Trong chương trước, chúng ta đã thấy tự nhiên hạn chế tính xác định mà ta có thể trông mong từ thế giới vật chất ra sao và chỉ cho phép con người thâm nhập vào trong bí mật của hiện thực tới một mức nào; vượt quá mức ấy chúng ta có nguy cơ bị lạc vào trong nghịch tí và rối loạn. Phải chăng điều này có nghĩa là chúng ta sẽ mãi mãi mất niềm hi vọng vào tính xác định?

Nếu phạm vi hiểu biết của con người bị giới hạn thông qua việc chúng ta tác động vào tự nhiên thì ít nhất chúng ta vẫn có thể hi vọng tìm thấy tính xác định trong những sản phẩm tư duy trừu tượng của chính con người. Trước hết, liệu chúng ta có thể khám phá tính xác định trong thế giới toán học hay không? Đó chính là niềm tin của nhà triết học Bertrand Russell khi ông được nghe Giuseppe Peano trình bày rõ ràng tham luận về nền tảng của toán học năm 1900, và Russell đã quyết định dành trọn đời mình cho việc chứng minh tính chặt chẽ của những nền tảng đó.

Sức mạnh và vẻ đẹp của toán học

Giấc mơ xây dựng một thế giới tuân thủ các nguyên lí toán học đã có từ rất lâu trước khi nền khoa học hiện đại ra đời. Những môn đệ của trường phái Pythagoras từ thời Hi Lạp cổ đại đã tin rằng “mọi thứ đều là số”. Trong thời Trung cổ, sự hài hoà toán học là chìa khoá đối với cả âm nhạc lẫn kiến trúc của những công trình đồ sộ. Hội hoạ của Piero della Francesca (14207-1492) đưa chúng ta tới một thế giới của trật tự và cân đối hài hoà một cách sâu sắc về mặt toán học. Chúng ta cũng có thể tìm thấy cảm giác về sự hài hoà và tỉ lệ cân đối như thế trong âm nhạc của J. S. Bach và nhờ những nghiên cứư của nghệ sĩ cello Hans-Eberhard Dentier, hiện nay chúng ta biết rằng tác phẩm Art of the Fugue (Nghệ thuật trong sáng tác âm nhạc theo mô thức) của Bach bị ảnh hưởng bởi chủ nghĩa tượng trưng bằng số của trường phái Pythagoras.[1]

Ở đâu chúng ta tìm thấy tính xác định và chân lí trong toán học, ở đó chúng ta tìm thấy cái đẹp. Nền toán học vĩ đại được đặc trưng bởi tính thẩm mỹ của nó. Các nhà toán học thích thú với vẻ đẹp tao nhã, tính tiết kiệm của điều kiện và tính chắc chắn logic của chứng minh. Cứ như thể là các chân lí toán học vĩ đại không thể nào khác được. Tính trong sáng logic cùng phản chiếu tới chúng ta trong những cấu trúc căn ban của thế giới vật lí thông qua toán học của vật lí lí thuyết.

Trong cuốn The study of Mathematics (Nghiên cứu toán học), Bertrand Russell trình bày điều đó như sau: “Toán học đưa chúng ta tới lĩnh vực của tính quy luật tất yếu tuyệt đối mà không riêng thế giới thực tiễn phải tuân thủ, tất cả các thế giới có thể có đều phải tuân thủ”. Đối với nhà triết học, “toán học là một thế giới lí tưởng và một toà lâu đài vĩnh cửu của chân lí… Trong khi chiêm ngưỡng vẻ đẹp trong sáng của nó, con người có thể thoát khỏi các thế giới đầy ma quỷ và đau đớn”[2]. Đối với nhà thiên văn James Jean (1877-1946) thì “Chúa là một nhà toán học”. Và giữa các nhà toán học vẫn lưu hành câu nói “Chúa sáng tạo ra các con số. Phần còn lại được tạo ra bởi con người”[3].

Toán học: Sự chắc chắn tột cùng?

Do đó, chúng ta sẽ quay sang toán học để tìm kiếm sự chắc chắn cuối cùng và bắt đầu với một trong những phép tính đơn giản và thuần khiết nhất - phép đếm. Lẽ phải thông thường nói với chúng ta rằng phép đếm là hoàn toàn xác định và tránh được tất cả sự nhập nhằng lẫn lộn.

Chúng ta hãy xét ví dụ đáng chú ý sau đây: Trong cuốn tiểu thuyết 1984, George Orwell đã mô tả thế giới trong đó nhà nước kiểm soát cuộc sống và tư tưởng của các công dân của mình. Khi một công dân tên là Winston Smith nổi loạn, anh ta liền bị bắt và bị tống vào Phòng 101 để tẩy não. Trong một thế giới mà tại đó mọi hành vi chống đối đều bị xoá sổ thì tội phạm duy nhất còn lại là “tội tư tưởng” (thought-crime).

Nhưng vào năm 1984, khái niệm trừng phạt đối với tội này vẫn chưa ra đời. Để trừng phạt một công dân nào đó cần phải chỉ ra sai lầm của người đó trong hệ thống, trong đó công dân này có khả năng suy nghĩ và hành động không đúng với những quy định của nhà nước. Vì thế, thay cho sự trừng phạt, Winston Smith cần phải được giáo dục lại, và, giống như nhận thấy tính tất yếu của một định lí toán học, anh ta phải nhận thấy tính tất yếu trong thiện ý và lẽ phải của nhà nước. Trong thế giới của Big Brother[4], Smith phải nắm bắt được một sự thật đơn giản là 2 + 2 = 5. Điều này không có ý nói rằng anh ta nên ưng thuận hoặc đơn giản là đồng ý với cái mệnh đề mù mờ đó. Đúng ra là vì nhà nước muốn hoan nghênh Smith quay trở về với sự che chở của họ, nên anh ta phải thực sự “biết” và “thấy” rằng 2 + 2 = 5. Khi người hành hạ anh ta giơ hai ngón tay trên bàn tay này và hai ngón tay trên bàn tay kia, sau một lát Winsston ít ra cùng có thể vừa hiểu vừa thấy rằng hai cộng hai phải bằng năm.

Orwell đã cố tình làm méo mó phép đếm thuần khiết để chứng minh nỗi khiếp sợ của một tư tưởng hoàn toàn bị kiểm soát tới mức logic cũng bị phủ nhận và thách đố. Trong tất cả những thứ mang tính xác định thì phép đếm vẫn đứng ở đầu bảng (được coi là rõ ràng xác định nhất). Bất kể chúng ta mong muôn điều gì, bất kể xã hội lựa chọn điều gì để tin, phép đếm và so học vẫn mang tính xác định khách quan. Chúng ta có thể ngây thơ tin một lễ kỉ niệm có thể làm thay đổi thời tiết, có thể bạo gan đến nỗi dám đánh cuộc chắc chắn cho kẻ thắng trong một cuộc đua sắp tới, có thể bị thuyết phục để yên chí rằng sự rèn luyện tinh thần có khả năng làm thay đổi tỉ lệ tội phạm trong một thành phố,… nhưng vào bất cứ lúc nào, dù cố gắng đến mấy chúng ta cũng không thể “tin” 2 + 2 = 5.

Dù một lúc nào đó chúng ta gặp những người ở hành tinh khác, những sinh vật hoàn toàn khác với con người, tất cả chúng ta vẫn có thể đồng ý với nhau một điểm là họ cũng sẽ nhất trí rằng 2 + 2 = 4. Thật vậy, nhân loại đã tìm kiếm sự sống có trí tuệ trong vũ trụ bằng cách phát đi những chùm dữ liệu toán học, bởi vì các nhà khoa học và thiên văn tin toán học là ngôn ngữ phổ quát của vũ trụ (chân lí phổ quát của vũ trụ).

Nếu thực thể vật chất ẩn biến vào trong tính bất định và bổ sung (như đã nói ở chương trước) thì ít nhất chúng ta vẫn tìm thấy sự an toàn trong toán học. Đây là quan điểm tồn tại trong đầu các nhà toán học và triết học đầu thế kỉ 20. Tất cả những gì đòi hỏi cần là một chứng minh xác đáng rằng toán học là một sự chắc chắn tột bậc, một chứng minh cuối cùng và không chứa bất kì mức độ nhập nhằng nào.

Toán học chủ yếu muốn chứng minh hai điều:

1 - Toán học là nhất quán (consistent): Toán học không chứa đựng mâu thuẫn nội tại (toán học là phi mâu thuẫn). Không thể có những sơ suất trong lập luận và những sự nhập nhằng nước đôi. Bất kể chúng ta tiệm cận tới toà lâu đài toán học theo hướng nào, toán học sẽ luôn luôn thể hiện sự chính xác và chân lí như nhau.

2 - Toán học là đầy đủ (complete): Không có chân lí toán học nào bị để treo lơ lửng. Chẳng có gì cần phải bổ sung thêm vào hệ thống toán học. Các nhà toán học có thể chứng minh mọi định lí vời sự chính xác hoàn toàn sao cho không có cái gì bị loại ra khỏi hệ thống.

