Khoa học đang đứng trước hàng loạt câu hỏi thách thức:

- Liệu có thể có một “Lí thuyết về mọi thứ” của vật lí không?

- Robot có thể thông minh như con người không?

- Bản chất vật chất của tinh thần là gì?

- Máy móc có thể thay thế con người trong dịch thuật không?

- Giả thuyết Goldbach là một tiên đề hay một định lí?

- Vũ trụ trước Big Bang là gì?

- Tồn tại chăng một lí thuyết dự báo tương lai chính xác?

Và rất nhiều câu hỏi khác nữa. Mỗi câu hỏi là một thách thức lớn chưa từng có - một “Chiếc chén Thánh” (The Holy Grail) của khoa học, mà câu trả lời thường dẫn tới sự chia rẽ quan điểm, mọt bên nói “có”, một bên “không”. Chưa bao giờ khoa học bị rơi vào tình trạng ngã ba đường như hiện nay. Dường như dự cảm được điều đó nên từ lâu Kurt Gödel đã lưu ý: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt Ước Muốn với Hiện Thực”[1].

Nếu biết rõ lịch sử toán học thế kỉ 20, chúng ta sẽ hiểu ngay rằng Gödel muốn nhắc nhở nhân loại không được phép quên bài học thất bại cay đắng của Chương trình Hilbert - một chương trình có tham vọng khám phá ra “Lí thuyết về mọi thứ” của toán học, tức là không hiểu nguyên lí giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy bói xem voi” đã nói từ xa xưa.

Thậm chí đến khi Gödel công bố Định lí bất toàn (Theorem of Incompleteness), khẳng định nguyên lí giới hạn của nhận thức dưới dạng toán học, vẫn có nhiều người không muốn thừa nhận nguyên lí này. Đó là lí do để nhiều nhà triết học khoa học phương-Tây hiện nay thích nhắc lại tích “Thầy bói xem voi”, như một gợi ý để đề cập tới định lí bất toàn nói riêng và vấn đề giới hạn của nhận thức nói chung[2].

“Thầy bói xem voi”:

“Thầy bói xem voi” là một truyện ngụ ngôn bằng thơ nhan đề “The Blind Men and the Elephant” (Những anh mù và con voi), hoặc “Six Men of Indostan” (Sáu anh chàng ở xứ Indostan), của John Godfrey Saxe, một nhà thơ triết lí nổi tiếng người Mỹ thế kỉ 19. Nhưng thực ra tích “Thầy bói xem voi” “đã được ghi chép từ xa xưa trong Đại Bát Niết Bàn Kinh do ngài Đàm Vô sấm (Dharmaraksa), pháp sư người Ấn, dịch ra Hoa ngữ, đồng thời cũng đã được ghi chép trong Kinh Trường A Hàm của Phật Giáo”[3].

[106]: Indostan là một tên gọi cổ được sử dụng nhiều trong các thế kỉ 17, 18,19, để gọi một vùng địa lí mà ngày nay ta gọi là Nam Á, bao gồm Ấn Độ, Pakistan, Bangladesh, Sri Lanka, Maldives, Bhutan và Nepal (những quốc gia nói chung có khí hậu nóng và chịu nhiều ảnh hưởng của nền văn minh Ấn Độ). Bản tạm dịch tiếng Việt này là của Phạm Việt Hưng, mong được độc giả lượng thứ về thơ văn.

Hình 1. Con voi của “Sáu anh mù ở xứ Indostan”

Ý tưởng của tích truyện này thật dễ hiểu: Nhận thức của con người vốn phiến diện và hạn chế - nhận thức dù tiến bộ đến mấy cũng chỉ đúng một phần, thay vì đầy đủ và hoàn thiện. Nhưng bản năng lại thôi thúc con người vươn tới cái đầy đủ và hoàn thiện, đó là một nghịch lí lớn!

Như trên đã nói, tích “Thầy bói xem voi” hiện nay đã và đang “hồi sinh” trên các diễn đàn khoa học phương Tây hiện đại với một tầm vóc và bình diện mới! Thật vậy, dưới ánh sáng của những sự kiện khoa học trọng đại nhất trong thế kỉ 20, đặc biệt nhờ những tiến bộ vượt bậc của khoa học computer trong mấy thập kỉ qua, nhân loại đã và đang tái khám phá ra nguyên lí về bản chất giới hạn của nhận thức - một nguyên lí tự nhiên mà tích “Thầy bói xem voi” đã nói từ lâu nhưng lại dần dần bị lãng quên! Nguyên lí này khẳng định rằng NHẬN THỨC, mặc dù mỗi ngày một tiến hoá, nhưng không bao giờ đạt tới chỗ BIẾT HẾT BIẾT MỌI THỨ, BIẾT ĐẦY ĐỦ, BIẾT TẬN CÙNG. Tham vọng biết mọi thứ, xét cho cùng, là… “ngây thơ” - không hiểu hoặc không muốn hiểu một quy luật của nhận thức mà John Saxe đã trình bày từ lâu dưới dạng thơ ngụ ngôn!

Sự “ngây thơ” đó đáng được thông cảm: Khi khát vọng nhận thức bùng cháy mãnh liệt, con người có xu hướng muốn biết hết, biết tới tận cùng! Đó là một khát vọng chính đáng, tự nhiên theo bản năng, và nhờ đó con người mới khám phá ra hết bí mật này đến bí mật khác. Đó chính là động lực của sự tiến hoá. Nếu khát vọng đó đôi khi (hoặc nhiều khi) trở nên thái quá, chẳng qua là vì bản chất con người khi sinh ra đã hướng ngoại, thích quan sát các đối tượng khách thể bên ngoài hơn là quan sát chính chủ thể nhận thức. Điều này thể hiện rất rõ ở trẻ em. Một em bé sáu tháng tuổi sẽ tuyệt đối không có “ý thức về bản ngã”, nhưng đã có thể có những nhận thức nhất định về thế giới xung quanh. Ý thức hướng nội chỉ xuất hiện khi con người trưởng thành hơn. Quá trình trưởng thành về nhận thức của một đời người chính là tấm gương phản chiếu quá trình trưởng thành về nhận thức của toàn thể loài người. Đó chính là lí do vì sao khoa học về nhận thức ra đời quá muộn màng: Trong khi các khoa học khác đã có tới hàng ngàn thậm chí hàng trăm năm tuổi, khoa học về nhận thức dường như mới chỉ ra đời gần đây. Nói cách khác, trong khi nền văn minh của nhân loại đã trưởng thành và già dặn qua hàng ngàn năm lịch sử, con người dường như vẫn còn quá ngây thơ trong việc tự hiểu về mình.

Nhưng hơn bất kì một giai đoạn lịch sử nào khác, thế kỉ 20 đã làm cho con người bừng tỉnh: Song song với nhận thức hướng ngoại, con người đã đặc biệt quan tâm tới chính chủ thể nhận thức - nghiên cứu bản chất của nhận thức như nghiên cứu các đối tượng khách quan khác!

Nhưng tại sao lại là thế kỉ 20, mà không phải là thế kỉ 19 hay 21?

Đơn giản vì nhận thức đã phải trả giá rất đắt để hiểu được ba bài học tưởng như không sao hiểu được trong thế kỉ 20: Thuyết tương đối của Einstein + Nguyên lí bất định của Heisenberg + Bài học về cuộc khủng hoảng trầm trọng của nền tảng toán học đầu thế kỉ 20.

Phải mất vài năm nhân loại mới hiểu được thuyết tương đối.

Nguyên lí bất định cũng phải mất vài chục năm: Ra đời từ năm 1921 nhưng chưa bao giờ nó được nhà vật lí lớn nhất thế kỉ 20 là Einstein công nhận, ngay cả trước khi ông mất vào năm 1955.

Nhưng sự trả giá cho bài học thứ ba còn đắt hơn rất nhiều: Phải mất gần một thế kỉ, tức là đến cuối thế kỉ 20, nhân loại mới bắt đầu hiểu được lí do thực sự của cuộc khủng hoảng toán học đầu thế kỉ này. Hơn bất cứ bài học nào khác, bài học thứ ba đã hé lộ giới hạn của sự nhận thức.

