tử” nhưng đã bị từ chối vì “chúng” quá tốt đối với họ. Người xưa có câu “margaritas ante porcos”, hay còn gọi là “nước đổ đầu vịt”.

Trong phần còn lại của chương này, tôi sẽ giải thích lý do của việc nên chứng thực vì sao phân dạng của Manddbrot là yếu tố đại diện cho phần lớn sự ngẫu nhiên mà không cần phải chấp nhận lợi ích cụ thể của chúng. Phân dạng phải là một xác lập mặc định, một phép tính xấp xỉ, một khuôn khổ. Chúng không giải được bài toán Thiên Nga Đen và không thể biến tất cả các Thiên Nga Đen thành những sự kiện có thể dự đoán được, nhưng có khả năng làm giảm đáng kể tác động của hiện tượng Thiên Nga Đen bằng cách giúp ta hình dung về chúng. (Nó biến Thiên Nga Đen thành thiên nga xám. Sao lại xám? Bởi chỉ có đường cong Gauss mới có thể mang đến cho bạn sự ổn định. Sẽ bàn đến nó sau).