Nhưng tại sao phải quan trọng hoá vấn đề như thế? Tại sao cần có những chứng minh dứt khoát như thế? Xét cho cùng, toán học đã từng tồn tại từ thời Hi Lạp cổ đại. Các nhà thờ lớn được xây dựng theo những nguyên tắc toán học và từng tồn tại qua nhiều thế kỉ. Toán học đưa tên lửa lên Mặt trăng và làm ra những sổ sách kế toán hằng năm của một tổ hợp đa quốc gia. Nếu những câu trả lời của toán học bất định, hoặc nếu các kế toán viên bất ngờ khám phá ra toán học bỏ sót cái gì đó bên ngoài sổ sách kế toán, thì thế giới tài chính của chúng ta sẽ bất ngờ sụp đổ. Trong mọi trường hợp, toán học đều vận hành một cách hoàn hảo, vậy tại sao chúng ta phải bận tâm lo lắng đến những chi tiết vụn vặt như vậy?

Một đòi hỏi sốt sắng đối với lẽ phải thông thường có thể diễn ra trong hầu hết chúng ta, nhưng các nhà triết học chỉ ra rằng mặc dù toán học dựa trên logic, một số kết quả toán học trông vẫn có vẻ kì dị và phản trực giác. Họ nói với chúng ta rằng không thể dựa trên lẽ phải thông thường để nói toán học luôn luôn vận hành đúng đắn; chúng ta cần có sự chắc chắn và chúng ta cần phải chứng minh tính phi mâu thuẫn và tính đầy đủ một cách rõ ràng.

Chúng ta đếm như thế nào?

Cần phải có những cuộc tẩy não đặc biệt để thuyết phục Winston Smith rằng 2 + 2 = 5. Nhưng nếu xem xét kĩ, thì phải chăng phép đếm thực chất cũng chỉ là một việc vô cùng đơn gian? Chúng ta đã biết đếm như thế nào, nhưng chúng ta có thật sự hiểu rõ đếm có nghĩa là gì không? Chẳng hạn, bạn đếm số lượng của tất cả các con số hoặc số lượng của tất cả các phân số thế nào? Giữa hai số nguyên bất kì, ví dụ 3 và 4, có thể tìm được một loạt phân số, như

và cứ như thế tiếp tục. Do đó, chúng ta dễ dàng nhận thấy có vô số phân số giữa 1 và 2, giữa 2 và 3, vv. Cảm giác thông thường nói với chúng ta rằng, vì có vô số phân số giữa hai số nguyên nên số lượng các phân số phải lớn hơn số lượng các số nguyên.

Nhưng chính tại đây, các nhà toán học thích thú nói với chúng ta cảm giác thông thường ấy là sai. Số tất cả các phân số có thể có đùng bằng số tất cả các số nguyên có thể có! Làm sao có thể chấp nhận điều này là đúng? Để tìm hiểu điều này chúng ta phải khảo sát lĩnh vực đếm kĩ hơn. Hãy xét ví dụ John và Jill đếm kẹo: Mỗi em có một túi kẹo, và như những đứa trẻ thường làm, chúng cãi nhau xem ai có nhiều hơn. Tuy nhiên, chúng còn quá nhỏ tuổi nên khi đếm quá 5 là cả hai đều bắt đầu lẫn lộn, không biết số tiếp theo là bao nhiêu. Chúng bèn quyết định giải bài toán theo cách khác. Cậu bé John lấy một viên kẹo ra khỏi túi của nó rồi đặt lên bàn, cô bé Jill cũng lấy một viên từ trong túi của mình rồi đặt bên cạnh. John lại lấy một viên khác, và Jill cũng lấy một viên tương ứng. Chúng tiếp tục làm như thế cho đến khi một trong hai túi rỗng không. Trong tình huống, khi túi của John rỗng thì túi của Jill vẫn còn kẹo. Do đó, mặc dù Jill không biết đếm, cô bé vẫn biết rằng mình có nhiều kẹo hơn John. Ngược lại, nêu túi của Jill bị rỗng trước thì cô bé có ít kẹo hơn. Nếu cả hai túi bị rồng cùng một lúc, và ngay cả khi không biết số kẹo của mình là bao nhiêu, chúng vẫn biết chúng có số kẹo bằng nhau.

Điều tương tự sẽ xảy ra với số lượng các phân số và số nguyên. Lấy một phân số và đặt nó lên bàn. Bây giờ cho phân số đó tương ứng với 1. Phân số tiếp theo tương ứng với 2, 3, 4, 5 và cứ tiếp tục như thế. Vì số các số nguyên là vô hạn nên chúng sẽ không bao giờ bị hết. Bất kể có bao nhiêu phân số, “túi đựng” các số nguyên sẽ không bao giờ bị trống rỗng và do đó phân số tiếp theo trong bản danh sách luôn luôn được tương ứng với một số nguyên. Nói cách khác, số các số nguyên và số các phân số là như nhau[5].

Phải chăng điều này có gì đó hơi giống với cờ bạc bịp? Đối với một người không chuyên về toán thì nghe có vẻ như một chuyện kì cục, tuy nhiên các nhà toán học lại bị thuyết phục bởi lí lẽ của nó. Điều này cho thấy các vấn đề trong toán học không phải luôn luôn rõ ràng, do đó dành thì giờ để chứng minh tính xác định của các mệnh đề toán học có thể là một ý tưởng rất hay.

Số là gì?

Chúng ta hãy bắt đầu với tư tưởng của bản thân “số”. Tất cả chúng ta đều biết đếm. Tất cả chúng ta đều biết rằng 2 + 2 = 4, Nhưng chính xác thì số là gì? Chúng ta có thể định nghĩa nó như thế nào?

Câu chuyện về John và Jill ở trên cho thấy thực ra John và Jill đã có một khám phá quan trọng về số và toán học. Jill bỗng nhiên nhận ra rằng nó có thể làm điều tương tự đối với quả táo giống như đã làm đối với những viên kẹo. Cô bé có thể ghép mỗi viên kẹo với một quả táo trong bát. Cô bé nhanh chóng so sánh mọi thứ nhìn thấy ở xung quanh - những quả táo và quà lê, những viên kẹo và những đồng xu, chó và mèo, những chiếc giày và những chiếc tất. Trong mọi trường hợp việc so sánh đó đều thích hợp. Nếu cô bé có 10 chiếc kẹo thì dù cho nó không đếm nổi quá 5, nó vẫn có thể biết khi nào số quả táo, viên kẹo, đồng xu, giày, vv. bằng nhau. Cô bé đã nhận ra rằng tồn tại một cái túi tưởng tượng mà chúng ta có thể gọi là “số mười” - Bất kì cái gì và mọi thứ có 10 đơn vị đều có thể được bỏ vào cái túi đó. Những chiếc giày, những viên kẹo và những quả táo là những thứ hoàn toàn khác nhau, nhưng khi có 10 đơn vị của mỗi thứ thì chúng có một cái gì đó chung và đó là con số của chúng.

Vào cuối thế kỉ 19, các nhà triết học và toán học xem xét vấn đề này một cách chính xác - định nghĩa “số”. Chính nhà toán học và triết học Gottlob Frege đã tìm ra khám phá của Jill và đưa ra định nghĩa về “số” đúng như cô bé đã làm, với những thuật ngữ về lớp và tập hợp. Bertrand Russell đã viết về điều này trong cuốn Introduction to Mathematical Philosophy (Nhập môn triết học toán học) của ông: “Số của một lớp là lớp của tất cả các lớp tương tự như nó”. Đoạn chữ nghĩa lủng củng này làm cho chúng ta càng thấy khó hiểu. Nói cách khác, số của một cặp đôi sẽ là lớp của tất cả các cặp đôi và tên của của lớp này là “số 2”. Hoặc như Russell viết: “Một số là bất kì cái gì là số của một lớp nào đó”[6]. Với định nghĩa về “số” theo nghĩa là lớp, Frege cảm thấy rằng ông đã giải quyết được một vấn đề quan trọng. Trong đời sống thông thường không mấy ai bận tâm tới định nghĩa về số, nhưng bây giờ Frege đã làm rõ khái niệm này trong chính nền tảng của toán học.

Nghịch lí Russell

Nhưng rồi Frege đã được Bertrand Russell báo cho biết có một con ruồi trong bát canh! Frege chỉ ra rằng bạn có thể bỏ các cây nến, các quả táo, những chiếc giày, những con lợn, vv. mỗi thứ vào trong lớp của nó và cho tương ứng các phần tử của mỗi lớp này với lớp khác và do đó bạn sẽ thấy tất cả những lớp khác nhau này có một cái gì chung - đó là số các phần tử trong mỗi lớp. Nhưng Russell lí luận: Lớp của tất cả các cây nến chẳng phải một cây nến mà cũng chẳng phải một quả táo. Nói cách khác, vì lớp của tất cả các cây nến không phải một cây nến nên nó không phải là phần tử của chính nó.

Điều này không có gì đáng ngạc nhiên; đó là chuyện bình thường. Có rất nhiều tập hợp không phải là phần tử của chính nó. Tập hợp các quả táo không phải là một quả táo; tập hợp những chiếc giày không phải là một chiếc giày. Nhưng tại sao không nghĩ ra một tập hợp hoàn toàn mới lạ được gọi là “lớp của tất cả các lớp không phải là phần tử của chính nó”? Càng mở rộng vấn đề càng lí thú. Và đã tới lúc Russell đổ thêm dầu vào lửa: Phải chăng lớp này là một phần tử của chính nó? Hoặc không? Việc cố gắng trả lời câu hỏi này đã phơi bày vấn đề nghiêm trọng trong nền tảng toán học, làm cho các nhà toán học và triết học băn khoăn lo lắng rằng tính xác định có thể không đơn giản và rõ ràng như người ta hi vọng.

