Vật lý trở thành Vua: Helmholtz, Clausius, Boltzmann, Riemann

F hoặc cả năm, bắt đầu từ tháng 2 năm 1840, Julius Robert von Mayer (1814–78) phục vụ với tư cách là bác sĩ trên tàu trên một thương nhân Hà Lan đến Đông Ấn. 1 Là con trai của một nhà bào chế thuốc ở Heilbronn, Württemberg, Mayer tốt nghiệp ngành y tại Đại học Tübingen năm 1838 và nhập ngũ làm bác sĩ tàu biển cho Công ty Đông Ấn Hà Lan. 2 Trong một lần dừng chân ở Djakarta vào mùa hè năm 1840, ông đã đưa ra quan sát nổi tiếng nhất của mình. Theo cách thức trong ngày, anh ta đã làm đổ máu một số thủy thủ châu Âu mới đến Java. Anh ấy ngạc nhiên về màu đỏ của máu họ và suy luận rằng nó có màu sặc sỡ hơn bình thường do nhiệt độ cao ở Indonesia, điều đó có nghĩa là cơ thể của các thủy thủ cần tốc độ hoạt động trao đổi chất thấp hơn để duy trì nhiệt độ cơ thể. Cơ thể của họ đã lấy ít oxy hơn từ máu động mạch, khiến máu tĩnh mạch trở về có màu đỏ hơn bình thường.

Mayer bị ấn tượng bởi quan sát này bởi vì đối với ông nó dường như là bằng chứng hiển nhiên cho lý thuyết của Justus von Liebig rằng nhiệt ở động vật được tạo ra bởi quá trình đốt cháy—oxy hóa—của các chất hóa học trong thức ăn mà cơ thể hấp thụ. Trên thực tế, anh ta đang quan sát thấy “lực” hóa học (như thuật ngữ này được sử dụng sau đó), tiềm ẩn trong thực phẩm, đang được chuyển hóa thành nhiệt (cơ thể). Vì “lực” duy nhất đi vào động vật là thức ăn của chúng—nhiên liệu của chúng—và dạng lực duy nhất mà chúng thể hiện là hoạt động và nhiệt, nên hai lực này phải luôn—theo định nghĩa—cân bằng.

Ban đầu, Mayer đã cố gắng xuất bản tác phẩm của mình trên tờ Annalen der Physik und Chemie danh tiếng , do Johann Christian Poggendorff biên tập, nhưng đã bị từ chối. 3 Tác phẩm xuất bản đầu tiên của ông, “Bemerkungen über die Kräfte der unbelebten Natur” (“Nhận xét về các lực của tự nhiên vô tri”), do đó đã được xuất bản trong Annalen der Chemie und Pharmacie năm 1842, và chính tại đây ông đã tranh luận về mối quan hệ giữa chuyển động và nhiệt, rằng “chuyển động và nhiệt chỉ là những biểu hiện khác nhau của một và cùng một lực [mà phải] có thể chuyển đổi và biến đổi thành một lực khác.” Những ý tưởng của Mayer không có nhiều ảnh hưởng vào thời điểm đó, mặc dù có lẽ người biên tập Annalen der Chemie und Pharmacie , không ai khác ngoài Justus von Liebig, cho rằng chúng đáng để in. 4

Câu chuyện của Julius Mayer gọn gàng. Tuy nhiên, nhà sử học khoa học Thomas Kuhn đã chỉ ra rằng từ năm 1842 đến năm 1854, không ít hơn mười hai nhà khoa học đã đi đến một phiên bản nào đó của ý tưởng được gọi là “sự bảo toàn năng lượng”. Từ “năng lượng” mới xuất hiện vào giữa thế kỷ 20, nhưng đến năm 1900, toàn bộ vật lý học sẽ xoay quanh khái niệm này. 5 Kuhn chỉ ra rằng, trong số mười hai người tiên phong này, năm người đến từ Đức, một người đến từ Alsace và một người đến từ Đan Mạch, những khu vực chịu ảnh hưởng của Đức. Ông cho rằng ưu thế này của người Đức là do “nhiều người trong số những người khám phá ra sự bảo toàn năng lượng có khuynh hướng sâu sắc là nhìn thấy một lực không thể phá hủy duy nhất là gốc rễ của mọi hiện tượng tự nhiên.” Ông gợi ý rằng ý tưởng gốc rễ này có thể được tìm thấy trong tài liệu của Naturphilosophie . “Ví dụ, Schelling [và đặc biệt] khẳng định rằng các hiện tượng từ tính, điện, hóa học và thậm chí cả hữu cơ sẽ được đan xen vào nhau thành một mối liên hệ tuyệt vời.” 6 Von Liebig học hai năm với Schelling.

