Hiệu ứng con bướm

Bất chấp hàng loạt lí thuyết ra đời trong thế kỉ 20 dẫn tới những cuộc cách mạng đảo lộn vũ trụ quan cổ điển, đến nay tư tưởng chủ đạo của khoa học vẫn là chủ nghĩa tất định (determinism) - tư tưởng cho rằng vũ trụ vận hành theo những quy luật xác định và do đó, về nguyên tắc, khoa học phải dự báo được tương lai một cách chính xác.

Nhưng thực ra tự nhiên phức tạp, hỗn độn (chaotic) và khó dự đoán hơn ta tưởng rất nhiều. Tính ngẫu nhiên và bất định không chỉ tác động trong thế giới lượng tử, mà ngay cả trong những hệ phức tạp (complex systems) của thế giới vĩ mô.

Bản chất bất định và hỗn độn của tự nhiên đã được Melvyn Bragg mô tả trong cuốn On Giant’s Shoulders (Đứng trên vai những người khổng lồ) khi ông nói về lí thuyết hỗn độn (Theory of Chaos) như sau: “Một con bướm vỗ cánh ở Tokyo có thể dẫn tới hậu quả là một cơn bão ở Florida một tháng sau đó”.

Lí thuyết hỗn độn đang ngày càng trở nên quan trọng hơn bao giờ hết, bởi vì người ta khám phá ra rằng có rất nhiều hệ phức tạp trong tự nhiên và xã hội chịu sự tác động của hiệu ứng con bướm: Từ cơ học thiên thể cho tới các chương trình computer, vấn đề dự báo thời tiết, vấn đề môi trường toàn cầu, hệ thống mạch điện, hiện tượng bùng nổ dịch bệnh, bùng nổ dân số, khủng hoảng kinh tế, vấn đề hoạch định chính sách, vv.

Tuy nhiên phải đợi tới những năm 60 của thế kỉ 20 thì hiện tượng hỗn độn mới được nghiên cứu thành những lí thuyết hệ thống, nhưng thực ra nó đã được khám phá lần đầu tiên từ cuối thế kỉ 19 bởi nhà toán học lừng danh Henri Poincaré - người được gọi là “Mozart của toán học” và là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại.

Henri Poincaré và Bài toán ba vật

Bài toán ba vật do Isaac Newton nêu lên từ năm 1687 trong tác phẩm Principia (Nguyên lí) nhằm nghiên cứu chuyển động của các thiên thể trong mối quan hệ tương tác hấp dẫn giữa chúng: “Hãy xác định vị trí của ba vật chuyển động trong không gian nếu biết vị trí ban đầu của chúng”.

Thoạt nghe, bài toán có vẻ khá đơn giản, nhưng thực ra lại phức tạp và khó đến mức thách thức những bộ óc siêu việt nhất của nhân loại. Các nhà toán học vĩ đại như Euler, Lagrange,… đã từng lao vào giải, nhưng chỉ tìm được lời giải cho những trường hợp đặc biệt. Đến cuối thế kỉ 19 vẫn chưa có ai tìm được lời giải cho trường hợp tổng quát.

Năm 1887, nhà toán học Gosta Mittag Leffler đã kiến nghị với vua Thụy Điển và Na Uy lúc đó là Oscar II nên mở cuộc thi giải Bài toán ba vật dưới dạng tổng quát để mừng sinh nhật lần thứ 60 của chính nhà vua vào năm 1889. Vua Oscar II chuẩn y và ban bố cuộc thi. Số tiền thưởng không lớn lắm (chỉ bằng khoảng một nửa tiền lương hằng năm của một viện sĩ hàn lâm), nhưng danh dự rất lớn - người thắng cuộc sẽ được coi là người giỏi nhất trong số những người giỏi nhất!

Nhà toán học Pháp Henri Poincaré, lúc ấy 33 tuổi, đang nổi lên như một trong những ngôi sao sáng nhất trên bầu trời toán học, đã mất tới ba năm để giải bài toán, để rồi gửi tới hội đồng giám khảo một lời giải dài dòng và phức tạp đến nỗi hội đồng này không thể hiểu được.

Họ đề nghị ông giải thích. Poincaré liền gửi tới hội đồng một bản bình luận tiếp theo dài tới một trăm trang để giải thích lời giải của ông. Sau khi hiểu được lời giải, hội đồng giám khảo quyết định trao tặng giải thưởng cho Poincaré. Đó là một sự kiện khoa học gây chấn động dư luận cuối thế kỉ 19.

Nhưng dư luận còn bị chấn động hơn nữa khi lời giải được công bố chính thức trên Tạp chí Acta Mathematica (một trong những tạp chí uy tín nhất thời đó), bởi lẽ trong lời giải mới này, Poincaré đã chỉ ra sai lầm của chính ông trong lời giải đã đoạt giải thưởng trước đó.

Đó là một sai lầm về hình học - trong số các trường hợp hình học có thể xảy ra, ông đã bỏ sót một trường hợp mà ông nghĩ rằng không quan trọng.

Hình 1. Chân dung Henri Poincaré (1854-1912)

May mắn làm sao, và thú vị làm sao, khi nghiên cứu lại lời giải để gửi tới tạp chí, ông đã phát hiện ra trường hợp bị bỏ sót này. Càng nghiên cứu kĩ ông càng nhận thấy trường hợp bị bỏ sót này hoá ra lại quan trọng và thú vị hơn rất nhiều so với ông tưởng, bởi nó dẫn tới một kiểu chuyển động vô cùng phức tạp và kì lạ: Một trong các vật thể có xu hướng chuyển động hầu như ngẫu nhiên (không tuân theo một hướng xác định nào cả).

Đó là điều không thể tin được và cũng không thể hiểu được, vì hệ phương trình do ông thiết lập để giải bài toán là một hệ xác định, và do đó kết quả phải xác định, không thể là ngẫu nhiên. Nhưng trước một lời giải, tự nó nói lên một sự thật khác thường, Poincaré nhận thấy điều vô cùng quan trọng mà trước đó chưa ai nhận thấy: Nếu kết quả không phải là ngẫu nhiên thì ít nhất nó cùng không có một cấu trúc rõ ràng!