Chúng ta hãy xét nghịch lí của Russell theo cách sau đây. Trong thư viện có một căn phòng chứa các quyển danh mục sách. Nhiều quyển chứa đầu đề của chính nó cùng với đầu đề của những cuốn sách khác. Nhưng có một số quyển danh mục không chứa đầu đề của nó. Vị thủ thư quyết định tạo ra một quyển mới gọi là “Quyển đại danh mục liệt kê tất cả các quyển danh mục không chứa đầu đề của chính nó”. Lúc sắp hoàn thành công việc thì một ý nghĩ làm cho vị thủ thư băn khoăn, “Liệu có nên liệt kê đầu đề của quyển đại danh mục này vào trong bản liệt kê của nó hay không?”.

“Nếu để tên cuốn đại danh mục này ở ngoài thì bản liệt kê này sẽ không đầy đủ”, vị thủ thư lập luận, “như thế thì sẽ bị thiếu tên của chính cuốn đại danh mục này”. Nghĩ vậy, vị thủ thư liền bổ sung tên của cuốn đại danh mục vào bản liệt kê danh mục của chính nó. Nhưng khi làm như vậy, vị thủ thư lại nhận thấy như thế là mâu thuẫn, bởi vì cuốn đại danh mục này chỉ có mục đích liệt kê những cuốn danh mục không chứa chính nó, vậy mà ông ta đang bổ sung vào cuốn đại danh mục này một danh mục chứa chính nó.

Vị thủ thư rơi vào tình trạng mâu thuẫn, tiến thoái lưỡng nan. Nếu muốn tránh phi mâu thuẫn thì quyển đại danh mục sẽ không đầy đủ (bất toàn). Nhưng nếu làm cho nó đầy đủ thì lại phải trả giá bằng sự mâu thuẫn. Russell lập luận, điều xảy ra đối với các quyển danh mục cũng xảy ra đối với định nghĩa về “số” như lớp của các lớp! Vậy là bằng một cú đòn trời giáng, Russell đã phá đổ công trình của Frege và gợi ra những nghi ngờ đáng kể trong nền tảng của toán học.

Hình 2.1. Chân dung Bertrand Russell (1872-1970)

Thay vì làm cho các nhà toán học nản lòng, nghịch lí Russell lại càng khiến vấn đề xây dựng toán học trên một nền tảng vững chắc trở nên quan trọng hơn bao giờ hết, trong đó mọi bước đi đều phải đạt được tính logic và mọi lập luận đều phải sáng rõ. Kết quả là chính Russell đã trở thành một trong những nhà triết học-toán học quyết định dấn thân vào chương trình xây dựng lại toán học.

“Principia Mathematica” (Nguyên lí toán học)

Mối quan tâm của Russell về những vấn đề này bắt đầu nảy sinh từ năm thịnh vượng 1900, tại Hội nghị Triết học Quốc tế lần thứ nhất diễn ra ở Paris[7]. Ngày 3 tháng 8, Russell được nghe nhà triết học-toán học Giuseppe Peano trình bày trước hội nghị. Ông có ấn tượng rất mạnh với tư tưởng mạch lạc của Peano đến nỗi nó đã trở thành điểm mốc xoay chuyển sự nghiệp trí tuệ của ông. Ông tin rằng những lí thuyết của Peano đã nảy nở từ một trí tuệ đã được rèn luyện bởi việc nghiên cứu logic toán học. Đó là điều cốt lõi mà Russell đã tìm kiếm trong nhiều năm; do đó ông trở về Anh và bắt đầu nghiên cứu công trình của Peano.

Công việc này làm Russell nhớ lại những ngày còn ngồi trên ghế nhà trường, ông đã cảm thấy băn khoăn về nền tảng logic của môn hình học. Và cùng với cộng sự A. N. Whitehead, ông lao vào đảm đương một sự nghiệp lớn: khám phá nền tảng logic của toán học. Dự án nghiên cứu khổng lồ này cuối cùng dẫn tới kết quả là hai tập sách vĩ đại mang tên Principia Mathematica (Nguyên lí Toán học).

Các nhà toán học nói chung thường nghĩ họ lí luận rất chặt chẽ, cho đến khi Russell và những người khác chỉ ra thực chất bên trong các lập luận của họ, nhiều khi các nhà toán học đã sử dụng một cách vô thức những dạng lập luận tinh vi nhưng lại chưa bao giờ được phát biểu chính xác. Kế hoạch của Russell là sử dụng một hệ thống kí hiệu hình thức trong đó tất cả các quy tắc suy diễn phải hoàn toàn rõ ràng dứt khoát. Hệ thống ấy phải có:

Một hệ thống các kí hiệu.

Một ngữ pháp - những quy tắc kết hợp các kí hiệu thành một công thức (một mệnh đề toán học).

Các quy tắc biến đổi cho phép các nhà toán học đi từ một công thức này đến một công thức khác.

Các tiên đề.

Các chứng minh, dựa trên một số hữu hạn các công thức nối tiếp, bắt đầu từ một tiên đề và lập luận suy diễn từng bước bằng cách sử dụng các quy tắc biến đổi.

Khái niệm chứng minh

Chương trình của Russell liên quan tới việc xây dựng toán học trên nền tảng logic chặt chẽ, một tư tưởng đi ngược trở về hình học Euclid. Các nhà toán học Hi Lạp cổ đại đã khám phá ra nhiều tính chất hình học của thế giới xung quanh nhưng phải đợi đến Euclid thì những tính chất này mới được tập hợp lại thành sơ đồ logic đơn nhất được gọi là Elements of Geometry (Cơ sở hình học).

Euclid bắt đầu bằng những định nghĩa về các thành phần đơn giản nhất của hình học - điểm, đường, mặt, và vv. Những định nghĩa này được bổ sung bởi các tiên đề, đó là những điểm xuất phát của hệ thống logic của Euclid và ông cho rằng chúng rõ ràng như những chân lí hiển nhiên không cần giải thích, chứng minh. Ví dụ, một trong các tiên đề này là các đường thẳng song song không cắt nhau, bất kể chúng dài chừng nào.

Từ điểm xuất phát của các định nghĩa và tiên đề, Euclid tìm cách chứng minh hàng loạt định lí đã biết trong hình học, chẳng hạn như định lí Pythagoras nổi tiếng - Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bổng tống diện tích các hình vuông dựng trên các cạnh góc vuông (xem Hình 2.2).

Hình 2.2. Định lí của Pythagoras. Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích các hình vuông dựng trên các cạnh góc vuông

Cốt lõi công trình nghiên cứu của Euclid nằm trong khái niệm chứng minh toán học. Trong các chứng minh của mình, Euclid khởi đầu từ một trong các tiên đề, ngoài ra không thừa nhận điều gì khác, xây dựng nên một chuỗi mắt xích các lập luận, mỗi lập luận nối tiếp với một lập luận tiếp theo một cách logic. Từ đó ông có thể đi tới chân lí của mỗi định lí bằng cách sử dụng một số ít các bước và sử dụng logic để đi từ bước này sang bước tiếp theo. Chứng minh của Euclid không liên quan gì đến các giả định hoặc phỏng đoán, và cùng không dựa trên một “lẽ phải thông thường” nào. Thực chất nó được tạo dựng nên hoàn toàn bởi logic chặt chẽ.

Newton cũng đã sử dụng phương pháp tương tự trong tác phẩm vĩ đại, Principles of Natural Philosophy (Nguyên lí triết học tự nhiên), trong đó, lần đầu tiên ông định nghĩa các thuật ngữ cơ bản về không gian, thời gian, vv. rồi chấp nhận một số ít các tiên đề như những “định luật tự nhiên” của ông. Với những trang bị đó, và bằng cách chứng minh mọi lập luận từng bước một, ông đã thiết lập nên những chân lí về thế giới tự nhiên.

Điều làm cho các định lí trong hệ thống của Euclid trở nên đặc biệt hấp dẫn là ở chỗ, một mặt chúng được chứng minh logic từ các tiên đề, mặt khác chúng lại có thể được kiểm chứng thực tế trong thế giới hiện thực và trong không gian ta đang sống. Phương pháp của Euclid vô cùng quan trọng bởi ý nghĩa vận dụng logic và ý nghĩa thực tiễn - các định lí của nó phù hợp và chính xác với kinh nghiệm thực tế. Chúng vừa chặt chẽ về mặt tư duy, vừa thích hợp khi đối chiếu với thực tiễn xung quanh.

Toán học tự trừu tượng hoá bản thân nó

Nhưng đến thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu đặt câu hỏi, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thay đổi một trong các tiên đề của Euclid? Phải chăng việc đặt ra câu hỏi như thế chỉ để mua vui? Giả sử chúng ta cho rằng các đường thẳng song song sẽ cắt nhau tại một điểm? Một tiên đề mới kiểu như thế sẽ không có chỗ dựa trong không gian thực tế chúng ta đang sống. Nhưng ý nghĩa cốt lõi của cách đặt vấn đề này là ở chỗ, trong trường hợp thay đổi một trong các tiên đề, liệu toàn bộ hệ thống có tạo nên một thứ hình học mới đối lập với hình học cũ nhưng vẫn đảm bảo tính phi mâu thuẫn về mặt logic hay không? Và liệu thứ hình học mới này có đúng trong một vũ trụ của khoa học giả tưởng đối lập với vũ trụ thông thường hay không?