Nếu chọn ngẫu nhiên 100 nhà khoa học và giáo dục để phỏng vấn, có lẽ 100% biết rõ bài học thứ nhất (thuyết tương đối), 75% (hoặc 50%?) biết rõ bài học thứ hai (nguyên lí bất định), nhưng sẽ có bao nhiêu % biết rõ bài học thứ ba (cuộc khủng hoảng về nhận thức bản chất toán học)? Tòi ngờ rằng tỉ lệ này rất thấp, vì thông qua phương pháp giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông hiện nay, tôi thấy người ta đã hiểu sai bản chất và ý nghĩa của toán học, từ đó suy ra rằng người ta không học được bài học nào từ cuộc khủng hoảng nói trên.

Bây giờ là lúc cần quay lại tích “Thầy bói xem voi”, vì chính sự trả giá về nhận thức trong thế kỉ 20 đã làm cho nhân loại bừng tỉnh để “ngộ” ra triết lí sâu xa của truyện ngụ ngôn này: Nhận thức, bản thân nó chứa đựng một NGHỊCH LÍ LỚN - Khát vọng vô hạn về nhận thức mâu thuẫn với bản chất giới hạn của nhận thức!

Làm thế nào để một bộ phận có thể nhận thức được cái toàn thể?” (How can a part know the whole?), đó chính là nỗi băn khoăn từ thế kỉ 17 của Blaise Pascal - một trong những nhà khoa học và triết học sâu sắc nhất của mọi thời đại.

Một người như Pascal có lẽ có thừa óc tưởng tượng và suy luận để hình dung ra cái tổng thể mà ông khao khát muốn biết, nhưng dường như cái đầu triết học quá sâu sắc của ông lại khuyên ông nên thận trọng. Phải chăng vì thế mà ông băn khoăn?

Trong thời đại của chúng ta, nỗi băn khoăn của Pascal vẫn mang tính thời sự. Thật vậy, dù khoa học tiến bộ đến mấy, kính viễn vọng có thể nhìn xa đến mấy, kính hiển vi điện tử có thể nhìn sâu đến mấy, chúng ta cũng chẳng bao giờ nhìn thấy cái tổng thể. Khoa học chỉ suy đoán ra cái tổng thể dựa trên những quan sát bộ phận, rồi lại dùng những quan sát bộ phận để tái kiểm chứng cái mô hình tổng thể đã suy đoán. Dù cho suy đoán của chúng ta được dựa trên những phương pháp toán học chính xác bậc nhất, nó vẫn chỉ là kết quả của suy đoán, và do đó nó luôn luôn bị thử thách nghiệt ngã bởi thực tiễn. Thực tiễn luôn luôn là ông thầy chỉ ra lỗi trong các mô hình của con người, buộc con người phải sửa chữa mô hình của mình để phù hợp với hiện thực hơn. Nhưng dù sửa chữa phù hợp đến mấy đi chăng nữa thì cũng chỉ là phù hợp với hiện thực cục bộ có thể quan sát được, thay vì chính cái hiện thực tổng thể tồn tại khách quan, độc lập với mọi suy luận và quan sát của con người.

Chẳng hạn có một thời, mô hình vũ trụ dựa trên cơ học Newton đã thống trị “tuyệt đối” trong tâm thức các nhà khoa học, đến nỗi Joseph Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc người Pháp trong thế kỉ 18, đã phải thốt lên lời buồn phiền rằng “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì lớn cho chúng ta làm nữa”. Nhưng may thay, Albert Einstein đã chứng minh rằng Lagrange sai!

Một số học giả phương Tây hiện đại cho rằng nhận thức là một hàm tăng theo thời gian, nhưng không tăng tới vô cùng, mà bị chặn trên bởi một tiệm cận ngang - một cái ngưỡng (threshold): Hàm nhận thức ngày càng tiệm cận tới cái ngưỡng đó nhưng không bao giờ chạm tới và vượt qua nó!

Thậm chí một số học giả còn cho rằng khoa học ngày nay đã tiến gần đến cái ngưỡng đó. Thời gian sẽ trả lời cho chúng ta xem nhận định này là đúng hay sai.

Tuy nhiên, sự tồn tại của một cái ngưỡng là có thật, ít nhất điều này đã được chứng minh trong toán học và trong khoa học Computer: Đó là “Định lí bất toàn” (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel và “Sự cố dừng” (The Halting Problem) của Alan Turing.

Hình 2. Giới hạn của hàm nhận thức

Cái ngưỡng đó làm cho một số người nản lòng, thậm chí cảm thấy khó chịu, vì không thể chấp nhận việc nó ngáng trở sự nhận thức. Xin nói ngay rằng những người đó đã hiểu lầm: Chính cái ngưỡng đó làm cho cuộc sống của chúng ta có ý nghĩa hơn, hạnh phúc hơn, và khoa học sẽ đâm chồi nảy lộc nhiều hơn, đơm hoa kết trái nhiều hơn!

Thật vậy, vì nhận thức có giới hạn, nó không bao giờ đạt tới đích cuối cùng, vì thế khát vọng khám phá sẽ được nuôi dưỡng mãi mãi, niềm vui khám phá sẽ không bao giờ cạn, trí tưởng tượng của con người sẽ tha hồ bay bổng, … điều này làm nên một trong những ý nghĩa căn bản của cuộc sống.

Immanuel Kant vĩ đại từng nói: “Mỗi câu trả lời lại đặt ra một câu hỏi mới”. Bạn nghĩ sao nếu chúng ta tìm ra câu trả lời cho mọi thứ để rồi không còn gì đáng để hỏi nữa? Cuộc sống khi đó sẽ ra sao? Nhưng chính vì không bao giờ có một câu trả lời cuối cùng nên con người tha hồ tưởng tượng để trả lời cho những gì mình chưa biết. Nhà toán học kiêm triết học nổi tiếng Bertrand Russell đã an ủi những người lo xa rằng: “Khoa học có thể tạo ra giới hạn đối với sự hiểu biết, nhưng không tạo ra giới hạn đối vớí trí tưởng tượng”.

Nói cách khác, Bà mẹ Tự nhiên (The Mother Nature) không bao giờ mở cánh cửa bí mật cuối cùng cho chúng ta, mà luôn để dành những bí mật tiếp theo cho chúng ta khám phá, nhằm nuôi dưỡng chúng ta không chỉ phần xác, mà cả phần hồn!

Bí mật của tự nhiên giống như “Chiếc hộp Trung Hoa” (Chinese Box) hoặc những con búp bê Matryoshka của Nga – mỗi lần mở một con búp bê ra chúng ta lại thay một con búp bê nhỏ hơn ở bên trong). Mỗi chúng ta đều giống như một đứa trẻ tò mò, trông thấy một con búp bê bên trong lại muốn mở ra xem, và lại thấy một con búp bê bên trong nữa. Albert Einstein chính là một đứa trẻ điển hình như thế, ông nói: “Cái đẹp nhất mà chúng ta có thể chiêm nghiệm chính là sự BÍ ẨN. Đó là ngọn nguồn của nghệ thuật và khoa học chân chính”.

Vậy thay vì chống đối nguyên lí giới hạn của nhận thức, chúng ta nên cảm ơn nó, vì nhờ nó mà chúng ta luôn sống với những khát vọng lãng mạn!

Nhưng cần phải tỉnh táo, vì nếu tham vọng nhận thức trở thành vô chừng vô độ, bất chấp giới hạn thì đó lại là vấn đề hoàn toàn khác!

Khi tham vọng trở nên vô chừng vô độ

Khi đó, nhận thức có nguy cơ rơi vào không tưởng, lầm đường lạc lối, thay vì tiến lên, nhận thức trở thành một cái vòng luẩn quẩn, hoặc thậm chí thụt lùi.

Lịch sử đã từng chứng kiến phản ứng của những người nhìn xa trông rộng trước những kiểu tham vọng vô chừng vô độ như thế. Một trong những trường hợp đáng để cho chúng ta phải suy ngẫm nghiêm túc lại là Albert Einstein. Bạn nghĩ sao khi một người như Einstein - một người có khát vọng hiểu biết cháy bỏng hơn ai hết, một đứa trẻ từng say đắm hình học Euclid như một kì quan, một nhà vật lí cần toán học như chúng ta cần không khí và nước - đã có lúc phải thốt lên:

“Tôi không tin vào Toán Học”[4]!

