Khoảng đầu năm nay, trước khi Lục Chu chưa kéo Trần Dương từ Trung tâm Toán học Đại học Yên Kinh sang, vị giáo sư Trần này đã bắt đầu nghiên cứu Giả thuyết Hodge rồi.

Lục Chu vẫn nhớ rõ, lúc ấy cậu đang nghiên cứu phương pháp phân tích đường cong siêu elip của mình trên bảng đen, hơn nữa còn dùng một phương pháp vô cùng khéo léo, sau khi cải tiến công cụ toán học vốn được thiết kế cho giả thuyết Quasi-Riemann này, đã trực tiếp ứng dụng nó vào việc nghiên cứu các vấn đề liên quan hình học được biểu diễn bởi phương trình đa thức của tập con định nghĩa và topo đại số của đa tạp đại số phức phi kỳ dị.

Lúc trước cũng chính vì thao tác đẹp đẽ này, đã khiến Lục Chu không kìm được lòng yêu tài, kéo anh ta từ Trung tâm Toán học Đại học Yên Kinh sang bên Kim Lăng này.

Bây giờ đã trôi qua gần một năm, đề tài về Giả thuyết Hodge vẫn không có chút tiến triển nào, lại thêm khoảng thời gian trước vẫn luôn bận rộn chuyện lý thuyết thống nhất hình học đại số, đến mức Lục Chu suýt thì quên mất chuyện này.

"Đi thôi, qua văn phòng của tôi nói."

Dẫn Trần Dương đến văn phòng của mình, Lục Chu tự mình ra góc tường kéo giúp anh ta một chiếc bảng trắng, đồng thời đưa bút dạ của mình vào tay anh ta.

Không lãng phí thời gian vào những lời khách sáo, sau khi nhận lấy bút, Trần Dương đứng trước bảng trắng trầm tư chốc lát, đầu tiên tiện tay vẽ một vòng tròn trên bảng trắng, sau đó đánh dấu s ở bên cạnh, và viết một dòng biểu thức.

"...Đối với mặt phẳng compact không biên s, độ cong Gauss k của nó có thể được tích phân trên toàn bộ mặt phẳng."

Vừa viết, Trần Dương vừa tiếp tục nói.

"Điều ai cũng biết là, một mặt phẳng chưa chắc chỉ chứa một độ đo, cho nên tôi đã thử thay đổi độ đo của s. Sau khi thay đổi độ đo, độ cong Gauss k tương ứng đồng thời cũng sẽ thay đổi theo, thế nhưng giá trị tích phân lại không liên quan gì đến độ đo của mặt phẳng, mà chỉ liên quan đến số đặc trưng Euler \(\chi(s)\) của mặt phẳng, lợi dụng tính chất này, chúng ta có thể..."

Nhìn công thức trên bảng trắng, lông mày Lục Chu khẽ nhấc lên, hứng thú nói.

"Công thức Gauss-Bonnet?"

Cây bút trong tay khựng lại, Trần Dương gật đầu nói.

"Chính xác."

Nói xong, anh ta liền viết công thức Gauss-Bonnet lên.

Nhìn nét bút điểm xuyết thêm hoa cho bức tranh này, vẻ mặt hứng thú trên mặt Lục Chu ngày càng nồng đậm.

Trên thực tế, cậu đại khái đã đoán được Trần Dương tính làm gì rồi.

Dựa theo tính chất của đa tạp Riemann chiều cao M, độ cong Gauss có thể được tổng quát hóa thành độ cong thiết diện, giá trị của nó có thể được quyết định bởi ten-sơ độ cong Riemann. Còn về hàm dưới dấu tích phân của nó, thì là một biểu thức đại số rất phức tạp được cấu thành từ ten-sơ độ cong, tức là hàm dưới dấu tích phân Gauss-Bonnet.

Còn về tích phân của nó trên toàn bộ đa tạp, thì do số đặc trưng Euler \(\chi(m)\) của đa tạp này quyết định.

Lợi dụng những tính chất này, là có thể tổng quát hóa lý thuyết Hodge vào trong đa tạp không compact đầy đủ.

Những ý nghĩa toán học sâu sắc này, là do Giáo sư Trần Tỉnh Thân thu được, cũng chính là hàm nghĩa toán học trong công thức Gauss–Bonnet–Chern nổi tiếng.