Tóm lại, các nhà toán học bắt đầu băn khoăn về hệ thống tiên đề trừu tượng - cái không còn tương thích với hiện thực nữa. Rõ ràng là với một hệ tiên đề hoàn toàn trừu tượng như thế thì vấn đề phi mâu thuẫn trở thành cực kì quan trọng. Chẳng hạn, làm thế nào mà biết thứ hình học mới lạ này là hoàn toàn phi mâu thuẫn nội tại?

Sức mạnh của logic

Vấn đề về tính phi mâu thuẫn trong toán học luôn luôn được giải quyết nhờ logic. Chẳng hạn, nhà triết học Leibniz đã lí luận rằng logic là ngôn ngữ lí tưởng đối với các nhà triết học. Nhưng logic truyền thống của Hi Lạp cổ đại, La Mã, và giai đoạn đầu thời Trung cổ đều dựa trên những lập luận thuần tuý bằng lời: Giả sử nếu A đúng thì suy ra B. Hoặc, A không thể đồng thời vừa là A vừa là “không-A”. Do vậy, Leibniz đề nghị các lập luận bằng lời nên được thay thế bằng những chuỗi kí hiệu. Từ đó, logic kí hiệu ra đời. Một chuỗi kí hiệu cũng nói lên cùng một vấn đề như những mệnh đề bằng lời nhưng theo cách tiết kiệm hơn, hơn nữa, cấu trúc của một hệ như thế sẽ hoàn toàn rõ ràng và trong suốt đến nỗi có thể dễ dàng phát hiện bất kì lỗi logic nào. Bằng cách rút gọn mọi lập luận thành những chuỗi kí hiệu logic, người ta có thể phân tích các chứng minh về nền tảng của toán học theo một phương pháp cực kì chặt chẽ và chính xác.

Nhưng những chứng minh nào cần phải xem xét? Cho đến bây giờ chúng ta chỉ mới đề cập tới việc đếm, nhưng toán học còn chứa đựng nhiều vấn đề khác nữa chứ không phải chỉ có những con số. Vậy với phép tính tích phân, hình học, đại số, vv. thì làm thế nào? Nói rõ hơn, làm thế nào để biến hình học thành những chuỗi kí hiệu logic? Để thấy được điều này, hãy trở lại với Euclid và cuốn Cơ sở hình học (Elements of Geometry) của ông. Các định lí của ông đề cập tới vấn đề các tam giác bằng nhau, chia đôi các vòng tròn, vv. Nhưng Descartes đã chỉ ra rằng mọi điểm trên mặt phẳng có thể được xác định bởi hai con số, các toạ độ x và y của nó. Bằng cách đó, một đường thẳng có thể được mô tả bởi một phương trình, chẳng hạn đường thẳng y = 3x hoặc đường cong y = x2.

Áp dụng phương pháp của Descartes, hình trong hình học có thể được biểu diễn bởi các phương trình đại số. Điều này có nghĩa là các định lí hình học có thể quy về nghiệm và tính chất của các phương trình này. Toàn bộ hình học, cùng với toàn bộ các chứng minh của nó, có thể quy về đại số. Đến lượt nó, đại số lại có thể quy về các định lí về số. Và các định lí về số lại có thể được thể hiện bằng logic kí hiệu. Quá trình biến đổi này cho phép quy toàn bộ toán học về đại số và các quy tắc đại số được phân tích theo logic kí hiệu.

Càng phát triển toán học sâu theo hướng trên càng tốt. Nhưng nhà toán học David Hilbert chỉ ra rằng bằng cách quy giản hình học về đại số, các nhà toán học đơn giản là đã đẩy gánh nặng sang đại số. David Hilbert lí luận rằng sẽ có nhiều y nghĩa hơn nếu làm cho từng lĩnh vực và mọi lĩnh vực của toán học tự nó có thể trình bày tính phi mâu thuẫn dưới dạng hình thức. Thay vì chứng minh hình học thông qua đại số hoặc biểu diễn các điểm trong không gian thông qua những con số, mỗi ngành của toán học nên được quy giản thành một hệ thống kí hiệu hình thức.

Chương trình Hilbert

Hilbert đẩy vấn đề đi xa hơn bằng cách chất vấn tại sao chúng ta cần phải diễn dịch hình học dưới dạng những thuật ngữ đại số. Trong toán học thuần tuý thực sự, ý nghĩa của chúng không có vấn đề gì đáng bàn (kí hiệu không mang ý nghĩa thực tế vật chất gì cả). Toán học đơn giản chỉ là mô hình thuần tuý của các kí hiệu, mỗi kí hiệu nối với một kí hiệu tiếp theo một cách logic tuỳ thuộc vào những quy tắc chặt chẽ của quy trình suy diễn. Thay vì băn khoăn vớì ý nghĩa của các kí hiệu này, chúng ta cần quan tâm tới việc thiết lập những quy tắc chính xác để vận dụng chúng nhằm mục đích đi từ dòng chứng minh này tới dòng chứng minh tiếp theo.

Đó là chương trình vĩ đại của David Hilbert đối với nền tảng toán học - con đường huy hoàng của ông hướng tới vương quốc xác định. Hilbert muốn liệt kê mọi sự thừa nhận có thể có và các nguyên lí logic được sử dụng trong toán học: Không có cái gì bị che đậy; mọi thứ đều phải thể hiện rõ trên bê mặt. Thay vì dựa vào từ ngữ, mọi bước của chứng minh cần phải được thay thế bởi chuỗi kí hiệu logic chặt chẽ chính xác cùng với những quy tắc để đi từ bước này tới bước khác. Một cách lí tưởng, toàn bộ vấn đề có thể được giải quyết tự động. Nói theo ngôn ngữ hiện đại, cung cấp cho Computer một hệ tiền đề và một tập hợp các quy tắc theo trình tự, nó sẽ tạo ra mọi định lí toán học.

Hình 2.3. Chân dung David Hilbert (1862-1943)

Phương pháp tiên đề hoá của Hilbert có vẻ như rõ ràng đến mức ai cũng có thể hiểu được. Dường như không có cơ hội tìm thấy lỗi ở đó. Không có một sự thừa nhận nào bị che đậy, không có gì tồn tại bên ngoài hệ thống mà chưa được định nghĩa trước đó, và ngoài hệ thống logic kí hiệu ra không còn gì khác. Đó cùng chính là phương pháp nghiên cứu của Russell và Whitehead khi họ viết ra công trình khổng lồ thâu tóm toán học vào bên trong một hệ thống tuyệt đối chặt chẽ chính xác.

Chủ nghĩa trực giác

Nhưng không phải mọi người đều tán thành với Hilbert trong ý đồ quy giản toán học về một chuỗi logic thuần tuý. Nhà toán học Hà Lan L. E. J. Brower cho rằng rằng toán học không thể giản lược thành những chuỗi kí hiệu logic vô nghĩa đơn thuần. Ông nói, khái niệm đếm nảy sinh từ kinh nghiệm trực giác của chúng ta về thời gian, cho phép chúng ta phân biệt hiện tại với cái không phải là hiện tại. Điều đó xảy ra ở một tầng nhận thức sâu sắc, mang tính tâm lí, ông nhấn mạnh, nhờ đó chúng ta hình thành nên khái niệm về “cái hai” (two-ness) hoặc sự khác biệt. Vì khả năng đếm của chúng ta xuất phát từ sự trải nghiệm tinh thần rất căn bản này, nên lí lẽ toán học sẽ hoạt động như một sự tìm tòi nghiên cứu ở một tầng tâm lí sâu sắc, đó là lập luận của Brower nhằm bênh vực cho chủ nghĩa trực giác.

Cuốn Principia được công bố

Không chịu được sự chỉ trích của Brower, Russell và Whitehead đẩy mạnh việc công bố chương trình nghiên cứu của họ. Nó đồ sộ đến mức hai nhà toán học-triết học này phải dùng một chiếc xe cút kít để chở bản thảo tới nhà xuất bản! Với những kết quả đã được in ấn, các nhà toán học trên thế giới phải quyết định xem liệu hai nhà toán học này đã thật sự đặt toán học trên một nền tảng logic vững chắc hay chưa.

Một số người vẫn băn khoăn về nghịch lí Russell. Nhưng chính Russell lại cho rằng đó chẳng qua là một sự lẫn lộn nảy sinh từ việc trộn lẫn các dạng lập luận logic khác nhau - lẫn lộn khái niệm lớp với lớp của các lớp. Không phải ai cũng bị thuyết phục bởi ý kiến này. Phải chăng Russell đã đưa ra một lời giải đúng đắn hay chẳng qua ông đã “nhét rác xuống dưới tấm thảm”[8]? Hơn nữa, một số nhà toán học không lấy làm thích thú với những tiêu chuẩn lập luận logic mà Russell và Whitehead đã sử dụng.

Định lí của Gödel

Các nhà toán học vẫn không quyết định dứt khoát liệu toán học đã được thiết lập đầy đủ và phi mâu thuẫn hay chưa. Cuối cùng, vào năm 1931, một công trình bằng tiếng Đức nhan đề “Về những mệnh đề không quyết định được một cách hình thức trong cuốn Principia Mathematica và những hệ liên quan” đã làm rung chuyển thế giới toán học và đặt dấu chấm hết cho chương trình của Hilbert, Russell và Whitehead. Tác giả của nó là Kurt Gödel, hai mươi lăm tuổi, đang sống ở Vienna. Công trình của ông đã chỉ ra một lần và mãi mãi rằng tính phi mâu thuẫn nội tại của phương pháp tiên đề, được tôn thờ từ thời Euclid, có những hạn chế. Nói chính xác hơn, nếu một hệ tiên đề đủ phong phú để tạo ra toán học thì nó không bao giờ có thể được chứng minh là phi mâu thuẫn. Hơn thế nữa, một hệ như thế vốn dĩ không đầy đủ, tức là bất toàn.