Thoạt nghe, có vẻ như đó là chuyện bịa đặt, nhưng than ôi, đó lại là một sự thật! Xin bạn hãy bình tâm tìm hiểu sự thật này, và tôi tin rằng bạn sẽ hết ngạc nhiên nếu biết rõ rằng ấy là lúc Einstein phản ứng với những thứ toán học sáo rỗng, hình thức chủ nghĩa, siêu toán học, toán học tách rời thực tiễn, toán học thuần tuý suy diễn logic mà không quan tâm đến ý nghĩa thực tế.

Bạn sẽ dễ dàng thông cảm với Einstein nếu biết rõ thứ toán học siêu hình đó đã ra đời từ một tham vọng vô chừng vô độ và không tưởng của một số nhà toán học cùng thời với ông. Họ tin rằng tồn tại những chân lí logic hình thức tuyệt đối, độc lập với thế giới hiện thực xung quanh, và tin rằng với những phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau họ cùng sẽ tìm ra các chân lí tuyệt đối đó.

Nhưng Einstein, với trực giác siêu việt, ngay từ đầu đã không tin họ, không tin vào tham vọng ngông cuồng của họ, không tin vào hệ thống toán học thuần lí trí bất chấp thực tiễn của họ, và lịch sử đã đứng về phía Einstein!

Chẳng riêng Einstein, một vĩ nhân khác mà tài năng chẳng kém gì Einstein là Henri Poincaré, người được coi là Mozart của toán học, cũng chống đối quyết liệt thứ toán học sính hình thức đó.

Nhưng than ôi! Sức ì của bộ não cũng “vĩ đại” chẳng kém gì sức sáng tạo của nó: Bất chấp những người như Einstein và Poincaré, tư tưởng sính hình thức trong giới toán học, và đặc biệt trong giới giảng dạy toán học, vẫn cứ tiếp tục sống dai dẳng cho đến tận hôm nay.

Nếu độc giả để ý quan sát, sẽ chẳng mấy khó khăn để nhận thấy bóng dáng những loại toán học này trong hệ thống giáo dục hiện nay. Đó là hậu quả tàn dư của thứ toán học hình thức mà Einstein và Poincaré chán ghét. Đó là lí do để nhiều học giả trên thế giới ngày nay phải lên tiếng cảnh báo: Hãy tỉnh táo để nhận thức nguyên lí giới hạn của nhận thức!

Trong bối cảnh đó, tích “Thầy bói xem voi” tất yếu mang ý nghĩa thời sự và được làm sống lại một cách sinh động dưới nhiều hình thức, điển hình là những “mô hình bất khả” (impossible models), hay những “cấu trúc phi lí” (inconsistent structures).

Mô hình bất khả

Điển hình của những mô hình này là Tam giác Penrose hoặc Bậc thang Penrose của Sir Roger Penrose, một trong những nhà vật lí-toán học lớn nhất ngày nay. Ông có những đóng góp vô cùng đa dạng trong vật lí và toán học, đoạt rất nhiều giải thưởng danh giá bậc nhất về vật lí và toán. Cùng với Stephen Hawking, ông được coi là một trong những tác giả của Lí thuyết về hố đen, như Wikipedia nhận định: “Công trình sâu sắc của ông về tính tương đối tổng quát đóng vai trò chủ yếu trong nhận thức của chúng ta về các hố đen”. Nhưng khác với Stephen Hawking, ông không mấy tin tưởng vào khả năng “hiểu được ý Chúa” của Einstein trước đây và của Hawking hiện nay. Bản thân những “mô hình bất khả” của ông đã nói lên điều đó.

Nhìn kĩ hai mô hình trên, chúng ta dễ nhận thấy rằng chúng chỉ “khả dĩ” (possible) hoặc “hợp lí” (consistent) trong từng cục bộ (local part), nhưng “bất khả” (impossible) hoặc phi lí” (inconsistent) trên tổng thể (the whole), đúng như triết lí của “Thầy bói xem voi”: “Mỗi anh đúng một phần, Nhưng đều sai tất cả”! 

Hình 3. Mô hình bất khả của Penrose

Tuy nhiên sẽ là bất công nếu gán cho các nhà khoa học công lao sáng tạo ra những “mô hình bất khả”. Chính các hoạ sĩ mới là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Hãy ngắm cấu trúc “Cầu thang bất khả” (Impossible Staừcase) của hoạ sĩ Thụy Điển Oscar Reutersvard (1915-2002) được vẽ từ nửa đầu thế kỉ 20! Với hàng trăm mô hình tương tự, Reutersvard được coi là cha đẻ của ngành “hội hoạ ảo ảnh” (Illusionary Art), và chính hội hoạ đó đã tạo cảm hứng cho Penrose sáng tạo ra những mô hình của mình.

Tuy nhiên phải thừa nhận rằng, từ khi những nhà khoa học lớn như Penrose sử dụng các mô hình bất khả để nói lên nguyên lí bất khả trong việc nhận thức CÁI TOÀN BỘ, thì nguyên lí này mới được nhìn nhận một cách thực sự nghiêm túc, không chỉ dưới hình thức văn chương, nghệ thuật, hay triết học, mà ngay cả trong lĩnh vực khoa học và công nghệ. Điều này có ý nghĩa thực tiễn rất lớn, vì nó hướng khoa học vào những công trình thực dụng hơn, thiết thực hơn. Sự chuyển hướng này bộc lộ rất rõ trong những giải Nobel khoa học từ cuối thế kỉ 20 tới nay (trước đây thường dành cho những đề tài thuần tuý lí thuyết).

Hình 4. “Cầu thang bất khả” của Reutersvard

Tóm lại, đã có một sự bừng tỉnh về nhận thức đối với triết lí “Thầy bói xem voi”. Để cảm nhận được điều đó, bạn chỉ cần ngồi vào computer rồi gõ “impossible models”, hoặc “artistic illusions”, “inconsistent art”, vv. bạn sẽ có hàng trăm, hàng nghìn “mô hình bất khả” kì lạ khác nhau, trong đó rất nhiều mô hình vừa được công bố chỉ vài ngày trước khi bài báo này đến tay bạn. Điều đó nói lên rằng chủ đề này nóng hổi đến chừng nào.

Lời trăng trối của một nhà toán học hình thức

Nếu lòng dùng cảm và tính trung thực là thước đo nhân cách của một nhà khoa học thì Gottlob Frege (1848-1925) phải được coi là một trong những nhà khoa học có nhân cách vĩ đại nhất. Mặc dù cay đắng đến tột cùng khi tác phẩm để đời của ông - cuốn Cơ sở số học - bị sụp đổ tan tành chỉ vì một nghịch lí đã được phát hiện ngay trong nền tảng lí thuyết, nhưng Frege không tìm cách né tránh hoặc ngụy biện, mà ngược lại, đã xử sự như một người quân tử: ông công khai thừa nhận sai lầm và dứt khoát từ bỏ lí tưởng toán học hình thức mà ông đã ấp ủ cả cuộc đời. Một năm trước khi mất, ông để lại những lời trăng trối vô cùng cảm động, như một lời trăng trối về nhận thức sai lầm đối với bản chất của toán học.

Trớ trêu thay, người vạch ra sai lầm của Frege lại là người vốn ngường mộ Frege hết lòng: Đó là Bertrand Russell (1872- 1970), người luôn luôn khao khát tìm kiếm chân lí tuyệt đối của toán học như một con chiên ngoan đạo khao khát đức tin tôn giáo.

“Tôn giáo” của Bertrand Russell

Trong cuốn Portraits from Memory (Những chân dung qua trí nhớ) Russell viết: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kì nơi nào khác”. Nhưng ông không thoả mãn với những thứ toán học mà ông đã biết: “Tôi khám phá ra rằng nhiều chứng minh toán học, mà các thầy giáo của tôi muốn tôi chấp nhận, chứa đựng đầy rẫy sai lầm”, Russell viết. Vì thế, ông cho rằng cần phải xây dựng lại toán học, sao cho toán học trở thành một hệ thống chân lí thật sự đáng tin cậy: “Nếu tính chắc chắn thật sự có thể tìm thấy trong toán học thì đó sẽ là một lĩnh vực mới của toán học, với những nền tảng vững chắc hơn những nền tảng mà cho tới nay người ta tưởng là đã vững chắc lắm rồi”.