Lại kết hợp với phương pháp đối đồng điều $l^2$ của Ngài Atiyah, tiếp tục đi dọc theo hướng đi này, nói không chừng thật sự có thể chứng minh được giả thuyết này ra đấy.

Đương nhiên, cụ thể nên chứng minh thế nào, vẫn cần nghiên cứu sâu thêm một bước.

Nghĩ đến đây, Lục Chu tán thưởng gật đầu.

Hay quá.

Quả thực là quá hay.

Không biết từ lúc nào, phía sau Trần Dương đã đứng một vòng người.

Ngay từ lúc anh ta vừa mới viết bảng, những người trong văn phòng đã chú ý tới bên này.

Nhìn chằm chằm công thức trên bảng trắng, hai mắt Quý Mặc sáng rực lên, kích động nhỏ giọng nói: "Cái này, chẳng lẽ là..."

Thấy sư đệ của mình nói chuyện lại chỉ nói nửa câu, Hà Xương Văn nhíu mày, thấp giọng nói: "Rốt cuộc là cái gì, đừng thừa nước đục thả câu nữa."

Quý Mặc kỳ lạ nhìn anh ta một cái.

"Giả thuyết Hodge chứ sao! Rõ ràng thế cơ mà."

Hà Xương Văn: "..."

Cái khỉ khô gì mà rõ ràng chứ?!

Nhưng nhìn kỹ lại, hình như đúng là như vậy.

Nghĩ đến đây, Hà Xương Văn không khỏi tự an ủi mình một câu trong lòng.

Ừm, nếu như xem xét kỹ lưỡng, hình như anh ta cũng có thể nhìn ra được.

Cây bút trên bảng trắng dừng lại, Trần Dương rơi vào trầm tư.

Hiển nhiên, hướng đi này anh ta mới đi được một nửa, phía sau nên đi thế nào thì vẫn chưa có ý tưởng gì hay.

Không biết đến văn phòng từ lúc nào, Giáo sư Perelman vẫn luôn đứng bên cạnh trầm mặc không nói, đột nhiên lên tiếng nói.

-"Hướng đi này trông có vẻ thú vị đấy."

Quay đầu nhìn về phía Giáo sư Perelman, Trần Dương ngẩn ra nhẹ nhàng, có chút bất ngờ nói.

"Anh đến đây từ lúc nào thế?"

-"Đại khái lúc cậu viết được một nửa... Vốn dĩ tôi đến tìm Giáo sư Lục, không ngờ ở đây lại có thu hoạch bất ngờ," dừng một chút, Perelman nói tiếp, "chiếc bút này cho tôi dùng một chút được không?"

Không có bất kỳ sự do dự nào, Trần Dương dứt khoát nhường cây bút dạ trong tay ra.

Nhận lấy bút từ tay Giáo sư Trần, Perelman đứng trước bảng trắng trầm tư chốc lát, sau đó cách bên dưới công thức của anh ta mấy dòng, tiếp tục viết lên.

"Đã có lý thuyết thống nhất hình học đại số sẵn có để ứng dụng, chứng minh của thức (3) tôi xin phép bỏ qua."

"...Đề xuất của tôi là, đối với phần chứng minh tiếp theo, chúng ta có thể nâng vấn đề đa tạp compact M lên đa tạp phủ phổ quát của nó, thu được đa tạp không compact đầy đủ \(\tilde{M}\)."

"Dựa theo định lý của Atiyah, nếu như chúng ta có thể chứng minh được dưới điều kiện độ cong thiết diện rằng trừ nhóm đối đồng điều $l^2$ ở giữa ra thì tất cả đều bằng không..."

Nói xong, cây bút trong tay anh khẽ run lên, nhanh chóng viết ra một dòng công thức súc tích mà tao nhã.

[H^n(\tilde{M}) \neq \{0\}, và khi q \neq n, H^q(\tilde{M}) = \{0\}]

Khoảnh khắc nhìn thấy dòng công thức này, đồng tử của Trần Dương hơi co rút lại.

Vẻ mặt trên mặt thoáng hiện lên một tia thông suốt, anh đè nén ngữ khí kích động nói.

"...Chúng ta có thể thu được chứng minh của Giả thuyết Hodge!"

Vậy vấn đề đặt ra là.

Làm thế nào để chứng minh, dưới điều kiện độ cong thiết diện, trừ nhóm đối đồng điều $l^2$ ở giữa ra thì tất cả đều bằng không?