Chứng minh của Gödel cực kì khéo léo. Để bắt đầu thực hiện, ông nhất quyết tránh sự khác biệt giữa toán học với cái được gọi là siêu-toán học. Trong chương trình Hilbert, mục tiêu của Hilbert là sử dụng logic kí hiệu để chứng minh toán học vừa đầy đủ vừa phi mâu thuẫn. Nhưng điều đó có nghĩa là toán học bản thân nó đang được thảo luận và phân tích bởi một hệ thống kí hiệu khác. Hệ thống nói về toán học và tạo ra nhũtng mệnh đề trình bày về toán học không phải là chính bản thân toán học, mà là siêu-toán học, một hệ thống nằm ngoài toán học nhưng được sử dụng để mô tả nó.

Đột phá thiên tài của Gödel là khám phá ra một phương pháp vẫn nằm bên trong toán học bằng cách sáng tạo ra một hệ thống kí hiệu nằm bên trong toán học cho phép xem xét chính bản thân toán học và do đó có thể tạo ra những mệnh đề trình bày về chính bản thân nó - thậm chí đi tới chỗ chứng minh hoặc phủ nhận tính phi mâu thuẫn của chính bản thân nó.

Những chi tiết chứng minh của Gödel vượt quá phạm vi cuốn sách này - vài gợi ý của chứng minh được trình bày ở phần Phụ lục. Thực chất, Gödel đã bắt đầu chứng minh bằng cách gán cho mỗi kí hiệu một con số tương ứng. Và dĩ nhiên là các con số, một cách rất tự nhiên, phải nằm bên trong vương quôc toán học - chúng không nằm trong phạm vi siêu-toán học. Bằng cách kết hợp những con số này với nhau theo một cách đặc biệt, Gödel cho thấy mỗi mệnh đề trong chứng minh cũng có thể tương ứng với một con số duy nhất. Như thế mỗi mệnh đề toán học sẽ được xác định bởi một con số tương ứng. Nếu biết con số đó, người ta có thể giải mã nó và viết lại thành mệnh đề toán học tương ứng.

Tiếp theo, mọi định lí - cùng với tất cả mọi dòng trong quá trình chứng minh của nó - cũng tương ứng với một con số nhặn dạng duy nhất. Hơn nữa, một mệnh đề trình bày về toán học, hoặc một siêu-mệnh đề nếu bạn muốn, cũng có một con số tương ứng, và khi đã là một con số nó sẽ đồng thời là một bộ phận của số học. Cuối cùng, Gödel đã có thể đi tới những con số tương ứng với những mệnh đề chẳng hạn như “mệnh đề đúng này không thể chứng minh được”, hoặc “mệnh đề này là đúng” và “phủ định của mệnh đề này là đúng”. Bằng cách này, ông đã chỉ ra những con số hoàn toàn có giá trị trong số học tương ứng với mệnh đề được phát biểu như sau: “Mệnh đề đúng này không thể chứng minh được”. Điều đó cũng có nghĩa là Gödel đã chứng minh được sự tồn tại của những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh. Nói cách khác, toán học là bất toàn (không đầy đủ).

Hơn thế nữa, trong hệ thống của ông có những con số, tức là có những mệnh đề đúng, tương ứng với câu “mệnh đề này đúng” và “phủ định của mệnh đề này đúng”. Điều đó có nghĩa là tính mâu thuẫn (bất nhất) cũng tồn tại bên trong toán học.

Gödel đã chứng minh rằng toán học vừa bất toàn vừa mâu thuẫn. Toán học phải bất toàn vì sẽ luôn luôn tồn tại những chân lí toán học không thể chứng minh được. Những chân lí đó tồn tại trong toán học nhưng chúng không bắt nguồn từ bất kì tiên đề hoặc định lí nào. Toán học cũng mâu thuẫn bởi vì một mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó có thể cùng đồng thời tồn tại trong cùng một hệ thống.

Hình 2.4. Chân dung Kurt Gödel (1906-1978)

Kết quả chứng minh của Kurt Gõdel đã làm rung chuyển thế giới toán học. Chứng minh của ông không thể bác bỏ được. Vậy nếu toán học là chỗ ẩn náu cuối cùng của tính xác định thì giờ đây chỗ dựa cuối cùng ấy đã bị Gödel đá văng đi. Nhưng ý nghĩa của định lí Gödel không dừng lại ở đó: Giống như với nguyên lí bất định của Heisenberg, một lí thuyết mang tính cách mạng, các nhà toán học và triết học tiếp tục chất vấn về ý nghĩa sâu xa của định lí Gödel. Định lí này được diễn dịch như thế nào? Đâu là những ngụ ý của nó?

Ví dụ như khi nói có những mệnh đề toán học đúng nhưng không thể chứng minh thì ý nghĩa chính xác của câu nói đó là gì? Những chân lí kiểu như thế có ý nghĩa gì? Làm thế nào nhận ra một chân lí như thế nếu chúng ta gặp nó?

Những chân lí không thể chứng minh

Một ví dụ về một mệnh đề toán học không thể chứng minh được có lẽ là “Giả thuyết Goldbach”. Giả thuyết này nói rằng “mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố” (số nguyên tố là số chỉ chia hết cho chính nó và cho 1).

Tất nhiên là điều này biểu lộ qua công việc thực hành, như những ví dụ sau đây cho thấy:

20 = 17 + 3

10 = 7 + 3

8 = 7 + 1

Chưa một nhà toán học nào tìm thấy một ngoại lệ của giả thuyết này, và nó đã được kiểm chứng đối với một số lượng vô cùng lớn các số trên computer, mặc dù không thể kiểm chứng đối với mọi số có thể có - vì có một số vô hạn các con số. Các nhà toán học hầu như tin chắc rằng giả thuyết Goldbach là đúng, nhưng chưa ai có thể chứng minh được nó. Phải chăng đây là loại chân lí không thể chứng minh được mà Gödel đã đề cập tới? Hoặc một ngày nào đó sẽ có những nhà toán học tài ba tìm ra cách chứng minh giống như việc đã diễn ra với định lí cuối cùng của Fermat?

Giả sử giả thuyết Goldbach là một chân lí căn bản về số, một chân lí không bao giờ có thể chứng minh được. Tại sao không sáp nhập nó vào toán học như một trong những tiên đề cơ bản? Nếu vậy thì chúng ta đã làm cho số tiên đề số học tăng thêm một tiên đề và chúng ta bắt đầu với một tình thế hoàn toàn mới. Phải chăng điều này sẽ giúp chúng ta tránh được định lí Gödel? Không, định lí Gödel nói rằng một khi bạn bổ sung một tiên đề mới, những chân lí mới không chứng minh được lại nảy sinh. Bất kể bạn xem xét vấn đề thế nào, không có cách nào tránh được điều Gödel đã chứng minh, rằng toán học vốn bất toàn một cách cố hữu.

Ý nghĩa công trình của Gödel vẫn tiếp tục gây ra nhiều tranh cãi. Đối với một số người, đó là một chuyện hết sức nhức đầu, một thất bại đối với việc tìm kiếm một đảm bảo cuối cùng trong logic và toán học. Nhưng những người khác lại nhìn nó với một ánh sáng tích cực hơn. Dẫu sao thì chương trình vĩ đại của Hilbert cũng chủ trương quy giản toàn bộ toán học về những thao tác logic, tức là về nguyên tắc, mọi chứng minh toán học có thể thực hiện trên computer. Một chứng minh, Hilbert nói, có thể đạt được thông qua một loạt thuật toán, và những bước như thế có thể tự động hoá. Nhưng giờ đây, Gödel nói với chúng ta rằng phương pháp nghiên cứu đó sẽ có những giới hạn và không thể chứa đựng toàn bộ toán học. Có những việc được làm bởi các nhà toán học nhưng không bao giờ có thể thực hiện được trên computer.

Hạn chế của thuật toán

Chúng ta hãy lấy tư tưởng thuật toán làm ví dụ[9]. Thuật toán là một quy tắc đơn giản, hoặc một nhiệm vụ cơ bản, lặp đi lặp lại nhiều lần. Bằng cách này, thuật toán có thể tạo ra những cấu trúc phức tạp đến mức đáng kinh ngạc. Chẳng hạn, chúng có thể được sử dụng trên computer để tạo ra những mô hình fractal[10]. Mô hình fractal toán học được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại những cấu trúc đơn giản theo quy mô nhỏ dần mãi mãi. Bằng cách này một hình trông bề ngoài phức tạp, chứa đựng những chi tiết nhỏ vô tận, có thể được tạo ra bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại một thuật toán đơn giản. Những mô hình fractal này lần lượt bắt chước một số mô hình phức tạp tìm thấy trong tự nhiên. Rốt cuộc, nhiều tổ chức và khóm cụm sẽ tăng trưởng thông qua việc lặp đi lặp lại những quá trình căn bản, chẳng hạn như, việc mọc nhánh hoặc phân chia nhánh. Hình mẫu phức tạp của gạch đá hoa trong các ngôi đền Hồi giáo là kết quả của một mô hình cơ bản được lặp đi lặp lại mãi mãi. Những mô hình tương tự cũng có thể tìm thấy trong âm nhạc Arập. Cũng tương tự như những cấu trúc tinh thể đẹp đẽ tìm thấy trong tự nhiên là kết quả của một quá trình sắp xếp vị trí của các nguyên tử sao cho nguyên tử này được đặt nối tiếp với nguyên tử kia theo kiểu lặp đi lặp lại.