Với tư tưởng đó, Russell đã nghiễm nhiên gia nhập phái nền tảng (foundationism) - trường phái đòi xét lại nền tảng của toán học đầu thế kỉ 20. Phái này cũng chính là phái hình thức (formalism), bởi họ cho rằng muốn xây dựng lại toán học, phải triệt để hình thức hoá toàn bộ toán học, biến toán học thành một hệ logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn tách rời thế giới hiện thực, như Russell tuyên bố: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”. Chẳng hạn, khi xét mệnh đề 2 + 3 = 5, toán học “chân chính” không cần biết ý nghĩa vật chất cụ thể của các số 2,3,5 là cái gì, miễn là có được những định nghĩa và tiên đề nào đó về số cho phép kiểm tra mệnh đề đã cho là đúng hay sai. Nói cách khác, Russell coi bản chất toán học là logic, toán học đồng nghĩa với logic học: Đó chính là chủ nghĩa logic (ỉogicism) mà Frege đã áp dụng để xây dựng bộ Cơ sở số học và David Hilbert cùng đã áp dụng trước đó để xây dựng cuốn Cơ sở hình học.

Chủ nghĩa ấy giống như một thứ “tôn giáo thiêng liêng”: “Tôi tin rằng toán học là nguồn chủ yếu của niềm tin vào chân lí vĩnh cửu và chính xác, cùng như vào một thế giới siêu việt có thể nhận biết được bằng trí óc”, Russell viết. Chính vì khao khát nhận biết được cái “thế giới siêu việt” ấy nên Russell đã bàng hoàng xúc động khi đọc Cơ sở số học của Frege, coi Frege như một ngôi sao dẫn đường của toán học hình thức.

Nhưng ngưỡng mộ Frege bao nhiêu, ông cùng lo lắng cho Frege bấy nhiêu, vì ông cảm thấy một nghịch lí do chính ông khám phá ra trước đó có thể huỷ hoại công trình của Frege. Đó là nghịch lí Russell (Russell’s Paradoxe), một nghịch lí đã đi vào lịch sử toán học như một trong những nghịch lí nổi tiếng nhất!

Nghịch lí Russell

Russell chia tập hợp thành hai loại:

1* Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Ví dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.

2* Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Ví dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Chúng ta dễ dàng thấy rằng tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là tập hợp của tất cả các tập thông thường.

Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lí thú:

Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?

Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là tập Russell.

Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:

Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?

Giả sử tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy tập Russell là tập lạ thường, điều này mâu thuẫn với giả thiết!

Nếu ta giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:

• Nếu tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.

• Nếu tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.

Đó chính là “Nghịch lí Russell”. “Thủ phạm” dẫn tới nghịch lí là tập Russell, tức tập hợp của tất cả các tập thông thường. Đó cũng chính là “thủ phạm” gây ra BẤT ỔN ngay từ trong nền móng lí thuyết của Frege, bởi Frege đã xây dựng toà lâu đài số học của mình dựa trên khái niệm nền tảng là “tập hợp của các tập hợp”: 2 là tập hợp của các cặp đôi; 3 là tập hợp của các “bộ ba”,…

Vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng, Russell vội tìm cách cứu Frege. Ông viết thư thông báo cho Frege biết nghịch lí của mình, hi vọng Frege có thể sửa chữa được công trình, nhưng không ngờ lá thư ấy đã đẩy Frege xuống vực thẳm thất vọng.

Lá thư quyết định số phận của Frege

Ngày 16 tháng 6 năm 1902, Bertrand Russell gửi tới Frege một lá thư, trong đó có đoạn viết: “Trong công trình của ngài, tôi tìm thấy những lí thuyết đẹp đẽ nhất trong thời đại của chúng ta mà tôi biết, và do đó tôi tự cho phép mình bày tỏ một sự kính trọng sâu sắc đối với ngài”.

Russell không chỉ viết thư cho cá nhân Frege, mà còn giới thiệu công trình của Frege với toàn thế giới, mà trước đó hầu như nó không được ai biết đến. Có lẽ tính hình thức quá nặng nề làm cho nó trở nên khô khan, khó hiểu, không hấp dẫn. Nhưng Russell “tiêu hoá” được nó, ngưỡng mộ nó, vì chính ông cũng đang cùng với Alfred Whitehead viết một công trình tương tự: Principia Matematica (Nguyên lí toán học). Nhưng tại sao Russell đã khám phá ra nghịch lí của ông từ một năm trước khi gửi thư tới Frege, mà trong thư ông vẫn coi công trình của Frege là một đột phá, một lí thuyết đẹp nhất? Đơn giản vì Russell không bao giờ từ bỏ khát vọng tìm kiếm hệ thống chân lí tuyệt đối của toán học. Có thể ông cho rằng về căn bản Frege đã đi đúng hướng, vấn đề là Frege chỉ cần xem xét lại, sửa chữa công trình sao cho hoàn chỉnh hơn mà thôi!

Hoá ra tác giả của một trong những nghịch lí nổi tiếng nhất của toán học cũng không ý thức được rằng bản chât của toán học cũng như mọi hệ thống nhận thức khác vốn bất toàn - không tồn tại một hệ logic tuyệt đối phi mâu thuẫn - như hai mươi chín năm sau đó Godel đã chứng minh.

Đó là lí do để Russell thông báo cho Frege biết nghịch lí với một thái độ rất nhã nhặn, khiêm tốn: “Tôi tán thành với ngài về mọi điểm, nhưng chỉ có một điểm tôi gặp phải khó khăn…”.

Nhưng trong khi Russell khiêm tốn như thế thì chính Frege lại nhanh chóng nhận thấy nguy cơ sụp đổ toàn bộ công trình của đời mình.

Với bản chất trung thực, thẳng thắn hiếm có, ông lập tức viết thư trả lời Russell, và viết ngay một phụ lục bổ sung vào Tập 2 của bộ Cơ sở số học đúng vào lúc nó chuẩn bị được đem in, như một sự công khai thừa nhận thất bại của mình: “Không còn gì tồi tệ hơn có thể đến với một nhà khoa học khi phải chứng kiến nền tảng lí thuyết của mình sụp đổ đúng vào lúc công trình được hoàn thành. Tôi đã bị đặt vào tình thế này do vừa nhận được một lá thư từ ngài Bertrand Russell”.

Nhà khoa học có thể gặp nhiều nỗi cay đắng, nhưng hiếm có nỗi cay đắng nào giống như của Frege. Ông mất năm 1925 với tâm trạng của một kẻ tin rằng công trình của cả cuộc đời mình chỉ dẫn tới sự vô ích. Cái chết của ông không được cộng đồng khoa học biết tới. Thật là đau đớn, chua chát, nhưng có lẽ nỗi chua chát lớn nhất đối với Frege là sự vô tình của người đời trước những lời trăng trối vô cùng tha thiết của ông.

Lời trăng trối của Frege

Năm 1924, tức một năm trước khi mất, Frege đã trăng trối rằng: “Nghịch lí tập hợp đã huỷ hoại lí thuyết tập hợp”. Rồi ông nói tiếp: “Tôi càng suy nghĩ về điều này thì tôi càng đi đến chỗ tin rằng số học và hình học đều nảy sinh từ cùng một nền tảng, thực ra là từ nền tảng hình học; do đó toàn bộ toán học thực ra là hình học”.

Nghĩa là ông đã vĩnh biệt giấc mơ hão huyền của chủ nghĩa hình thức để trở về với cái nôi hiện thực - cái nôi đã đẻ ra toán học. Để thấu hiểu cuộc “lột xác” này, xin độc giả nhớ lại quan điểm của Frege về hình học.

Ngay từ đầu Frege đã là một môn đệ trung thành của trường phái Kant, coi hình học là khoa học dựa trên trực giác, tức là dựa trên thực tiễn, và do đó ông hoàn toàn đối lập với David Hilbert vì Hilbert muốn biến hình học thành một hệ logic hình thức thuần tuý.