Poincaré dừng lại bài toán ở chỗ đó, rồi thốt lên: “Tôi không biết phải làm gì với kết quả này” (I don’t know what to do with this).

Lúc Poincaré dừng lại chính là lúc ông đã vô tình khép lại cánh cửa của chủ nghĩa tất định và mở ra cánh cửa của lí thuyết hỗn độn, mặc dù phải chờ tới năm 1963 thì lí thuyết hỗn độn mới chính thức bước lên diễn đàn khoa học, nhờ khám phá ngẫu nhiên của nhà khí tượng học Edward Lorenz.

Khám phá ngẫu nhiên của Edward Lorenz

Năm 1961, nhà khí tượng học Edward Lorenz đã thiết lập một hệ phương trình toán học để mô tả một dòng không khí chuyển động, lúc dâng cao, lúc hạ thấp tuỳ theo mức độ bị đốt nóng bởi ánh nắng mặt trời.

Sau đó ông mã hoá hệ phương trình này để tạo ra một chương trình chạy trên computer, nhằm nghiên cứu mô hình dự báo thời tiết.

Vì chương trình viết cho computer bao gồm những phương trình toán học và những mã lệnh hoàn toàn xác định nên Lorenz nghĩ rằng trong những lần chạy thử chương trình trên máy, nếu “input” (dữ liệu đầu vào của chương trình) hoàn toàn giống nhau thì đương nhiên “output” (kết quả ở đấu ra) cũng phải hoàn toàn giống nhau.

Nhưng một lần, sau khi nạp vào chương trình những dữ liệu ban đầu mà ông nghĩ rằng giống hệt như những lần trước, rồi sau đó cho chương trình chạy thử, ông sững sờ ngạc nhiên khi thấy kết quả ở đầu ra hoàn toàn khác biệt - khác một cách nghiêm trọng so với những lần chạy trước đó.

Kiểm tra lại toàn bộ hoạt động của computer một cách kĩ càng, từ phần cứng tới phần mềm, Lorenz không tìm thấy bất cứ sai sót nào, ngoài chi tiết mà trước đó ông tưởng là một sai lệch không đáng kể: Đó là một thay đổi vô cùng nhỏ trong một dữ liệu, số 0,506127 được làm tròn thành 0,506.

Theo quán tính tư duy khoa học trước đó, một sai lệch vô cùng nhỏ ở đầu vào sẽ không có ảnh hưởng gì đáng kể ở đầu ra. Quán tính tư duy này sẽ đúng nếu đối tượng khảo sát chưa đạt tới mức độ đủ phức tạp. Nhưng hệ thống dự báo thời tiết là một hệ thống phức tạp, nên quán tính tư duy nói trên không còn đúng nữa.

Thật vậy, trực giác đã mách bảo Lorenz rằng một sai lệch vô cùng nhỏ trong dữ liệu ở đầu vào của chương trình dự báo thời tiết của ông có thể dẫn tới một sai lệch khổng lồ ở kết quả đầu ra. Ông lập tức tiến hành nhiều thử nghiệm tương tự để đi tới khẳng định kết luận của mình, rồi công bố khám phá của mình trên các tạp chí khoa học. Một loạt các nhà khoa học trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau lập tức tiến hành những thử nghiệm tương tự, và cuối cùng đều đi tới chỗ xác nhận quan điểm của Lorenz. Từ đó, lí thuyết hỗn độn chính thức bước lên diễn đàn khoa học.

Năm 1975, Benoit Mandelbrot cho ra đời cuốn The Fractal Geometry of Nature (Hình học fractal của tự nhiên), được đánh giá là một lí thuyết kinh điển về hỗn độn.

Tháng 12 năm 1977, Viện Hàn lâm Khoa học New York (New York Academy of Sciences) lần đầu tiên tổ chức hội nghị về lí thuyết hỗn độn, tập hợp các nhà nghiên cứu lí thuyết hn độn xuất sắc nhất trên toàn thế giới, như:

- David Ruelle, nhà toán học-vật lí người Bỉ-Pháp, chuyên về vật lí thống kê và các hệ động học,

- Robert May, nguyên Chủ tịch Hội Hoàng gia Anh, Giáo sư Đại học Sydney và Đại học Princeton, chuyên áp dụng lí thuyết hỗn độn để nghiên cứu bệnh dịch và tính đa dạng của các quần thể sinh học phức tạp,

- James York, Chủ nhiệm khoa Toán thuộc Đại học Marryland ở Mỹ là người đầu tiên gieo thuật ngữ “chaos” (hỗn độn) vào trong thế giới toán học và vật lí,

- Robert Shaw, nhà vật lí Mỹ đã áp dụng lí thuyết hỗn độn - để nghiên cứu các kết quả ở đầu ra của máy quay roulette tại các sòng bạc, …

Chính trong bối cảnh khám phá ra hàng loạt hiện tượng hỗn độn trong các hệ phức tạp của tự nhiên và xã hội, các nhà khoa học mới nhận ra rằng ngay từ hơn sáu mươi năm trước, chính Henri Poincaré đã là người đầu tiên khám phá ra bản chất hỗn độn của các hệ phức tạp khi ông giải “bài toán n vật thể”. Thay vì chứng minh tính ổn định động học của hệ n vật thể, ông đã khám phá ra tính bất ổn định của các hệ động học phức tạp. Ngày nay, khoa học đã biết rằng tính bất ổn định này xuất phát từ tính bất định trong các phép đo dữ kiện ban đầu.