Những tổ mối được tìm thấy ở miền nhiệt đới có chiều cao vài feet dường như là những công trình kiến trúc bậc thầy. Tuy nhiên, không có con mối nào có trong đầu nó bản thiết kế của tổ mối. Thực ra, mỗi con mối đều có một nhiệm vụ cực kì đơn giản là mang các viên đất đặt lên những cái cọc. Sử dụng một quy tắc đơn giản, lặp đi lặp lại, chúng tạo nên loàn bộ cái tổ.

Có vô vàn ví dụ về những cấu trúc tinh vi và những quá trình có bề ngoài phức tạp được hình thành thông qua những quy tắc đơn giản lặp đi lặp lại, tất cả những cái đó đều có thể dễ dàng được mô phỏng trên computer. Do đó, có xu hướng liều lĩnh tin rằng, vì nhiều mô hình phức hợp được tạo nên từ một quy tắc thuật toán đơn giản, suy ra mọi sự phức tạp đều được sáng tạo ra theo cách đó. Cũng như thế, vì các mô hình fractal có thể tái tạo ra hình ảnh của cây cối, sông ngòi, các đám mây, và các triền núi, người ta dễ bị quyến rũ để tin rằng mọi hệ thống tự nhiên đều hình thành và phát triển theo các quy tắc thuật toán fractal. Nhưng định lí Gödel chỉ ra một giới hạn về bản chất trong cách suy nghĩ này. Một phần lớn cấu trúc phức tạp có thể giải thích được thông qua các thuật toán, nhưng không phải mọi thứ đều có thể giải thích như vậy.

Ví dụ điển hình là bài toán được gọi là “lát gạch đá hoa Penrose” (Penrose tiling). Phần lớn các hệ thống lát gạch đá hoa - nói cách khác, các hệ thống trải rộng mô hình thông qua các động tác lặp đi lặp lại - chỉ đòi hỏi một quy tắc đơn giản là làm thế nào để lát một tấm gạch đá hoa tiếp theo tấm gạch lân cận nó. Thực hiện quy trình này, một người có thể lát gạch đá hoa suốt cả ngày mà không có lúc nào phải đứng lên để ngắm nhìn lại toàn bộ kêt quả công trình. Tuy nhiên, nhà toán học Roger Penrose đà chỉ ra rằng có những hệ thống gạch đá hoa mà quy tắc đặt tấm gạch lân cận không đủ để hoàn tất mô hình. Kể từ lúc bắt đầu đặt những tấm gạch đá hoa đó xuống, sớm hay muộn rồi cũng sẽ đến lúc không thể lát tấm gạch tiếp theo sao cho khớp với mô hình. Cách duy nhat để có thể lát những tấm gạch đá hoa Penrose là phải đứng dậy và xem lại hiệu quả tổng thể. Ở nơi nào các thuật toán chỉ làm việc thông qua các quy tắc cục bộ, ở đó các tấm gạch đá hoa Penrose đòi hỏi phải có sự đánh giá xem xét mô hình trên phạm vi tổng thể.

Hình 2.5. Bảy kiểu lát gạch Penrose từ hai loại gạch cơ bản là hình cánh diều và hình ngọn mác, các hình này không thể phát triển tiếp tục theo cách lặp đi lặp lại nữa

Hơn thế nữa, người ta đã khám phá ra một số tinh thể cũng có cùng kiểu đối xứng giống như các tấm gạch đá hoa Penrose. Có nghĩa là những tinh thể này không hình thành một cách đơn giản bằng cách lắp ghép một nguyên tử khớp với nguyên tử bên cạnh; chúng, với tư cách là một tổng thể, bằng cách này hay cách khác phải có một kiểu hình thành trên phạm vi toàn cục. Đó chính là cái mà người ta mong đợi tìm thấy trong lí thuyết lượng tử. Một hệ lượng tử không giống như một chiếc máy bao gồm một dãy các thành phần nối kết với nhau, mà hơn thế, nó giống như một tổng thể hữu cơ.

Chiến lược nhận thức

Có một lĩnh vực khác mà ở đó các thuật toán có lẽ cũng bị hạn chế, đó là hệ tâm lí nhận thức. Khoa học tâm lí về nhận thức tìm cách giải thích vấn đề ứng xử của con người, chủ yếu là ý thức của con người, thông qua nhiều “chiến lược nhận thức” (cognitive strategies) khác nhau. Những chiến lược này thường được quy giản thành một loạt các thuật toán mà về nguyên tắc có thể mô phỏng trên computer. Liên quan đến việc mô phỏng này, lĩnh vực chữa trị bệnh thần kinh cũng trở nên hữu dụng đối với nhiều người. Các bác sĩ thần kinh nhận dạng các mô hình tư duy lặp đi lặp lại - nguyên nhân dẫn tới những cơn hoảng loạn, mất khả năng tự chủ, hoặc ứng xử gây huỷ hoại các mối quan hệ. Cách điều trị bao gồm việc làm cho bệnh nhân nhận ra những mô hình như thế và sử dụng những chiến lược đơn giản để phá vỡ dây xích tư duy lặp đi lặp lại đó. Nhưng một lần nữa, những kết quả của Gödel ngụ ý rằng bất kì một hệ thống thuật toán nào cũng có những giới hạn cố hữu. Có lẽ có một số khía cạnh của ý thức và ứng xử có thể giải thích được thông qua những mô hình phản ứng máy móc, và quả thật hầu hết chúng ta dần dần thấy mình phản ứng một cách máy móc, tuy nhiên không phải tất cả cuộc sống có ý thức của chúng ta đều có thể giải thích được theo cách đó.

Trí tuệ nhân tạo

Liên quan tới vấn đề trên là một phê bình đối với chương trình trí tuệ nhân tạo (AI - Artificial Intelligence). Chẳng hạn, Roger Penrose lí luận rằng, mặc dù Computer sẽ trở nên nhanh hơn và mạnh hơn, thậm chí tới mức chúng ta không còn hiểu làm thế nào mà các chương trình của chúng được viết ra nữa (như thể chúng bắt đầu viết các mã riêng của chúng vậy), tuy nhiên chúng vẫn có giới hạn cố hữu trong bản chất và không bao giờ có thể đạt được cấp độ trí thông minh ý thức mà con người sở hữu.

Penrose bị một số bộ phận trong cộng đồng AI chỉ trích, tuy nhiên lập luận của ông là rất hữu ích và đúng đắn. Một lần nữa, vấn đề là ở chỗ “trí thông minh” dựa trên silicon vẫn gắn liền với việc sử dụng các thuật toán. Bằng cách thực hiện hàng tỉ động tác lặp đi lặp lại với một tốc độ vô cùng lớn, computer có thể chơi cờ, mô phỏng sự nhìn, nhận ra các khụôn mặt, “hiểu” được các văn bản viết, vv. Khi computer trở nên nhanh hơn, chứa bộ nhớ ngày càng lớn hơn, làm việc song song, và sử dụng “mạng lưới neuron thần kinh” để học những nhiệm vụ mới, chúng sẽ vượt quá những kĩ năng của con người trong một số lĩnh vực, và có thể chúng ta không còn hiểu nổi làm thế nào mà “quá trình tư duy” của chúng hoạt động nữa. Tuy nhiên, quan điểm chủ yếu của Penrose là những máy móc như thế sẽ luôn luôn bị giới hạn bởi định lí Gödel, trong khi tư duy của con người có thể tạo ra những bước nhảy vọt và khám phá ra chân lí mà không cần phải trải qua từng bước logic.

Trong quá khứ đã từng xuất hiện một số đề nghị ngông cuồng đối với tương lai của AI. Những câu chuyện khoa học giả tưởng mô tả một thế giới bị thống trị bởi những computer suy nghĩ và biểu diễn các thao tác nhanh hơn con người, đến nỗi cuối cùng Computer giải thoát thế giới khỏi đời sống hữu cơ kém hiệu quả, làm cho thế giới sạch và dành hoàn toàn cho máy móc.

Nhưng một cách nhìn tích cực và đúng đắn hơn về tương lai đòi hỏi phải có sự cộng sinh giữa con người và computer. Quan điểm này thừa nhận computer có thể làm nhiều việc hiệu quả hơn con người. Sức chứa bộ nhớ của chúng có thể rộng hơn. Chúng thực hiện các phép tính nhanh hơn. Chúng không biết buồn chán, và, nếu chúng được lập trình một cách chính xác, chúng sẽ không nhầm lẫn.

Nhưng trái lại, những computer này sẽ tương tác với xã hội rộng rãi của con người, bởi vì chỉ có con người mới có trải nghiệm tình yêu, niềm vui, nỗi đau và nỗi thất vọng.