Hilbert vốn đã nổi tiếng nhưng lại càng nổi tiếng hơn vì một tuyên bố “bất hủ” của ông: “Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”. Có nghĩa điểm, đường, mặt trong thực tế là cái gì cũng không quan trọng, điều quan trọng là chúng có thoả mãn các mệnh đề logic (tiên đề, định lí) của hình học hay không.

Ngược lại, đối với Frege, ý nghĩa của một mệnh đề hình học gắn chặt với ý nghĩa của những đối tượng hình học nằm trong mệnh đề đó. Nếu không hiểu hoặc hiểu sai những đối tượng này thì mệnh đề hình học cũng bị hiểu sai hoặc trở nên vô nghĩa. Ông viết: “Chừng nào mà tôi hiểu những từ như “đường thẳng”, “song song”, “giao điểm” như tôi vẫn hiểu, thì chừng ấy tôi không thể không chấp nhận tiên đề đường song song. Nếu ai đó không chấp nhận nó, tôi chỉ có thể cho rằng người ấy hiểu những từ ngữ này không giống tôi. Ý nghĩa của những từ ngữ đó gắn chặt với tiên đề đường song song”. Điều đó có nghĩa là Hilbert hoàn toàn sai khi không quan tâm đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng hình học như điểm, đường, mặt.

Trong thực tế, mâu thuẫn quan điểm hình học giữa Frege và Hilbert đã bùng nổ thành một cuộc tranh cãi không thể thoả hiệp, như Reuben Hersh đã kể lại như sau: Quan điểm theo trường phái Kant của Frege về hình học đã dẫn ông tới chỗ tấn công Hilbert. Ông nói với Hilbert rằng Hilbert không biết phân biệt một định nghĩa với một tiên đề. Hilbert đã trả lời một hoặc hai lá thư của Frege. Sau đó, Hilbert lờ đi. Nhưng Frege tiếp tục lớn tiếng. Thậm chí ông nói xa nói gần rằng Hilbert không dám tiếp tục tranh cãi nữa vì sợ những kết quả của mình có thể sai!

“Mr Why” và định lí bất toàn

Lúc sinh thời, Albert Einstein thường lên án không thương tiếc lối giáo dục nhồi nhét: “Giáo dục nhồi nhét tất yếu dẫn tới sự nông cạn và vô văn hoá”.

Với Einstein, một nền giáo dục tốt phải biết gợi mở để người học đặt câu hỏi, vì đó là dấu hiệu khởi đầu của óc sáng tạo. Ông từng nói với sinh viên: “Điều quan trọng là người ta không ngừng hỏi”.

Và đã có một tấm gương không ngừng hỏi: Một cậu bé hỏi nhiều đến nỗi cha mẹ cậu đặt cho cậu biệt danh “Mr Why”. Sau này lớn lên, “Mr Why” đã trở thành “nhà toán học vĩ đại nhất thế kỉ 20”. Đó chính là Kurt Godel, tác giả của định lí bất toàn (Theorem of Incompleteness) - “một trong những định lí quan trọng nhất đã được chứng minh trong thế kỉ 20, sánh ngang với thuyết tương đối của Einstein và nguyên lí bất định của Heisenberg”.

Nhưng Einstein và Heisenberg nổi tiếng bao nhiêu thì tên tuổi của Godel lại bị che khuất bấy nhiêu! Đó là một sự thật trớ trêu - ẩn số lớn nhất trong lịch sử khoa học thế kỉ 20. Giải mã ẩn số này là một việc cần thiết, vì nó không những làm sáng tỏ ý nghĩa vô cùng trọng đại của định lí bất toàn, mà còn giải thích vì sao “bóng ma” của chủ nghĩa hình thức vẫn có thể tiếp tục ám ảnh nhiều nền giáo dục trên thế giới, gây nên những hỗn loạn và tổn thất không thể đo đếm được, mặc dù chủ nghĩa này đã chính thức bị định lí Godel khai tử từ năm 1931.

Một gương mặt vĩ đại bị che khuất

Thế kỉ 20 có ba lí thuyết cách mạng gây nên những cuộc đảo lộn triệt để chưa từng có về nhận thức: 1 - Thuyết tương đối của Einstein, 2 - Nguyên lí bất định của Heisenberg, và 3 - Định lí bất toàn của Godel.

Tuy nhiên, “số phận” của định lí bất toàn “bi đát” hơn hai lí thuyết kia rất nhiều: Mặc dù thuyết tương đối chưa bao giờ được trao giải Nobel nhưng nó nhanh chóng chiếm được niềm tin của giới vật lí, đưa tên tuổi Einstein lên hàng “Copernicus của thế kỉ 20”; Nguyên lí bất định tuy bi Einstein chống đối đến cùng, nhưng được Niels Bohr và rất nhiều nhà vật lí hàng đầu ủng hộ, sớm làm cho lí thuyết của Heisenberg có ảnh hưởng lớn trong vật lí. Trong khi đó, Godel chủ yếu chỉ được giới học thuật gần gũi với ông biết đến. Định lí của ông trong một thời gian rất dài không được phổ biến rộng rãi. Trừ một vài nhân vật xuất chúng sớm nhận thấy tầm quan trọng của định lí này, còn đại đa số các nhà toán học khác vẫn nuối tiếc lí tưởng của chủ nghĩa hình thức, mặc dù lí tưởng ấy đã bị định lí Godel chứng minh là huyễn hoặc, không tưởng. Trước khi định lí Godel ra đời, trường phái hình thức gần như thống trị toán học, khuynh đảo tư tưởng toán học, vì thế thói tự phụ của nó rất lớn, sức ì của nó cũng rất lớn. Nó không dễ giơ tay đầu hàng như một võ sĩ quân tử bị đấm gục trên sàn đấu. Tính bảo thủ trong khoa học đôi khi lớn hơn rất nhiều so với những gì chúng ta vẫn kì vọng vào tính khách quan của khoa học! Hậu quả là định lí Godel bị rất nhiều nhà toán học tảng lờ, nếu không muốn nói là ngấm ngầm chống đối. Trong bối cảnh ấy, tên tuổi của Godel bị che khuất là điều dễ hiểu. Sự thật này đã được John Casti và Werner DePauli nhấn mạnh ngay trong “Lời nói đầu” của cuốn Godel, A Life of Logic (Godel, một cuộc đời cho logic):

“Trong dịp lễ chào mừng thiên niên kỉ mới, Tạp chí Time đã công bố danh sách 100 nhân vật vĩ đại nhất của thế kỉ 20. Kurt Godel được liệt trong danh sách đó như là nhà toán học vĩ đại nhất. Tuy nhiên, nếu bạn lựa chọn ngẫu nhiên 100 người và hỏi họ “Quý vị có biết Kurt Godel là ai không?”, thì dường như chắc chắn là bạn sẽ nhận được những câu trả lời không đồng nhất. Tình hình sẽ hoàn toàn khác nếu bạn hỏi ai là nhà, vật lí vĩ đại nhất thế kỉ 20, câu trả lời sẽ đồng nhất: Einstein. Năm 1965, trong thư gửi ngài Bộ trưởng Ngoại giao Áo Bruno Kreysky, nhà kinh tế học người Áo Oskar Morgenstern viết: “Tuyệt đối chẳng còn gì để nghi ngờ rằng Godel là nhà logic vĩ đại nhất đang còn sống; thật vậy, những nhà tư tưởng xuất chúng như Hermann Weyl và John Von Neumann đều đã tuyên bố Godel dứt khoát phải là nhà logic vĩ đại nhất kể từ Leibniz, hoặc thậm chí kể từ Aristotle. Nhưng dường như trong toàn bộ lịch sử của Đại học Vienna, không có tên tuổi gương mặt nào từng giảng dạy ở đó lại bị che khuất như tên tuổi của Godel… Có lần Einstein nói với tôi rằng công trình nghiên cứu riêng của ông không còn có ý nghĩa nhiều đối với ông nữa, và rằng ông đến Viện nghiên cứu đơn giản chỉ để có đặc ân được đi bộ về nhà cùng với Godel mà thôi”.