Tính bất định của các phép đo

Một trong những nguyên lí cơ bản của khoa học thực nghiệm là ở chỗ không có một phép đo nào trong thực tế có thể đạt tới độ chính xác tuyệt đối. Điều đó có nghĩa là các phép đo phải chấp nhận một mức độ bất định nào đó. Dù cho công cụ đo lường có hoàn hảo đến mấy thì mức độ chính xác cũng chỉ đạt tới một giới hạn nhất định, về lí thuyết, muốn đạt tới độ chính xác tuyệt đối thì công cụ đo lường phải đưa ra những con số có vô hạn chữ số. Điều này là bất khả.

Nhưng người ta cho rằng sử dụng những công cụ đo lường hoàn hảo hơn, có thể giảm thiểu tính bất định xuống tới mức độ có thể chấp nhận được, tùy theo mục tiêu của bài toán, mặc dù về nguyên tắc, không bao giờ triệt tiêu được tính bất định đó.

Khi nghiên cứu chuyển động của các vật thể dựa trên các định luật của Newton, tính bất định trong các dữ kiện ban đầu được coi là khá nhỏ, không ảnh hưởng tới kết quả dự đoán xảy ra trong tương lai hoặc quá khứ.

Quả thật, dựa trên các định luật của Newton, Urbain Le Verrier đã tiên đoán chính xác sự tồn tại của hành tinh Neptune (Hải Vương tinh). Những sự kiện tương tự như thế đã làm nức lòng người, củng cố niềm tin vào chủ nghĩa tất định: Vũ trụ vận hành giống như một “chiếc đồng hồ Newton”, và do đó có thể dự báo tương lai một cách chính xác.

Nếu xuất hiện kết quả bất định trong các hệ động học, thì chắc chắn nguyên nhân xuất phát từ tính bất định trong các phép đo dữ kiện ban đầu, thay vì các phương trình chuyển động, bởi vì các phương trình này là hoàn toàn xác định. Và từ lâu, người ta đã cho rằng nếu giảm thiểu đến mức tối đa tính bất định trong các phép đo thì con người sẽ có thể đưa ra những dự báo chính xác đến mức tối đa.

Nhưng chủ nghĩa tất định đã lầm. Những hệ động lực học phức tạp mang tính bất ổn định ngay từ trong bản chất của chúng.

Tính bất ổn định hệ động lực học

Trong “Bài toán ba vật”, hệ phương trình chuyển động của các vật thể do Poincaré thiết lập hoàn toàn dựa trên các định luật Newton, và do đó là hoàn toàn xác định. Cụ thể, nếu biết vị trí, tốc độ của các vật thể tại một thời điểm cho trước, chúng ta có thể xác định được vị trí và tốc độ của các vật thể tại một thời điểm khác trong tương lai hoặc quá khứ.

Nhưng vì không thể xác định vị trí và tốc độ của các vật thể tại một thời điểm cho trước một cách chính xác tuyệt đối nên luôn luôn tồn tại một mức độ thiếu chính xác nào đó trong các dự báo thiên văn dựa trên các định luật Newton.

Tuy nhiên, trải qua hàng trăm năm kể từ khi các định luật Newton ra đời cho đến trước khi lời giải “Bài toán n vật thể” của Poincaré được công bố chính thức, trong giới vật lí và thiên văn đã tồn tại một “thoả thuận ngầm”: Sự thiếu chính xác tuyệt đối trong các dự báo thiên văn là một vấn đề nhỏ, bởi vì với tiến bộ không ngừng của công nghệ đo lường, sự thiếu chính xác này sẽ được giảm thiểu đến mức tối đa. Nói cách khác, người ta đã ngầm hiểu rằng giảm thiểu tính bất định của dữ kiện ban đầu thì cũng giảm thiểu tính bất định trong kết quả dự đoán. Tiến sĩ Matthew Trump tại Trung tâm Ilya Prigorine tại Đại học Texas ở Austin gọi đó là quy luật srhink-shrink” (giảm-giảm). Nhưng Poincaré đã tạo nên một cú sốc khi chỉ ra rằng quy luật đó không còn đúng đối với những hệ thiên văn phức tạp!

Matthew Trump đã nói rằng: “Những hệ thiên văn điển hình không tuân thủ quy luật nói trên là hệ chứa ba hoặc nhiều hơn ba vật có quan hệ tương tác lẫn nhau. Poincaré chỉ ra rằng đối với những hệ loại này, một sai lệch vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu sẽ lớn dần lên theo thời gian với một tỉ lệ khổng lồ. Do đó, đối với cùng một hệ chuyển động, hai tập hợp dữ kiện ban đầu hầu như không phân biệt có thể dẫn tới hai dự đoán kết quả khác nhau một trời một vực. Poincaré đã chứng minh bằng toán học rằng hiện tượng “bùng nổ” của những bất định vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu thành những bất định khổng lồ trong kết quả dự đoán sẽ vẫn tiếp tục xảy ra ngay cả khi những bất định ban đầu được thu nhỏ tới kích thước nhỏ nhất. Nghĩa là, đối với những hệ này, dù cho bạn có thể thực hiện những phép đo dữ kiện ban đầu chính xác hơn tới hàng trăm hay hàng triệu lần hoặc hơn thế nữa, thì muộn hơn hay sớm hơn, tính bất định trong kết quả không hề giảm đi, mà vẫn vô cùng lớn. Những phân tích toán học của Poincaré thực chất đã chứng minh rằng đối với những “hệ phức tạp”, muốn có một dự đoán kết quả chính xác ở bất kì cấp độ nào cũng đòi hỏi phải xác định được dữ kiện ban đầu với độ chính xác tuyệt đối”.

Nhưng điều đó là BẤT KHẢ (impossible)!

Matthew Trump nói tiếp: “Tính chất cực kì nhạy cảm của dữ kiện ban đầu được trình bày một cách toán học trong những hệ thống nghiên cứu của Poincaré được gọi là tính bất ổn định động học (dynamical instability), hoặc đơn giản là “hỗn độn.”

Đó là lí do vì sao Henri Poincaré được coi là cha đẻ của Lí thuyết hỗn độn, mặc dù mãi đến những năm 60 của thế kỉ 20, lí thuyết này mới định hình.