Chỉ có con người mới có thể xác tương tác với thế giới, có những cảm nhận và xúc động tinh tế. Trí tuệ của con người có thể chịu đựng được sự mơ hồ, có thể có những tiên đoán thông minh hơn, ứng biến tại chỗ, và lấp đầy các lỗ hổng kiến thức hoặc logic. Trực giác của con người có thể hoạt động theo những phương cách đầy sáng tạo. Con người có thể vượt qua logic để nhận ra mô hình ẩn chứa trong những đối tượng hoàn toàn khác nhau. Chúng ta cảm nhận được đâu là giá trị trong một mô hình, ý nghĩa của cuộc sống là gì, và cái gì có thể không cần để tâm tới. Chính trong những khía cạnh đó computer đã bộc lộ giới hạn của chúng.

Vì thế mới nảy sinh ý tưởng kết hợp những gì là tốt nhất trong hai “loài” rat khác nhau này - loài người được tạo dựng dựa trên carbon và “loài” Computer được tạo dựng dựa trên silicon. Trong tương lai, những Computer tiên tiến bậc cao có thể làm việc bên cạnh con người, hai bên sẽ “học” lẫn nhau và mỗi bên sẽ làm phần tốt nhất theo khả năng của mình. Một tương lai như thế cũng có thể sẽ mang đến những mối liên hệ thần kinh trực tiếp mà nhờ đó bộ não của con người có thể sẽ tác động trực tiếp vào bộ nhớ của computer, trải nghiệm cảm xúc từ một nơi ở xa, hoặc điều khiển một robot bằng những phương tiện tư duy hay ý định của con người.

Sự thống trị của logic

Định lí Gödel nói về thế giới toán học, một kết quả được rút ra một cách thông minh từ hệ thống logic tự quy chiếu[11]. Để vượt ra ngoài phạm vi bàn luận của một hệ thống, như đã trình bày trong các mục trên, chúng ta cần phải ngoại suy nhiều hơn là suy diễn. Có thể nói rõ hơn rằng định lí Gödel là một ví dụ giúp ta học cách nghi vấn những chiến lược và tư tưởng mang tính tổng quát, bao trùm lên mọi thứ.

Thế kỉ 20 chứng kiến một vài giai đoạn đen tối nhất trong lịch sử loài người; đó là lúc sự điên rồ càn quét lên khắp các quốc gia và người ta bàn tán về cái ác tập thể, về cơn ác mộng và quyền lực của sự phi lí[12]. Nghịch lí thay, sự điên rồ tập thể ấy lại sở hữu những lí lẽ chủ quan, sai lầm của nó; những giai đoạn đen tối này thường được đặc trưng bởi sự ám ảnh với logic, bệnh sách vở[13] và thói quan liêu.

Kiểu ứng xử nghịch lí như thế được kết hợp với sự điên rồ không chỉ ở cấp độ xã hội mà còn ở cấp độ cá nhân. Kẻ mắc bệnh hoang tưởng (paranoiac) bào chữa cho những ảo giác của nó về sự hành hạ ngược đãi. Kẻ bị loạn thần kinh nhân cách (psychopath) tách khỏi bất kì sự gắn bó nào với những người xung quanh, lí luận từng bước một nhưng rồi lại đi tới những giả thuyết hoàn toàn vô lí. Có thể những người này tin tưởng vững chắc rằng họ ưu việt hơn những người xung quanh, từ đó đi tới những biện hộ sai lạc theo niềm tin của họ. Từ điểm đó chỉ còn một bước ngắn nữa là đi tới chỗ nhìn những người khác như ở dưới mình, và các lề luật cũng như quy ước xã hội như thể chỉ áp dụng cho những loại người ưu việt đó.

Trong cuốn tiểu thuyết The Third Man (Người thứ ba) của Graham Greene, nhân vật Harry Lime nhìn xuống thế giới bên dưới từ đỉnh cao nhất của một vòng đu quay. Cái nhìn của anh ta là cái nhìn của một kẻ loạn thần kinh nhân cách. Mọi người bên dưới giống như những con kiến, và sâu bọ vốn là một loài vật người ta có thể di nát dưới chân giày mà không cho chúng mảy may giây lát suy nghĩ. Tại sao chúng ta không lấy việc tàn sát sâu bọ một cách vô cớ như thế để chứng minh cho tính thượng đẳng của con người?

Các bước lí luận được viết ra đầy ắp, tuy nhiên kết thúc lại là sự mục nát về đạo đức, bởi vì những người lành mạnh đều không thể hoan nghênh những tư tưởng như thế được. Chúng ta nhận ra điều ngớ ngẩn. Chúng ta thận trọng với nơi nào những tư tưởng khoa trương có thể chiếm lĩnh chúng ta. Chúng ta thâu cảm với những người xung quanh và nhận thấy sự ốm yêu và đau đớn của những người khác.

Khi bị trói buộc vào các kế hoạch khổng lồ và những tư tưởng bao trùm, logic có thể dễ dàng quét sạch chúng ta. Nhưng khi lập luận theo cách này, tôi không có ý kêu gọi từ bỏ sự lí luận - một điều có thể hoàn toàn vô lí. Những người xây dựng lí thuyết logic, kể từ thời Hi Lạp cổ đại qua các nhà triết học kinh viện thời Trung cổ cho tới logic kí hiệu ngày nay, đã đóng góp một sức mạnh to lớn cho tư duy của nhân loại. Nhưng mặt khác, lí luận phải được hoà trộn với lòng trắc ẩn, sự tử tế, và lòng nhân đạo. Một hoạ sĩ có nguy cơ không nhìn thấy bức tranh toàn cảnh nếu người đó không quay lại ngắm nhìn cái viễn cảnh rộng lớn hơn. Cũng như thế, chúng ta phải thường xuyên đặt các kế hoạch, những lời hứa hẹn và lí thuyết của chúng ta trong dấu ngoặc, để đặt ra câu hỏi liệu chúng sẽ có ý nghĩa gì trong một bối cảnh rộng lớn hơn. Chúng ta thực sự cảm nhận về chúng như thế nào? Chúng đang dẫn chúng ta về đâu? Những người khác sẽ bị chúng đối xử ra sao?

Khi Cari Jung sắp xếp, phân loại các hoạt động “có lí trí” của ý nghĩ, ông chia chúng thành hai dạng: tư duy và cảm nhận. Chúng ta thường coi cảm xúc là thiếu chặt chẽ và thiếu rõ ràng, nhưng đối với Jung, đó là một trong những hoạt động có lí trí nghiêm chỉnh của trí óc. Cảm nhận, đối với Jung, là cái giúp ta đánh giá giá trị vốn có của sự vật. Cảm nhận giúp ta nhìn thế giới một cách toàn cục, trọn vẹn, tổng thể (globally), thay vì chia tách, phân tích thành những bộ phận riêng lẻ (analytically). Nếu tư duy không được cân bằng với cảm nhận thì nó có thể trở thành một thứ định kiến ám ảnh (obsessive) và giáo điều-một chiều (one-tracked), không để ý tới ý nghĩa tổng thể của cái mà người ta đang làm. Ngược lại, nếu cảm nhận không được kiềm chế bởi tư duy thì chúng ta có nguy cơ lao vào các sự kiện với một sự hăng hái nhiệt tình và tin tưởng chắc chắn mà không có những kế hoạch đúng đắn hoặc không lường trước được những cạm bẫy có thể có.

Nếu chúng ta coi định lí Gödel như một phép ẩn dụ, nó sẽ nói rằng luôn luôn có thể có một cái gì đó nằm bên ngoài sơ đồ tư duy logic của con người, và rằng những mâu thuẫn có thể luồn lách vào bên trong khuôn khổ logic chặt chẽ nhất của con người, bởi vì những vấn đề có giá trị trên giấy tờ không có nghĩa là chúng sẽ hoạt động tốt trên thực tế. Thiếu cảm xúc mang tính người, logic sẽ đẩy chúng ta về phía trước, nhiều khi nó còn chống lại mong muốn của chúng ta. Và khi nó chôn vùi chúng ta, nó sẽ bẻ cong mọi thứ trong gọng kìm của nó.

Lí thuyết lượng tử cung cấp cho chúng ta một cách nhìn hoàn toàn khác. Cách nhìn này dựa trên một logic đồng thời thừa nhận cả A lẫn không-A. Đó là một logic phụ thuộc vào bối cảnh cụ thể đang xảy ra và tuân thủ nguyên lí bổ sung - nguyên lí cho rằng một cái gì đó là A trong bối cảnh này có thể trở thành không-A trong bối cảnh khác. Thay vì tuân thủ một logic máy móc buộc con người phải tiến từ dòng này qua dòng khác, logic lượng tử lại mời chúng ta đi ngược lại và đặt câu hỏi, “trong bối cảnh nảo thì cái logic này hoạt động?”.

Chủ nghĩa logic độc đoán là một dạng của sự đối đầu mà trong đó không có mảnh đất trung gian. Đó là logic theo luật bài trung[14]. Đó là logic của kẻ thắng người thua. Đó là một cuộc chơi ngả bài trong đó hoặc chúng ta thắng, sao cho đối phương phải làm theo sự đặt giá của chúng ta, hoặc chúng ta thua mất mặt và mất hết uy quyền. Sẽ tốt hơn nhiều nếu mỗi tiếng nói đều được lắng nghe và mỗi vị trí đều được tôn trọng, khi mọi người đều có một đóng góp sáng tạo và cảm thấy người này hoặc người kia gặt hái được cái gì đó mà không đánh bại ai. Làm thế nào để một “hành động đúng đắn” tránh được sự tức giận và xung đột? Đây không phải là sự thoả hiệp, theo nghĩa là rút lui nhường bước, mà là tạo ra một khuôn khổ đủ mềm dẻo mà trong đó mỗi người có thể thể hiện vai trò của mình và hành động theo một phương cách lịch thiệp cao quý.