Hoá ra “nhà logic vĩ đại nhất kể từ Aristotle”, người mà Einstein “đến Viện nghiên cứu đơn giản chỉ để có đặc ân được cùng đi bộ về nhà” lại chẳng được giới toán học hưởng ứng nhiệt liệt như giới vật lí đã dành cho thuyết tương đối và nguyên lí bất định. Tại sao vậy? Vì định lí Godel đã làm tan “giấc mộng vàng” của chương trình Hilbert - giấc mộng làm mê hoặc lòng người vì nó hứa hẹn sẽ dẫn toán học tới “thiên đường hoàn mỹ”!

“Giấc mộng vàng” của chương trình Hilbert

Giấc mộng ấy xuất phát từ nhận thức cố hữu rằng toán học là một cái gì đó xác định, tuyệt đối chặt chẽ, không thể có kẽ hở logic. Kiểu nhận thức ấy lộ rõ trong “mốt” dạy toán hiện nay: Chú trọng thái quá vào những biện luận tiểu tiết mà bỏ quên việc nhấn mạnh và khơi gợi ý nghĩa thực tiễn của bài toán. Nhận thức ấy càng “vững chắc” bao nhiêu thì càng dễ khủng hoảng bấy nhiêu trước những “sự cố bất định” trong toán học. Chẳng hạn: Tổng S = 1 - 1 + 1 – 1 + … =? Chúng ta dễ dàng thấy rằng S không hội tụ về một giá trị xác định, cũng không phân kì, mà dao động giữa 0 và 1, nói chính xác hơn là S lấy hai và chỉ hai giá trị, hoặc 0 hoặc 1. Suy diễn logic máy móc có thể chứng minh S = 1/2. Vậy hoá ra toán học cũng “bất định” ư? Đó là một nghịch lí, và toán học không thể chấp nhận nghịch lí, toán học không thể bất định!

Nhưng “bất hạnh” thay, đầu thế kỉ 20, toán học đã lâm vào khủng hoảng nghịch lí (paradoxe crisis) trầm trọng chưa từng có, trong đó nghịch lí Russell là “cơn địa chấn 8 độ richter”, đe doạ làm sụp đổ toà lâu đài toán học vì nó đã chỉ ra những vết rạn nứt ngay từ trong nền móng.

Thay vì linh cảm mách bảo nghịch lí chính là tín hiệu báo động bản chất bất toàn của mọi hệ logic (như sau này định lí Godel đã chỉ rõ), phần lớn các nhà toán học đã tập hợp lại dưới ngọn cờ của David Hilbert để lo sửa chữa, tái thiết lại toà lâu đài toán học, với nhiệm vụ cấp bách là làm “vệ sinh” cho toán học - “tẩy rửa” mọi nghịch lí ra khỏi toán học!

Đó là lí do ra đời chương trình Hilbert, với tham vọng “vá trời lấp biển”: Xây dựng một hệ thống siêu-toán học - một hệ thống toán học tuyệt đối siêu hình, tuyệt đối thoát li khỏi thế giới hiện thực, cho phép XÁC ĐỊNH tính trắngđen, đúngsai của bất kì một mệnh đề toán học nào và chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học.

Để xây toà lâu đài siêu-toán học, cần có những công cụ lí tưởng, nhằm đảm bảo tuyệt đối việc loại bỏ các “tạp chất phi toán học” ra khỏi toán học. Công cụ “lí tưởng” ấy đã sẵn có: Logic và lí thuyết tập hợp, như Hermann Weyl mô tả: “Logic là phép vệ sinh mà các nhà toán học thực hành nhằm giữ cho tư tưởng của họ được khỏe mạnh và chắc chắn”. Kể từ đó, chủ nghĩa tôn sùng logic và tập hợp ra đời, và nghiễm nhiên trở thành tư tưởng thống trị toán học, rồi dần dần trở thành “mốt thòi thượng”, cứ như thể là nếu không có logic và tập hợp thì toán học sẽ tiêu vong (!?).

Cũng chính từ đó, nhận thức về bản chất của toán học bắt đầu bị méo mó: Toán học bị đồng nhất với Logic hình thức (Logic thuần tuý suy diễn bằng kí hiệu, bất chấp ý nghĩa thực tế của các đối tượng toán học).

Sự méo mó ấy đạt tới mức tột đỉnh khi người ta hạ thấp vai trò thực dụng của toán học, để dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm hệ thống siêu-toán học - thực chất là tìm kiếm một thứ TOE (Theory of Everything) của toán học, tức một “Lí thuyết về mọi thứ” của toán học! Nỗ lực ấy được cổ vũ mạnh mẽ bởi tuyên bố chắc nịch của Hilbert:

“Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”.

(Wir müssen wissen; wir werden wissen)

Nhưng “lúc vui nhất là lúc nên về” - “Lễ hội tưng bừng” của chương trình Hilbert bị chấm dứt đột ngột vào năm 1931, khi Godel công bố định lí bất toàn: “Năm 1931, một nhà toán học mới có 25 tuổi đã công bố công trình vĩnh viễn phá huỷ niềm hi vọng của Hilbert. Kurt Godel đã buộc các nhà toán học phải chấp nhận rằng toán học sẽ không bao giờ hoàn thiện về mặt logic, … Đây là đòn chí mạng giáng vào chương trình Hilbert”. Hoá ra “giấc mộng vàng” của chương trình Hilbert chỉ là một giấc mơ không tưởng, y như giấc mơ của “Sáu anh mù ở xứ Indostan” muốn khám phá ra con voi của họ. Và hoá ra siêu- toán học chỉ là một “con voi toán học” hay “Chiếc chén Thánh của chủ nghĩa hình thức” mà thôi. Vậy đã đến lúc chúng ta cần biết rõ nội dung định lí Godel, để hiểu vì sao nó lại trở thành đòn chí mạng” đối với chủ nghĩa hình thức của Hilbert.

Nội dung của định lí bất toàn

Nguyên văn định lí Godel được trình bày bằng ngôn ngữ logic hình thức, rất khó hiểu đối với những người không có chuyên môn. Nhưng may thay, nó đã được phiên dịch sang ngôn ngữ thông thường để bất cứ ai cũng có thể hiểu được. Gọi chung là định lí bất toàn nhưng thực ra có hai định lí. Cả hai đều chỉ ra rằng toán học về bản chất là bất toàn (không đầy đủ), vì nó luôn chứa đựng những mệnh đề không quyết định được (undecidable), tức những mệnh đề không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

Định lí 1: Nếu một lí thuyết dựa trên một hệ tiên đề phi mâu thuẫn thì trong lí thuyết ấy luôn luôn tồn tại những mệnh đề không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ.

Định lí 2: Không tồn tại bất cứ một quy trình suy diễn nào cho phép chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề.

Chẳng hạn ta hãy xét mệnh đề được đóng khung sau đây:

Nếu mệnh đề trên sai, suy ra phủ định của nó đúng, tức là nó có thể chứng minh được, nhưng kết luận này trái với nội dung của chính nó. Vậy buộc nó phải đúng, tức là không thể chứng minh được.

Phiên dịch ngược mệnh đề trên sang ngôn ngữ của logic toán, chúng ta sẽ có một mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh được.

Đặc trưng của loại mệnh đề này là ở chỗ nó nói về chính nó, vì thế chúng được gọi là “mệnh đề tự quy chiếu” (self- referential statements).

Từ xa xưa, khoảng 600 năm trước Công nguyên, một nhà thơ kiêm triết gia Hi Lạp cổ đại là Epimenides ở xứ Cretan cũng đã nêu lên một mệnh đề về một kẻ tự nói về mình, “Ta là kẻ nói dối!” (I am a liar!), để khuyến cáo các nhà thông thái về cái vòng logic luẩn quẩn của những mệnh đề tự nói về mình. Mệnh đề này rất nổi tiếng và đã đi vào lịch sử triết học, ngôn ngữ học, logic học với tên gọi “Nghịch lí Cretan” hay “Nghịch lí Epimenides”.

Siêu-toán học xét cho cùng chính là một hệ thống toán học tự quy chiếu, bởi vì nó dùng toán học để phán xét chính bản thân toán học!