Theo Matthew Trump thì: “Mặc dù công trình của Poincaré được một số nhà vật lí nhìn xa trông rộng đương thời đánh giá là vô cùng quan trọng, nhiều thế kỉ đã trôi qua trước khi những ẩn ý trong các khám phá của ông được toàn thể cộng đồng khoa học hiểu rõ. Một trong các lí do của sự chậm trễ này là vì phần lớn các nhà vật lí thời đó đang lao vào một lĩnh vực mới của vật lí, đó là cơ học lượng tử - lĩnh vực vật lí thâm nhập vào vương quốc hạ nguyên tử”.

Nhưng hiện nay, chính các nhà vật lí đang quan tâm tới lí thuyết hỗn độn hơn ai hết.

Biểu hiện của hỗn độn trong tự nhiên

Hệ thống thời tiết là một hệ phức tạp điển hình, ở đó bộc lộ rất rõ đặc trưng hỗn độn, như độc giả đã thấy phần nào qua câu chuyện về khám phá của Edward Lorenz năm 1961.

Matthew Trump cho biết: “Thuật ngữ “hiệu ứng con bướm” ra đời chính từ khoa học dự báo thời tiết. Một cái vỗ cánh của một con bướm ở một nơi nào đó trên trái đất có thể dẫn tới một cơn bão ở một nơi nào khác trên thế giới một năm sau đó… Với hiệu ứng đó, hiện nay người ta buộc phải chấp nhận rằng việc dự báo thời tiết chỉ đạt được mức độ chính xác tương đối và ngắn hạn. Dù cho được trang bị những computer thông minh bậc nhất, khoa học dự báo thời tiết vẫn luôn luôn không tốt gì hơn những phỏng đoán”.

Vậy nếu chúng ta thấy những dự báo thời tiết thiếu chính xác hoặc thậm chí sai hoàn toàn với thực tế, có lẽ cũng không nên dễ dàng trách móc các nhà khoa học làm dự báo, mà hãy “đổ tội” cho cái bản chất hỗn độn của những hệ phức tạp trong tự nhiên.

Robert May cho biết: “Trong lĩnh vực nghiên cứu quần thể sinh học còn có những ví dụ phức tạp hơn rất nhiều. Chẳng hạn, tôi có thể chỉ ra những ví dụ về quần thể ruồi giấm hoặc quần thể bọ chét dưới nước mà tôi nuôi trong phòng thí nghiệm. Bạn không thể nào tiên đoán được mức độ tăng trưởng của chúng trong một số tình huống nhất định. Trong điều kiện nhiệt độ và sinh trưởng nào đó, chúng phát triển đều đặn và hoàn toàn có thể dự đoán được, giống như động học Newton cổ điển vậy. Nhưng trong điều kiện nhiệt độ vàhoặc môi trường khác, chúng trở nên vô cùng hỗn độn, và mặc dù những phương trình dùng để mô tả sự tăng trưởng của chúng rất đơn giản, nhưng mức tăng trưởng vẫn không thể dự đoán được. Sự sinh trưởng của chúng tăng hay giảm thất thường tuỳ theo từng địa điểm”.

Có thể chỉ ra nhiều hệ phức tạp khác nhau mà ở đó tính hỗn độn biểu lộ. Theo Bách khoa toàn thư Wikipedia: “Lí thuyết hỗn độn đã sử dụng để nghiên cứu tính hỗn độn trong các mạch điện, chùm tia laser, các hiện tượng dao động, các phản ứng hoá học, động học chất lỏng, các máy móc cơ học và máy cơ học-từ tính… Khoa học cùng đã quan sát những ứng xử hỗn độn trong chuyển động của vệ tinh trong Hệ Mặt trời, sự “tiến hoá của thời gian” (time evolution) trong từ trường của các thiên thể, sự tăng trưởng số lượng của các quần thể sinh học, “tiềm năng tác động” (action potentials) trong các neurons thần kinh, và các dao động của phân tử… Hằng ngày, chúng ta có thể chứng kiến tính hỗn độn của thời tiết và khí hậu. Và hiện người ta đang tranh luận về tính hỗn độn trong hiện tượng “kiến tạo bề mặt trái đất” (plate tectonics) cùng như trong hệ thống kinh tế… Tóm lại, lí thuyết hỗn độn đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực: toán học, sinh học, khoa học computer, kinh tế học, công nghệ học, hệ thống tài chính, triết học, vật lí, chính trị, động học về mức tăng trưởng của các quần thể, tâm lí học và khoa học robot. Một trong những ứng dụng thành công nhất của lí thuyết hỗn độn là trong sinh thái học, trong đó mô hình của Ricker đã được sử dụng để chỉ rõ các quần thể sinh học tăng trưởng như thế nào. Lí thuyết hỗn độn cũng được áp dụng trong y khoa để nghiên cứu bệnh động kinh,… và vô số ứng dụng khác nữa”.

Vài vấn đáp trên chủ đề hỗn độn

1. Có người thắc mắc, xét cho cùng thì Poincaré vẫn chưa giải xong Bài toán ba vật, vậy tại sao ông vẫn đoạt Giải Oscar II?

Một trong các thành viên hội đồng giám khảo là nhà toán học kiệt xuất Karl Weierstrass đã đánh giá: “Công trình này chưa thật sự được xem như một lời giải đầy đủ của vấn đề đã được đặt ra, nhưng điều vô cùng quan trọng là nó sẽ mở đầu cho một kỉ nguyên mới trong lịch sử của cơ học thiên thể”.

Và dưới ánh sáng khoa học hiện đại, nhà toán học Ian Stewart, Giáo sư Đại học Warwick ở Anh, nhận định: “Đúng là ông chưa giải xong bài toán, nhưng ông đã tạo ra một tiến bộ đáng kinh ngạc tiến về phía trước. Ông đã sáng tạo ra một lĩnh vực hoàn toàn mới, một cách tư duy hoàn toàn mới”.