Cuộc đối thoại đến đây bỗng nhiên ngắt quãng.

Sau sự phấn khích ngắn ngủi, hai người đồng thời rơi vào trầm mặc.

Cuối cùng, lại đồng thời nhìn về phía Lục Chu.

Chú ý tới hai người nhìn mình, Lục Chu từ đầu đến cuối không nói một câu nào bỗng nhiên chớp chớp mắt, cười nói.

"Tôi cảm thấy ý tưởng của hai người đều không tệ... Mặc dù tôi chưa nghiên cứu kỹ đề tài này, nhưng trực giác bảo tôi cứ đi theo con đường này tiếp, tám phần là sẽ có thu hoạch đấy."

Đừng lại một lúc, cậu nói tiếp.

"Ý tưởng này rất thú vị, đề xuất của tôi là, chi bằng hai người cùng nhau nghiên cứu đề tài này đi."

Luôn cảm giác Lục Chu hình như đã nhìn ra cái gì đó, thế nhưng lại không nói rõ ràng mọi chuyện ra.

Perelman nhíu mày, do dự hỏi.

-"Cậu không tham gia à? Đây chính là một bài toán khó rất thú vị đấy."

Đâu chỉ là thú vị.

Giả thuyết Hodge có thể nói là sự thể hiện tập trung của các đặc trưng trừu tượng trong sự phát triển của toán học hiện đại, nghiên cứu chính là mối liên hệ nội tại giữa ba nhánh lớn của toán học là giải tích, topo, hình học đại số.

Còn về độ khó, là một trong những bài toán thiên niên kỷ của nó, đương nhiên là không cần phải nghi ngờ rồi.

Điều khiến Perelman ngạc nhiên là, Lục Chu vậy mà không hề tỏ ra hứng thú mãnh liệt lắm.

Lục Chu: "...Mặc dù tôi rất có hứng thú, nhưng bên IMCRC vẫn còn một đống chuyện đang chờ tôi giải quyết, e rằng gần đây tôi không có thêm thời gian để phân bổ cho bên toán học nữa rồi."

Nghe thấy tin tức này, trên mặt Perelman lộ ra vẻ mặt tiếc nuối.

-"Vậy thì đáng tiếc quá."

"Mặc dù tôi e rằng không rút ra được thời gian giúp đỡ, nhưng tôi long trọng giới thiệu với anh Giáo sư Trần," vỗ vỗ bả vai Trần Dương, Lục Chu cười nói, "Anh ấy là một học giả xuất sắc, về năng lực của anh ấy, tin chắc anh cũng hiểu rõ, tôi không khoác lác nữa. Tóm lại, nếu hai người hợp tác, tôi tin chắc nhất định có thể giải quyết được vấn đề này."

Mặc dù hoài nghi đối với kiểu khẳng định tuyệt đối này, nhưng nhìn lướt qua Giáo sư Trần, Perelman cũng không nói gì, chỉ gật đầu một cái, nhìn dáng vẻ thì đã công nhận người đối tác này rồi.

Cả hai người đều là kiểu người ít nói, cũng không có quá nhiều sự giao lưu.

Sau khi Lục Chu hắng giọng một cái, nhìn Perelman nói tiếp.

"Nhắc mới nhớ, anh tiếp tục ở lại bên này không có vấn đề gì chứ? Lý thuyết thống nhất giữa đại số và hình học đã hoàn thành rồi."

-"Không có vấn đề gì," Perelman lắc đầu, "Tôi và mẹ đã gọi điện thoại rồi, bà bảo tôi làm chuyện mình muốn làm, không cần quá để ý đến bên đó. Tôi quả thực vẫn còn chuyện muốn làm chưa hoàn thành, tôi định ở lại đây... thêm một thời gian nữa, giải quyết xong Giả thuyết Hodge rồi mới về."

Mặc dù rất bất ngờ khi Giáo sư Perelman vậy mà lại chọn ở lại, nhưng chuyện tốt thế này Lục Chu đương nhiên sẽ không từ chối, ngay lập tức cười nói.

-"Vậy anh vẫn ở căn hộ ban nãy đi, tôi sẽ giúp anh làm thủ tục kéo dài thời gian sử dụng căn hộ."

Perelman gật đầu, cảm ơn nói.

-"Làm phiền cậu rồi."