Vậy chương trình Hilbert ắt phải sa vào cái vòng logic luẩn quẩn, như một kẻ đi tìm điểm cuối cùng trên một đường tròn vậy. Chính nghịch lí Russell đã chỉ ra cái vòng luẩn quẩn trong số học của Frege, nhưng đáng tiếc là Russell lại không nhận ra bản chất bất toàn của logic toán học, nên ông lại tìm mọi cách “khắc phục” sai lầm của Frege để tiếp tục giương cao ngọn cờ của chủ nghĩa hình thức. Phải đợi đến khi định lí Godel ra đời thì chủ nghĩa hình thức mới thật sự bị khai tử! Thật vậy:

Nếu chương trình Hilbert có tham vọng xác định rõ ràng tính trắngđen, đúngsai của bất kì một mệnh đề nào thì định lí Godel lại khẳng định toán học tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được!

Nếu chương trình Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của toàn bộ toán học thì định lí Godel lại khẳng định không tồn tại quy trình nào để chứng minh tính phi mâu thuẫn của một hệ tiên đề!

Cụ thể, Hilbert muốn chứng minh tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề số học (bài toán số 2 trong số 23 bài toán Hilbert thách thức thế kỉ 20), nhưng định lí Godel khẳng định rằng bài toán ấy là vô vọng.

Định lí 2 có thể nói rõ hơn như sau: Không thể kiểm tra tính phi mâu thuẫn của một hệ thống A nếu chỉ sử dụng những tiên đề của hệ A, bởi vì trong hệ A luôn tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Muốn kiểm tra tính phi mâu thuẫn của hệ A, buộc phải đi ra ngoài hệ A để bổ sung thêm những tiên đề mới cho A. Khi đó ta có một hệ thống mới, gọi là A mở rộng, trong A mở rộng lại xuất hiện những mệnh đề mới không quyết định được. Quy trình đó cứ tiếp diễn mãi và rốt cuộc là chẳng bao giờ ta đi được tới đích cuối cùng. Vậy tham vọng tìm kiếm “con voi toán học” là BẤT KHẢ!

Sự thật tưởng như đã quá rõ, vậy mà “bóng ma” của chủ nghĩa hình thức vẫn tiếp tục ám ảnh nhiều nhà toán học và giáo dục cho đến tận hôm nay. Đó là trào lưu “Toán học mới” ở phương Tây những năm 60 của thế kỉ 20, và là hiện tượng “dạy giả + học giả” ở nước ta hiện nay mà báo chí không ngừng phàn nàn kêu ca.

Nhưng nếu toàn bộ cộng đồng toán học đều bảo thủ như vậy thì ai là người đã đưa tên tuổi Godel trở lại đúng vị trí và tầm vóc của ông như hôm nay? Tại sao Tạp chí Time lại tôn ông là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỉ 20?

Đó là nhờ công sức của những nhân vật lỗi lạc chủ yếu đếu hoạt động trong lĩnh vực khoa học computer. Đầu tiên phải nhắc đến John von Neumann, một nhà khoa học phi thường, một trong những ông tổ của khoa học computer tại Mỹ. Vốn là một cộng sự đắc lực trong chương trình Hilbert, nhưng ngay sau khi biết định lí Godel, Neumann đã lập tức huỷ bỏ các bài giảng theo chủ nghĩa hình thức để thay thế bằng định lí Godel. Cùng với những công trình của Alan Turing và Alonso Church, và sau này là của Gregory Chaitin, giới khoa học Computer càng ngày càng nhận thấy định lí Godel có ý nghĩa lớn hơn rất nhiều so với trước đây người ta tưởng: Ý nghĩa ấy vượt ra khỏi phạm vi toán học, bao trùm lên hàng loạt ngành khoa học mũi nhọn trong xã hội hiện đại, đặc biệt là khoa học computer, và cuối cùng là ý nghĩa sâu xa về triết học nhận thức.

Ý nghĩa triết học đó đã được chính Godel nói rõ: “Ý nghĩa của cuộc sống là ở chỗ biết phân biệt ước muốn với hiện thực”!

Hệ thống giáo dục hiện đại có quá nhiều ước muốn - ước muốn tiến thật nhanh, ước muốn biến trẻ em thành những “thần đồng” - nhưng lại chẳng hiểu gì về khái niệm giới hạn của nhận thức mà truyện ngụ ngôn “Thầy bói xem voi” của John Saxe đã nói từ lâu và định lí Godel đã khẳng định một cách không thể phủ nhận được dưới dạng toán học!

Vậy trong khi giới khoa học và công nghệ computer thấy rõ ý nghĩa trọng đại của định lí Godel để hướng nghiên cứu vào những đề tài thực tiễn, dẫn tới cuộc cách mạng thông tin ngày nay, thì nền giáo dục phổ thông lại khư khư ôm chặt cái tinh thần “cổ lỗ sĩ” của chủ nghĩa hình thức, biến sự học thành hư học”, tụt hậu, không theo kịp đà phát triển của khoa học và công nghệ. Đó là một nghịch lí lớn về giáo dục. Nghịch lí ấy xuất phát từ chỗ người ta không nhận thức được ý nghĩa và tầm vóc của định lí Godel.

Ý nghĩa và tầm vóc của định lí Godel

Trong cuốn An incomplete Education (Một nền giáo dục không đầy đủ), Judy Johns và William Wilson viết:

- Định lí Godel cũng được sử dụng để lí luận rằng computer sẽ chẳng bao giờ thông minh như con người, bởi vì phạm vi hiểu biết của nó bị giới hạn bởi một hệ tiên đề cố định, trong khi con người có thể khám phá ra những chân lí không thể dự đoán…

- Định lí này đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết ngôn ngữ hiện đại, trong đó người ta nhấn mạnh rằng khả năng diễn tả của ngôn ngữ sẽ tăng lên bằng những phương cách mới nhằm thể hiện ý tưởng.

- Định lí này cùng được dùng để giải thích rằng bạn sẽ chẳng bao giờ hoàn toàn hiểu được chính bạn, bởi vì ý nghĩ của bạn, giống như bất kì hệ thống khép lớn nào khác, chỉ có thể biết về bản thân mình dựa trên những kiến thức của chính mình (Khi chúng ta tự nhận định về bản thân mình thì hệ tư duy của chúng ta trở thành một hệ tự quy chiếu).

John von Neumann, người có mộ chí cách mộ Godel chỉ 10m, nói:

- Theo những trải nghiệm của những người hiện còn sống, (thế kỉ 20) đã có ít nhất ba cuộc khủng khoảng nghiêm trọng… trong đó có hai cuộc khủng hoảng về vật lí, được gọi là khủng hoảng về nhận thức, đó là việc khám phá ra thuyết tương đối và lí thuyết lượng tử… Cuộc khủng hoảng thứ ba xảy ra trong toán học. Đó là một cuộc khủng hoảng nghiêm trọng về nhận thức, liên quan tới việc tìm kiếm những phương pháp đúng đắn và chặt chẽ để đưa ra một chứng minh toán học chính xác. Toán học trước đây vốn được coi là tuyệt đối chật chẽ, vì thế cuộc khủng hoảng này là hết sức bất ngờ, và lại càng bất ngờ hơn vào những ngày về sau, khi mà những phép mầu tưởng rằng không thể nào xảy ra. Tuy nhiên, nó đã xảy ra (“Phép mầu” ấy chính là định lí bất toàn của Kurt Godel).

Bách khoa toàn thư Wikipedia cũng nhận định:

- Định lí bất toàn của Godel… có ý nghĩa vô cùng quan trọng đối với triết học toán học. Nó… đã chỉ ra rằng chương trình của Hilbert nhằm tìm kiếm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho toàn bộ toán học là BẤT KHẢ, và do đó nó đã cho một câu trả lời phủ định đối với bài toán số 2 của Hilbert.

Trong cuốn Godel, A Life of Logic, John Cash và Werner DePauli nhấn mạnh những ý nghĩa cực kì quan trọng sau đây:

- Godel đã khám phá ra rằng cho dù tồn tại những chân lí về mối quan hệ giữa các con số thuần tuý (ý nói các con số tách rời ý nghĩa vật chất thực tế), thì các phương pháp suy diễn logic vẫn quá yếu để chúng ta có thể chứng minh tất cả những chân lí đó. Nói cách khác, đơn giản là thế giới chân lí lớn hơn thế giới chứng minh.