2. Nếu chuyển động của n vật thể là hỗn độn thì tại sao Hệ Mặt trời lại ổn định?

Theo Chương 6 của cuốn Từ xác định tới bất định, Kolmogorov, Arnold, và Moser (KAM) xác nhận rằng hỗn độn và ổn định có thể tồn tại bên trong Hệ Mặt trời. Trong phần lớn các tình huống, quỹ đạo của các hành tinh vẫn ổn định trong hàng chục triệu năm, nhưng đối với một số bố cục tới hạn của quỹ đạo, một lực hút nhỏ của một hành tinh tác động lên một hành tinh khác sẽ tích tụ rồi “phản hồi” lại hành tinh thứ nhất.

3. Phải chăng giống như định lí bất toàn, lí thuyết hỗn độn chứa đựng yếu tố “chống khoa học”, bởi vì khoa học không thể là cái gì khác ngoài những định luật phản ánh tính quy luật của tự nhiên? Bản thân khái niệm hỗn độn đã là một cái gì đó phản lại tính quy luật, tức là chống lại khoa học?

Có lẽ cần phải nhận thức lại khái niệm khoa học là gì. Khoa học không đơn giản chỉ là những định luật phản ánh tính quy luật của tự nhiên, mà còn là tập hợp mọi nhận thức phản ánh trung thực bức tranh hiện thực. Định lí bất toàn và lí thuyết hỗn độn là khoa học, bởi nó phản ánh bức tranh hiện thực chính xác hơn, đầy đủ hơn, trung thực hơn.

4. Phải chăng toàn bộ vũ trụ là hỗn độn? Phải chăng tính bất định và hỗn độn tồn tại xen kẽ trong tự nhiên, hoặc cái này bao trùm lên cái kia?

Câu trả lời vẫn bỏ ngỏ. Hiện nay, chúng ta chỉ mới biết một phần nào đó của vũ trụ. Không ai có thể đưa ra một phán quyết rằng toàn bộ vũ trụ là tất định hay hỗn độn. Có những hệ đơn giản thể hiện tính tất định, nhưng cùng có rất nhiều hệ phức tạp mang bản chất bất định và hỗn độn. Có người cho rằng tính hỗn độn chỉ là một biểu hiện tương tác vật chất trong một phạm vi hẹp của một trật tự lớn hơn bao trùm, có nghĩa là quy luật tất định vẫn chiếm ưu thế.

Phải nói rằng phần lớn các nhà vật lí hiện nay vẫn là những môn đệ nhiệt thành của chủ nghĩa tất định, trong đó Albert Einstein có lẽ là môn đệ nhiệt thành nhất, vì ông từng tuyên bố “Tôi muốn hiểu được ý Chúa”. Đó là lí do để ông quyết tâm xây dựng lí thuyết trường thống nhất (Theory of Unified Field), và hậu duệ của ông đã tiếp tục sự nghiệp này dưới ngọn cờ lí thuyết về mọi thứ (TOE - Theory of Everything).

Nhưng những nghiên cứu của Gregory Chaitin trong toán học lại ủng hộ tư tưởng bất định và hỗn độn nhiều hơn là tất định: “Chaitin đã chứng minh rằng có một số vô hạn những sự kiện toán học nhưng phần lớn những sự kiện đó không liên hệ với nhau và không thể trói buộc chúng với nhau bằng những định lí thống nhất. Nếu các nhà toán học tìm thấy bất kì liên hệ nào giữa những sự kiện này thì đó chỉ là may mắn tình cờ. Phần lớn toán học đúng mà chẳng có lí do đặc biệt nào cả, toán học đúng bởi những lí do ngẫu nhiên… Chaitin nhận ra rằng số Omega đã “nhiễm độc” toàn bộ toán học, đặt ra giới hạn căn bản đối với cái chúng ta có thể biết. Hơn thế nữa, Omega mới chỉ là sự khởi đầu, thậm chí còn có nhiều con số phiền toái khác mà Chaitin gọi là những số siêu- Omega - những con số thách thức mọi tính toán ngay cả khi chúng ta cố gắng mọi cách để hiểu được Omega. Dòng giống Omega - dòng giống những con số không thể tính được - đã để lộ ra rằng toán học không chỉ bị cắn thủng lỗ chỗ, mà hầu như đã bị thủng bởi những lỗ hổng toang hoác: Tình trạng hỗn độn, phi trật tự hoá ra là bản chất cốt lõi của vũ trụ”.

Ý kiến của Robert May (đã dẫn) có lẽ là công bằng nhất: “Tôi muốn nói rằng chúng ta vẫn đang ở trong một tình trạng là hầu hết những gì được dạy trong trường phổ thông và đại học vẫn tuân theo cách nhìn kiểu Newton - phần lớn những điều chúng ta được dạy là thế giới vẫn tuân theo một trật tự… thế giới ấy có thể dự đoán được, còn ở đâu có chuyện rối rắm phức tạp và không thể dự đoán được, chẳng hạn như tại chiếc bàn quay roulette trong các sòng bạc, thì chẳng qua đó chỉ là một đống lộn xộn. Nhưng tình hình đã hoàn toàn thay đổi. Hiện nay, chúng ta đã biết rằng khi quy luật đơn giản thì hiện tượng xảy ra cũng đơn giản, nhưng mặt khác, chúng ta không thể tạo ra “chiếc đồng hồ đơn giản kiểu Newton”. Với những phương trình mô tả chiếc đồng hồ Newton, quả lắc đồng hồ đôi khi có thể dao động bình thường như bạn dự đoán, nhưng nhiều lúc khác nó lại gây nên tình trạng hoàn toàn hỗn độn khiến bạn không thể dự đoán được”.

Xét cho cùng thì “hiệu ứng con bướm” và bản chất hỗn độn của tự nhiên cũng đã được kinh nghiệm dân gian truyền tụng từ lâu. Đó là câu ngạn ngữ “Sai một li đi một dặm”!