Giai đoạn cuối thế kỉ 20 đã chứng kiến sự thất bại của nhiều chương trình kế hoạch khổng lồ. Chúng ta đang làm xanh thế giới và khám phá những nguồn năng lượng phong phú. Lấy ví dụ như trong dự án James Bay, người ta định phát triển thuỷ điện với quy mô ồ ạt trong những vùng mở rộng của khu vực Bắc Quebec. Nhưng chỉ sau khi có những phản đối được xem xét - những phản đối nói rằng vùng đất nguyên sơ này vốn là môi trường nuôi dưỡng những đàn tuần lộc caribou và cũng là môi trường sống và môi trường văn hoá của người bản địa Cree - thì những phần tham vọng nhất của dự án này mới bị đình chỉ.

Những dự án đồ sộ kiểu như thế đã nhiều lần thể hiện tính thiếu nhạy cảm đối với bối cảnh địa phương. Như một thứ thuốc giải độc, các nhà bảo vệ môi trường đà nêu ra khẩu hiệu: “Hành động cục bộ, Tư duy toàn bộ.” Bất kì chương trình nào cũng được hỏi: Điều này liên hệ như thế nào với toàn thể thế giới? Nó sẽ va chạm với từng cộng đồng nhỏ và hệ thống sinh thái như thế nào?

Chẳng hạn, chúng ta hãy xét khái niệm “vùng”. Các nhà chính trị vẽ ra một đường khoanh vùng trên bản đồ rồi gọi đó là một quốc gia hay một tỉnh, một hạt, hay một vùng. Nhưng chúng ta có thể xác định một vùng theo nhiều cách khác nhau: bằng giọng nói của cư dân ở đó; bằng mạng lưới nối kết các dòng họ; bằng kiểu công việc được làm ở đó; bằng lưu vực sông ngòi; bằng các dãy núi; các con sông, hoặc đường bờ biển; bằng sự lưu thông báo chí; bằng các nhóm tôn giáo và các hội đoàn; bằng các lễ hội hằng năm; và bằng các hình thức buôn bán, du lịch, hoặc định cư. Cuối cùng, người ta không xác định vùng bởi một lí do duy nhất, mà bởi một sự kêt hợp đa dạng các bản đồ chồng chất lên nhau. Khái niệm vùng và lãnh thổ phụ thuộc vào nhiều bối cảnh cụ thể. Để xem xét một khái niệm phức tạp như thế đòi hỏi phải có một phương pháp tư duy uyển chuyển và phụ thuộc vào bối cảnh cụ thể, mà điều này lại không quen thuộc với hầu hết các nhà chính trị.

Đồng thời với hành động mang tính cục bộ, chúng ta nên xem xét viễn cảnh toàn cục. Lưu vực sông Amazon không bó gọn trong một nước. Những cánh rừng mưa nhiệt đới của nó có ảnh hưởng tới toàn cầu. Con sông Rio Grande không tôn trọng các biên giới quốc gia; không gây nên mưa axit, không tạo nên các dòng chảy đại dương, không tạo nên dioxide carbon, không tạo ra gió ô nhiễm, không nóng lên toàn cầu hoặc phá huỷ tầng ozone.

Định lí Gödel có thể là một đòn làm choáng váng các nhà toán học, nhưng nó chứa đựng một bài học sâu sắc đối với tất cả chúng ta. Chúng ta đã quá tự phụ về sức mạnh lí lẽ của con người để tạo dựng nên những toà tháp lí luận rộng lớn không gì có thể xuyên qua, những hệ thống logic hoàn hảo không mắc lỗi, và những vòm trí tuệ bao trùm lên hết thảy. Nhưng Gödel đã vạch ra những sai sót tiềm ẩn trong giấc mơ này và chỉ ra rằng những kế hoạch bao trùm lên hết thảy có thể chứa đựng mâu thuẫn không thể lường trước được - bất kể chúng ta cố gắng nỗ lực đến chừng nào để hiểu biết sự vật, vẫn sẽ có những kiến thức bị bỏ sót. Phép ẩn dụ của định lí Gödel có thể áp dụng cho mọi thứ chúng ta làm; do đó, nếu chúng ta muốn thiên niên kỉ mới là một thiên niên kỉ sáng tạo thì chúng ta phải học cách tư duy kiểu mới, uyển chuyển và rộng mở hơn trước đây. Thay vì gắn bó với các tổ chức gò bó theo công thức và tôn ti chật hẹp, chúng ta nên hướng tới những hệ thống tự tổ chức mang tính hữu cơ và rộng mở trong tự nhiên, những hệ thống sản sinh ra những hệ logic và những mối liên kết nội tại của chính nó, thích hợp với từng hoàn cảnh cụ thể.

❀ ❀ ❀

[1] Hans-Eberhard Dentier. L’Arte della Fuga di Johann Sebastian Bach: n opera pitagorica e la sua realizzazione (Milan: Skira, 2000).

[2] Frederick Copleston trích lời Russell. Xem The History of Philosophy, Tập 8: Bentham to Russell (New York: Bantam, Doubleday Bell, 1985).

[3] James Jeans, The Mysterious Universe (Cambridge: Cambridge University Press, 1930).

[4] Tên một nhân vật hư cấu - nhà độc tài - trong tiểu thuyết 1984 của Orwell (ND).

[5] Các nhà toán học nói rằng trong trường hợp này, tập hợp các phân số và tập hợp số nguyên có cùng lực lượng, hoặc lực lượng như nhau (ND).

[6] “A number is anything which is the number of some class”. Bertrand Russell. Introduction of Mathematical Philosophy (Fairlawn, N. J.: Macmillan, 1955).

[7] First International Congress of Philosophy (ND).

[8] Nguyên văn: “sweeping the problem under the carpet” (quét vấn đề xuống dưới tấm thảm), ý nói tảng lờ một vấn đề tồn tại chưa giải quyết được bằng cách coi như không có nó (ND).

[9] Một thuật toán là “một tập hợp các quy tắc được xác định rõ ràng để giải một bài toán trong một số bước hữu hạn” (McGraw-Hill Dictionary of Physics and Mathematics. New York: McGraw-Hill,1978); hoặc, nói cách khác, một thực đơn để giải một bài toán toán hoc.

[10] Fractal là cấu trúc hình thành theo sự lặp đi lặp lại một mô hình cơ bản theo quy mô nhỏ dần và quá trình này có thể kéo dài vô tận. Chẳng hạn như cây đâm cành, cành đâm nhánh, nhánh đâm lá, cuống lá chia thành những gân lá. cấu trúc fractal không chỉ phổ biến trong tự nhiên mà còn có mặt trong cả những cấu trúc xã hội (ND).

[11] Nguyên văn: “system of self-referential”, chỉ một hệ thống logic tự nói về bản thân mình (ND).

[12] Toàn bộ những phân tích xã hội, tâm lí và lịch sử trong mục này dường như ám chỉ Chủ nghĩa Đức quốc xã (ND).

[13] Nguyên văn: “bookkeeping”, có nghĩa là kế toán. Trong ngữ cảnh này nên hiểu là bệnh sổ sách, bệnh sách vở, bệnh lí luận chữ nghĩa, cũng gần như bệnh quan liêu (ND).

[14] Luật bài trung (The law of the excluded middle): Aristotle là nhà triết học chủ yếu thiết lập nên logic dựa trên một cơ sở vững chắc bằng cách chỉ ra những phương pháp trong đó tam đoạn luận (syllogism, tập hợp các bước lập luận nối kết với nhau một cách logic) được sử dụng để tạo ra những lập luận chặt chẽ. Chẳng hạn, ông chứng minh rằng nếu cả A và B đều liên hệ với C thì ắt là A và B cũng liên hệ với nhau. Ví dụ: Giả thiết chính: Mọi con chó (C) đều có bốn chân (A) Giả thiết phụ: Spot (B) là một con chó (C) Kết luận: Do đó, Spot (B) có bốn chân (A). Nhưng Aristotle băn khoăn về những mệnh đề đề cập tới tương lai. Một ví dụ nổi tiếng là mệnh đề “Ngày mai sẽ có một trận đánh trên biển”. Nhưng khi xét tới viễn cảnh ngày mai, không ai biết liệu chắc chấn sẽ có một trận đánh hay không, vậy làm thế nào để sử dụng mệnh đề này trong logic? Aristotle đề nghị ít nhất chúng ta có thể nói một cách chắc chắn điều sau đây: “Chắc chắn ngày mai sẽ có một trận đánh hoặc không có”. Theo mạch suy nghĩ này, Aristotle khẳng định: “Đối với bất kì mệnh đề P nào, hoặc p đúng, hoặc không-P đúng”. Nói cách khác, bất kì cách phát biểu hoặc mệnh đề nào ở giữa hoặc trung gian đều bị loại trừ và không có sự thiếu rõ ràng nào có mặt trong logic. Luật bài trung này đá bị các nhà logic hiện đại phê bình rất nhiều, và nhiều dạng logic mới đã được nêu lên: logic ba-giá trị (three-value logic), logic dựa trên các định luật xác suất, logic-phụ thuộc vào bối cảnh cụ thể (context-depended logic), v.v. Rõ ràng là mệnh đề sau đây, “Chắc chắn electron là một sóng hoặc không phải là sóng (nghĩa là hạt)”, không thể áp dụng được ở cấp độ lượng tử.