- Việc công bố một chứng minh thuyết phục rằng tồn tại những mệnh đề toán học được coi là đúng nhưng không thể chứng minh, như Godel đã làm năm 1931, đã gây chấn động thế giới toán học như một vụ nổ không khí ở Bắc cực giữa mùa đông lạnh buốt.

- Kết luận chủ yếu của Wittgenstein logic là cần chứ không đủ để mô tả bất kì một thực tế khách quan nào”, và “ngôn ngữ không thể bắt kịp với tất cả những gì tồn tại trên thế giới”, đã được Godel trình bày dưới dạng toán học… Về căn bản, cái mà Godel chỉ ra là không có một dạng toán học nào có thể đủ thông minh để biểu hiện đầy đủ khái niệm chân lí thường ngày.

Hình 3. Einstein trao tặng Godel Giải thưởng Albert Einstein vì những công trình xuất sắc trong khoa học tự nhiên (Princeton 1951)

Nhận định trên cũng được Hofstadter nhấn mạnh trong cuốn Godel, Escher, Bach như sau:

- Godel đã chỉ ra rằng thế giới chứng minh là một thế giới nhỏ hơn thế giới chân lí, bất kể hệ tiên đề của thế giới ấy ra sao.

Có nghĩa là toán học - lĩnh vực nhận thức mà ta tưởng là “ông vua của các khoa học” - thực ra cũng rất “yếu”: Bằng trực giác con người có thể cảm nghiệm được những chân lí toán học mà chính toán học không thể chứng minh! Godel đã mô tả điều này rõ hơn ai hết:

Thế giới chân lí có thể chứng minh được quá nhỏ so với thế giói chân lí nhận thức được (bằng trực giác và mọi phương tiện nhận thức), nhưng thế giới chân lí nhận thức được lại quá nhỏ bé so với thế giới hiện thực.

Có nghĩa là thế giới hiện thực quá mênh mông so với thế giới có thể chứng minh được! Vì thế, Godel không thể cầm lòng mà thốt lên:

“My God, the mazes must be enormous!” (Ôi lạy Chúa, cái mê cung (Ngài tạo ra) mới khổng lồ làm sao!). Lời thán này làm ta nhớ đến lời thán của Pierre Simon de Laplace một thế kỉ trước: “Ce que nous savons est peu de choses, ce que nous ignorons est immense” (Cái ta biết thì quá ít ỏi, cái ta không biết thì mênh mông). Nhưng Laplace chỉ nói như một tâm sự triết lí, trong khi Godel nói như một khẳng định khoa học! Đó không phải là chủ nghĩa “bất khả tri” (agnosticism), mà là khoa học về giới hạn của nhận thức.

Bách khoa toàn thư triết học Stanford (Stanford Encyclopedia of Phylosophy) cho biết:

- Năm 1986, Solomon Feferman (Giáo sư Đại học Stanford, Mỹ, một nhà toán học và triết học khoa học nổi tiếng) nhận định rằng Kurt Godel chiếm một vị thế không ai có thể so sánh được: Đó là nhà logic quan trọng nhất trong thời đại chúng ta… Có lẽ trong số những thành tựu có ý nghĩa nhất về logic kể từ những thành tựu của Aristotle, định lí bất toàn của Godel là một bước ngoặt trong toán học thế kỉ 20. Công trình của ông đụng tới mọi lĩnh vực của logic toán học, nếu không phải là nguồn kích thích căn bản trong hầu hết các trường hợp. Trong công trình triết học của mình, Godel đã trình bày và bảo vệ chủ nghĩa Plato trong toán học, bao gồm quan điểm cho rằng toán học là một khoa học mô tả, và rằng nhận thức chân lí toán học là một đối tượng khách quan (thay vì chủ quan do con người tự nghĩ ra).

Hình 4. Mối quan hệ giữa ba thế giới theo quan điểm của Godel

Và sau đây là một số nhận định của những nhà khoa học khác:

- Godel đã chỉ ra rằng có những bài toán không thể giải được bằng bất kì một tập hợp quy tắc hoặc quy trình nào; để giải những bài toán đó, người ta luôn luôn phải mở rộng hệ tiên đề. Điều này đã phủ nhận niềm tin phổ biến vào thời đó là các ngành toán học khác nhau có thể tập hợp lại và đặt trên một nền tảng logic duy nhất.

- Sau này, Alan Turing đã đưa ra sự diễn giải những kết quả của Gòdel bằng cách đặt chúng trên một cơ sở thuật toán: Có những con số và hàm số không thể tính toán được bằng bất kì chiếc máy logic nào.

- Gần đây hơn, Gregory Chaitin, một nhà toán học làm việc tại IBM, đã nhấn mạnh rằng những kết quả của Godel và Turing đã xác định những giới hạn cơ bản đối với toán học.

- Là một trong những nhà logic xuất sắc nhất của mọi thời đại, Godel với công trình của ông đã gây ra một va chạm vô cùng lớn đối với tư duy khoa học và triết học thế kỉ 20, vào lúc mà rất nhiều người, như Bertrand Russell, Alfred Whitehead và David Hilbert đang cố sử dụng logic và lí thuyết tập hợp để hiểu được toàn bộ nền tảng của toán học.

- Định lí Godel đã chấm dứt nỗ lực kéo dài một trăm năm hòng thiết lập một hệ tiên đề cho toàn bộ toán học. Nỗ lực chủ yếu đã được thực hiện bởi Bertrand Russell trong cuốn Principia Mathematica (1910-1913). Một nỗ lực khác là chủ nghĩa hình thức của Hilbert, nhưng nó đã bị giáng một đòn chí tử bởi những kết quả của Godel.

- Định lí Godel là một bước ngoặt trong toán học thế kỉ 20, chỉ ra rằng toán học không phải là một cái gì đó hoàn hảo như ta vẫn tưởng. Định lí này cũng được sử dụng để ngụ ý rằng không bao giờ có thể lập được một chương trình cho computer để trả lời mọi câu hỏi toán học.

Ý nghĩa định lí Godel với giáo dục:

Tầm vóc của định lí Godel quá lớn, nhưng bài báo đã quá dài, phải tạm kết ở đây bằng những câu hỏi để cùng suy ngẫm:

- Liệu có thể hiểu đúng bản chất của toán học bằng cách đóng khung hiểu biết trong các tiên đề và định lí toán học không? Godel gợi ý chúng ta rằng muốn hiểu toán học đầy đủ hơn, phải đi ra ngoài toán học! Vậy bên ngoài toán học là cái gì, nếu không phải là những phương tiện khác của nhận thức và đặc biệt là nhận thức trực giác và kinh nghiệm thực tế?

- Có phải Logic là “chiếc kim la bàn hướng tới chân lí” không? Reuben Hersh trả lời: “Logic là gì? Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lí học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computer chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cùng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!”.

Định lí Godel khuyến cáo chúng ta rằng không thể có bất cứ một thứ TOE (Lí thuyết về mọi thứ) nào cả. Vậy khoa học có nên tốn quá nhiều tiền của và chất xám vào những đề tài phiêu lưu, nặng về khoa trương sáo rỗng không?

- Liệu việc nhồi nhét logic và tập hợp vào đầu trẻ em có biến trẻ em thành những “thần đồng” không? Giáo dục phổ thông là gì, nếu không KHAI TÂM mà chỉ lo khái trí, nhồi nhét kiến thức? Tạp chí Time ngày 30 tháng 4 năm 2001 cảnh báo: “Vậy bạn muốn biến trẻ em thành thần đồng?… Hãy vứt những danh hiệu phô trương đi, hãy nghỉ ngơi và để cho trẻ em là trẻ em”! Trong con mắt của tác giả bài viết này, đó chính là một hệ quả suy rộng tuyệt vời của định lí Godel sang lĩnh vực giáo dục!

❀ ❀ ❀

[1] Dẫn theo cuốn Impossibility của John Barrow.

[2] Ví dụ như Reuben Hersh ở Mỹ và Michio Kaku ở Nhật Bản.

[3] Trích bài của La Thiếu Bình, nhan đề “Ý nghĩa sâu xa của truyện Người Mù Sờ Voi”, Khoa học và Tổ quốc, tháng 8 năm 2009.

[4] Nguyên văn: “I don’t believe in Mathematics”. Dẫn theo Impossibility của John Barrow.