“Con quỷ toán học” làm thay đổi thế giới

Câu nói nổi tiếng của Isaac Newton, “Nếu tôi nhìn được xa hơn, ấy là vì tôi đứng trên vai những người khổng lồ”, đã tạo cảm hứng cho Melvyn Bragg viết cuốn On Giants’ Shoulders - một cuốn sách được tờ Tạp chí Time ở Anh bình luận là đã “bỏ bùa mê… và mở toang kho báu khoa học của Aladin cho mọi độc giả”. Trong số mười hai nhân vật “đứng trên vai những người khổng lồ” được Bragg liệt kê để viết tiểu sử, có ba và chỉ ba nhân vật vừa là nhà toán học vừa là nhà vật lí:

Archimedes, Isaac Newton, và Henri Poincaré.

Nói chính xác hơn, đó là ba “nhà đại quảng bác” (universalists), riêng Poincaré được gọi là “nhà đại quảng bác cuối cùng” (the last universalist). Đó là những nhà đại bác học có những khám phá phi thường bao trùm lên tất cả mọi lĩnh vực của toán học và vật lí đương thời, mở ra những chân trời mới cho khoa học để hậu thế tiếp tục khai phá.

Không thể kể hết những lời ngợi ca mà người đời đã dành cho họ. Archimedes từng được nhà bác học trứ danh Galileo Galilei ca ngợi là “thần thánh” (divine), rồi thốt lên: “Không có Archimedes thì tôi sẽ chẳng làm nên trò trống gì!”. Newton thì được nhà thơ Alexander Pope ngợi ca bằng hai câu thơ bất hủ, viết theo thể “Sáng Thế Kí” trong Kinh Thánh:

Nature and Nature’s laws lay hid in night

God said “Let Newton he”, and all was light

Tạm dịch:

Thiên nhiên và quy luật của Tự nhiên,

Lâu nay vẫn ẩn mình trong đêm tối,

Chúa phán “Newton hãy ra đời”,

Và thế là khắp thế gian bừng sáng.

Còn Poincaré thì sao? Ông có được ngợi ca như “thần thánh” không? Thế kỉ 19 không sùng bái thần thánh nữa, vì thế Poincaré “bị” gọi là “con quỷ toán học”, nhưng “con quỷ” ấy đã làm thay đổi thế giới! Kinh ngạc trước khả năng phi thường của cậu học trò Poincaré, một thầy giáo dạy toán tại trường Trung học Nancy (Lycée de Nancy, nay là Lycée Henri Poincaré) là Carta de Elliot Ở Liard đã gọi cậu là “con quỷ toán học”. Năm 1872, trong một lá thư gửi cho một người bạn của mình, thầy Elliot viết: “Trong lớp của tôi ở Nancy, có một con quỷ toán học, đó là Henri Poincaré” (J’ai dans ma classe à Nancy, un monstre de mathématiques, c’est Henri Poincaré). Và “cậu bé bị thầy của mình gọi là “con quỷ toán học” ấy đã chứng minh rằng cậu đúng là như thế: Cậu đã làm thay đổi nền toán học trong phần còn lại của thế kỉ 20”, Bragg đã viết về Poincaré như vậy. Nhận định của Bragg hoàn toàn chính xác, nhưng chưa đầy đủ, bởi vì, cùng với những người khổng lồ khác như Max Planck, Albert Einstein,… Poincaré còn làm thay đổi cả vật lí trong phần còn lại của thế kỉ 20.

Có thể nhiều người đến nay vẫn chưa biết rằng Poincaré đã năm mươi mốt lần được đề cử nhận giải Nobel Vật lí. Xin lưu ý: Giải Nobel đầu tiên diễn ra vào năm 1901. Poincaré mất năm 1912. Vậy là trong mười hai năm, ông được đề cử năm mươi mốt lần, trung bình mỗi năm có hơn bốn đề cử!

Nhưng tại sao ông chưa một lần đoạt giải Nobel?

Đơn giản vì trong so những đóng góp lớn nhất của Poincaré cho vật lí, có những tư tưởng vượt quá xa thời đại, đến nỗi Ủy ban Nobel cũng chưa thể đánh giá hết được ý nghĩa của nó, hoặc vì họ thận trọng không muốn mắc sai lầm. Ví dụ điển hình là thuyết tương đối hẹp (Special Theory of Relativity). Giả sử vì một lẽ gì đó, ủy ban Nobel nhận thấy “muộn còn hơn không bao giờ”, rồi quyết định trao giải Nobel Vật lí cho lí thuyết này thì sao nhỉ? Khi ấy, những người xứng đáng được nhận giải có lẽ sẽ không chỉ có một mình Einstein, mà còn phải bao gồm một số người khác, đặc biệt là Hendrik Lorentz và Henri Poincaré - hai trong số những người đi tiên phong trong tư tưởng về tương đối tính và đã “dọn đường” cho Einstein đi tới đích cuối cùng.

Một bằng chứng khác là lí thuyết hỗn độn (Theory of Chaos). Mặc dù phải đợi tới những năm 60, 70 của thế kỉ 20, nó mới xuất hiện như một lí thuyết khoa học hoàn toàn mới, nhưng nguyên lí cơ bản của nó đã được Poiíicaré khám phá ra ngay từ tháng 11 năm 1890, khi ông công bố lời giải của Bài toán ba vật trên Tạp chí Acta athematica.

Và thiết tưởng, nếu không có lí thuyết Topo (Topology) thì không biết toán học và vật lí học ngày nay sẽ ra sao. Vậy mà Poincaré lại chính là cha đẻ của Topo đại số. Trong lĩnh vực này, giả thuyết Poincaré (Poincaré Conjecture) đã đứng sừng sững trong suốt một thế kỉ qua như một trong những thách thức lớn nhất đối với các nhà toán học, để mãi đến năm 2006 nó mới được giải quyết trọn vẹn bởi nhà toán học Grigori Perelman, và sự kiện này đã trở thành đột phá của khoa học năm 2006.

Không kể nhiều công trình nghiên cứu xuất sắc khác trong toán học và vật lí, chỉ riêng đóng góp của Poincaré đối với ba lí thuyết khổng lồ nói trên cũng đã quá đủ để nói lên tầm vóc khổng lồ của ông.

Nhưng sẽ là một thiếu sót lớn nếu nghĩ rằng “con quỷ toán học” chỉ nghiên cứu khoa học thuần tuý, Poincaré đồng thời còn là một nhà triết học thâm thuý, một nhà tư tưởng có tầm nhìn xa trông rộng.

Poincaré, nhà tư tưởng nhìn xa trông rộng

Một sinh viên của Poincaré đã viết về người thầy của mình như sau: “Poincaré luôn kết thúc buổi giảng bằng những công thức đơn giản, được diễn giải bằng một thứ ngôn ngữ đầy hình ảnh đến nỗi buộc chúng tôi phải hiểu được”. Nhận xét ngắn ngủi này phản ánh chính xác tư tưởng và tính cách của Poincaré: Đối với ông, toán học phải sinh động, giàu hình ảnh, đầy cảm nhận trực giác, mặc dù bề ngoài của nó là những kí hiệu và các phương trình. Kí hiệu hay phương trình chỉ là công cụ để thể hiện một tư tưởng, không được phép biến chúng thành một thứ ngôn ngữ chết, một chuỗi suy diễn logic máy móc, vô hồn vô cảm. Điều này giải thích vì sao Poincaré quyết liệt chống đối chủ nghĩa toán học hình thức ngay từ buổi trứng nước của nó.

Thật vậy, đầu thế kỉ 20, bất chấp việc đa số các nhà toán học lao theo con đường do David Hilbert vạch ra, dồn mọi nỗ lực vào việc tìm kiếm Chiếc chén Thánh toán học, hòng biến toán học thành một hệ thống logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi hiện thực, không quan tâm tới trực giác, Poincaré vẫn ung dung đi trên con đường riêng của mình và không ngừng cảnh báo chủ nghĩa hình thức về sai lầm của họ: “Nhà toán học xa rời thực tiễn giống như một hoạ sĩ bị tước đi vật mẫu”. Lời cảnh báo bất hủ ấy đã nhanh chóng được kiểm chứng.

Năm 1902, Bertrand Russell, nhà tiên phong trong cuộc hành trình tìm kiếm Chiếc chén Thánh, trớ trêu thay, lại khám phá ra một nghịch lí của chính logic hình thức, nghich lí Russell, cho thấy chủ nghĩa logic hình thức giống như con rắn tự nuốt đuôi của mình. Không giấu được vẻ giễu cợt, Poincaré nói: “Cuối cùng thì chủ nghĩa logic cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Rốt cuộc nó cũng sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lí”. Bất chấp sự khác biệt về lí tưởng toán học, Russell vẫn khảng khái nhận định: “Poincaré là người có tài trí khoa học vĩ đại nhất đang còn sống” (Poincaré was the greatest scientific mind then living).

Năm 1931, định lí Godel ra đời, xác nhận chủ nghĩa hình thức quả thật là một ảo tưởng, do đó Poincaré quả thật là người nhìn xa trông rộng!

Tuy nhiên, không phải mọi điều đã được hiểu đúng ngay từ những năm 30 của thế kỉ 20. Bằng chứng là chủ nghĩa hình thức vẫn còn giương cao ngọn cờ “toán học mới” để tấn công ồ ạt vào hệ thống giáo dục phổ thông ở phương Tây những năm 60 của thế kỉ 20. Phải đợi tới những thập kỉ cuối thế kỉ 20 mọi điều mới được làm sáng rõ. Giống như sau một cơn bão, khi bình yên trở lại trên đống hoang tàn, người ta mới nghiệm ra rằng quả thật Poincaré sâu sắc, và thế là dấy lên một trào lưu “đọc lại” những tác phẩm của ông:

Science et hypothèse (Khoa học và giả thuyết, ra mắt năm 1902)

La valeur de la science (Giá trị của khoa học, 1905)

Science et méthode (Khoa học và phương pháp, 1908)

Savants et écrivains (Nhà bác học và nhà văn, 1910)

Đó là những tác phẩm triết luận sâu sắc, hùng hồn, hấp dẫn, đến nỗi Poincaré được đánh giá như một nhà triêt luận tài ba, và đã trở thành nhà khoa học đầu tiên được bầu vào Viện Hàn lâm Pháp (Académie Française). Đáng tiếc là chưa có một tác phẩm nào nói trên được dịch ra tiếng Việt.

Nhưng thế giới đã thức tỉnh, và khi tỉnh dậy, người ta ngạc nhiên chứng kiến một Poincaré luôn luôn có mặt trên tuyến đầu của tất cả các cuộc cách mạng lớn nhất về nhận thức trong thế kỉ 20, từ “cuộc cách mạng về tương đối tính” đến cuộc cách mạng về bất định, ngẫu nhiên và hỗn độn. Lời giải Bài toán ba vật của Poincaré chính là ánh chớp đầu tiên báo hiệu cuộc cách mạng tư tưởng sâu sắc nhất sắp xảy ra trong thế kỉ 20: Cuộc chuyển dịch của nhận thức từ xác định sang bất định.

Từ xác định tới bất định

Trước thế kỉ 20, tư tưởng thống trị trong khoa học là chủ nghĩa tất định (determinism) - chủ nghĩa cho rằng vũ trụ vận hành theo những quy luật xác định và tất yếu như một chiếc đồng hồ. Từ thế kỉ 17 trở về sau, chiếc đồng hồ ấy được mệnh danh là “chiếc đồng hồ Newton”, bởi vì với cơ học Newton, người ta có thể xác định được tương lai hoặc quá khứ của vũ trụ nếu biết rõ trạng thái của nó tại một thời điểm cho trước. Nhà toán học Pierre Simon Laplace đã giải thích như sau “Chúng ta có thể coi trạng thái hiện tại của vũ trụ như hậu quả của quá khứ và là nguyên nhân của tương lai… và trước con mắt của một người trí thức, chẳng có gì là bất định cả, tương lai cũng như quá khứ sẽ chỉ là hiện tại mà thôi”. Đó là “Tất định luận Laplace” (Laplace’s determinism). Tất định luận này ăn sâu vào tâm trí các nhà khoa học đến nỗi Louis Lagrange, nhà toán học lỗi lạc cuối thế kỉ 18 đầu thế kỉ 19, phải buồn rầu than thở: “Newton đã tìm ra hết mọi bí mật rồi, chẳng còn gì cho chúng ta làm nữa”. Dù cho vật lí thế kỉ 19 được bổ sung bởi lí thuyết điện từ của James Clerk Maxwell, nhưng lí thuyết này lại hoàn toàn nhất quán với cơ học Newton và tạo nên một hệ thống lí thuyết hoàn toàn xác định và chắc chắn, làm nền tảng cho mọi hiểu biết về vũ trụ, đến nỗi nhiều người nghĩ rằng khoa học đã tiệm cận tới những trang cuối cùng. Nhưng…

Lạ thay, cuối thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20, những tư tưởng hoàn toàn mới đã nảy mầm trên mọi lĩnh vực của nhận thức tư tưởng về cái bất định, bất toàn, ngẫu nhiên, hỗn độn - những cái không chắc chắn và không thể dự đoán trước (unpredictable). Tư tưởng ấy bộc lộ trong hội hoạ của Paul Cézanne và Pablo Picasso, … trong bộ tiểu thuyết vĩ đại À la recherche du temps perdu (Đi tìm thời đại đã mất) của Marcel Proust,… và trong một loạt lí thuyết khoa học hoàn toàn “đảo lộn” sau đây:

Nguyên lí bất định của Heisenberg trong cơ học lượng tử, ra đời năm 1921. Lí thuyết này đã dẫn tới cuộc xung đột “xác định và bất định” giữa hai biểu tượng vĩ đại của vật lí thế kỉ 20: Albert Einstein, “nhà vật lí cổ điển cuối cùng”, và Niels Bohr, nhà phát ngôn và lãnh tụ triết học của cơ học lượng tử. Nếu hiểu hết mọi nhẽ mà Bohr đã nêu lên để bác bỏ quan điểm xác định cổ điển của Einstein thì khi đó người ta sẽ hiểu rõ bất định lượng tử là gì, và tại sao Bohr được coi là “vị trưởng lão quyết đoán” tương ứng với vị trí (-1) trên trục số, trong khi Einstein tương ứng với trí (0).

Định lí bất toàn của Kurt Godel. Khi định lí này mới ra đời năm 1931, trừ một vài người thấy giật mình đến mức phải thay đổi định hướng nghiên cứu toán học của mình, điển hình là John von Neumann, đa số còn lại vẫn “phớt lờ” để tiếp tục tôn thờ chủ nghĩa hình thức. Nhưng càng ngày người ta càng nhận thấy ý nghĩa vĩ đại của định lí này: Trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được (undecidable) - những mệnh đề không thể chứng minh và không thể bác bỏ. Hoá ra, toán học cũng không tuyệt đối chắc chắn như người ta tưởng. Greg Chaitin sau này còn đi xa hơn khi chứng minh rằng yếu tố ngẫu nhiên và bất định nằm ngay trong nền tảng của số học.

Lí thuyết hỗn độn được Henri Poincaré đặt nền móng. So với nguyên lí bất định của Heisenberg và định lí bất toàn của Godel, tư tưởng về cái hỗn độn ra đời sớm hơn rất nhiều - ngay từ năm 1890 khi Poincaré công bố lời giải Bài toán ba vật, trong đó ông mô tả: “Khi tôi cố gắng mô tả hình ảnh được tạo ra bởi hai đường cong này và vô số giao điểm của chúng, … những giao điểm này tạo nên một mạng lưới, một mớ lằng nhằng hoặc một cạm bẫy vô cùng rắc rối. Tôi hết sức kinh hoàng vì tính phức tạp của hình ảnh này đến nỗi tôi không còn cố sức để vẽ nó ra nữa”.

Năm 1908, ông giải thích vấn đề này rõ hơn: “Một nguyên nhân rất nhỏ mà chúng ta không nhận thấy có thể dẫn tới một hậu quả lớn đến mức không thể đoán trước, và vì thế chúng ta bảo rằng hậu quả này xảy ra là do ngẫu nhiên… Có thể xuất hiện trường hợp những khác biệt vô cùng nhỏ trong dữ kiện ban đầu dẫn tới những hậu quả vô cùng lớn trong hiện tượng sau cùng. Một sai lệch nhỏ ban đầu có thể gây ra một sai lệch khổng lồ trong kết quả. Dự đoán trở nên bất khả, và chúng ta có một hiện tượng ngẫu nhiên”.

Đó chính là tuyên ngôn mở đầu về những hiện tượng không thể dự đoán trước. Lần đầu tiên trong khoa học, bản chất của cái ngẫu nhiên đã được đề cập đến. Lần đầu tiên, tư tưởng tất định từng ngự trị hàng trăm năm trước, ít nhất kể từ thời Newton, đã bị nghi vấn. Lần đầu tiên, lời than vãn của Lagrange đã bị chứng minh là sai. Đó là cuộc cách mạng đầu tiên về cái ngẫu nhiên, bất định, và hỗn độn trong thế kỉ 20! 

Melvyn Bragg cho rằng Poincaré là “người tình cờ khám phá ra tính hỗn độn”, nhưng đó là sự tình cờ vĩ đại chỉ xảy ra ở những bộ óc vĩ đại!

Hình 2. Quỹ đạo chuyển động của ba vật (mô phỏng trên computer)