MỘT SỰ PHÁT TRIỂN CỦA P VẬT LÝ NHƯ W E K NGAY BÂY GIỜ

Đối với vật lý học, nửa đầu thế kỷ 19 đã chứng kiến một số thay đổi quan trọng trong cách tiếp cận và thậm chí cả từ vựng, những thay đổi phản ánh bản chất phát triển của vật lý học. Ví dụ, vào cuối thế kỷ 18, thuật ngữ “vật lý” được dùng để chỉ các ngành khoa học tự nhiên nói chung. Vào đầu thế kỷ 19, cùng một từ có nghĩa là nghiên cứu về cơ học, điện và quang học, thường sử dụng phương pháp toán học và/hoặc thực nghiệm. 7 Vào giữa thế kỷ này, “đã xuất hiện một ngành khoa học vật lý đặc biệt lấy việc định lượng và tìm kiếm các định luật toán học làm mục tiêu phổ quát của nó.” Ví dụ, vào năm 1824, người phụ trách của Đại học Heidelberg đã đề xuất thành lập một “hội thảo toán học” ở đó, để được mô phỏng theo các hội thảo ngày càng thành công về ngữ văn mà, như chúng ta đã thấy, được cho là đã cải thiện nền giáo dục cổ điển của Đức. Các trường đại học khác theo sau. 8 Moritz Stern, giáo sư toán học phi thường tại Göttingen, cũng kêu gọi nhiều điều tương tự, trong khi Hiệp hội Vật lý Berlin được thành lập năm 1845.9

Nghiên cứu, như đã lưu ý, bắt đầu có được uy tín lớn hơn, và vật lý không khác gì các ngành khác. Annalen der Physik ngày càng dành nhiều trang cho nghiên cứu của các nhà khoa học Đức và ít hơn cho việc dịch các bài báo từ các tạp chí nước ngoài. Được thành lập vào năm 1790, bản thân Annalen đã là một dấu hiệu của những thay đổi đang diễn ra: đến những năm 1840, nó là tạp chí vật lý quan trọng nhất của Đức, mặc dù nhiều tạp chí mới đã nở rộ trong thập kỷ đó, cũng như nhiều thiết bị y tế mới bắt đầu được giới thiệu. Johann Christian Poggendorff, biên tập viên của Annalen từ năm 1824, có thể tạo nên hoặc phá vỡ sự nghiệp khoa học. 10 Poggendorff đã biên tập Annalen cho đến khi ông qua đời vào năm 1877, khi tính ưu việt của nó đã được đảm bảo đến mức Hiệp hội Vật lý Berlin đã tiếp quản nó, với Gustav Wiedemann là người biên tập, và Hermann von Helmholtz là cố vấn về các vấn đề lý thuyết. Trong vật lý, một sự phân công lao động rõ ràng đã xuất hiện giữa người thực nghiệm và nhà lý thuyết. Vào những năm 1860 hoặc 1870, nghiên cứu vật lý, bao gồm cả vật lý lý thuyết, được coi là mục đích tự thân chứ không chỉ là một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy: bắt đầu từ những năm 1870, các chức danh giáo sư vật lý lý thuyết đã được thành lập tại một số trường đại học Đức. Mary Jo Nye đã theo dõi các tổ chức này, đặc biệt là Physikalisch-Technische Reichsanstalt (PTR) tại Berlin-Charlottenburg và tính toán rằng 800 nhà vật lý và hóa học từ Anh và Bắc Mỹ đã lấy bằng tiến sĩ ở Đức trong thế kỷ 19 và 39 nhà khoa học quan trọng của Anh chịu ảnh hưởng của Đức. 11 Cũng vì lý do đó, các phòng thí nghiệm mới đã được xây dựng trên khắp châu Âu, khác với những phòng thí nghiệm trước đó về loại cũng như số lượng, không còn đơn thuần là công cụ hỗ trợ giảng dạy mà là không gian dành cho nghiên cứu theo đúng nghĩa của chúng. “Thí nghiệm ngày càng giống như chìa khóa để mở ra những bí mật của tự nhiên.” 12

Chính trong phòng thí nghiệm, ngày càng có nhiều nhà thí nghiệm tìm cách biến một loại lực này thành một loại lực khác. Đặc biệt, đối với các nhà triết học tự nhiên Lãng mạn, như Kuhn đã nói, những “trường hợp sinh sôi nảy nở” này của sự chuyển đổi bề ngoài của một loại lực thành một loại lực khác dường như khẳng định sự thống nhất cơ bản của tự nhiên – chúng có thể hoán đổi lẫn nhau bởi vì chúng là những biểu hiện khác nhau của cùng một cơ sở. sức mạnh. Đồng thời, những người theo chủ nghĩa thực dụng đã nhìn thấy những khả năng kinh tế trong những biến đổi này. Công nghệ chụp ảnh mới sử dụng ánh sáng để tạo ra các phản ứng hóa học. Cọc volta dường như biến các lực hóa học thành điện năng, một mối quan tâm chính trong các xã hội công nghiệp hóa và đô thị hóa. Trên hết là động cơ hơi nước, một loại máy sản xuất lực cơ học từ nhiệt. 13

T HE D KHÁM PHÁ /I NIỆM VỀ NĂNG LƯỢNG ĐIỆN TỬ

Vào thế kỷ thứ mười tám, nhiệt và điện đã được giải thích bằng cách giả sử rằng có “các chất lỏng và ê te không thể tính được” tương tác với các nguyên tử của vật chất thông thường. Năm 1812, Học viện ở Paris tuyên bố sẽ trao giải Grand Prix des Mathématiques cho bất kỳ ai có thể chứng minh nhiệt truyền qua vật chất như thế nào. 14 Lý thuyết toán học về nhiệt của Joseph Fourier, xuất bản năm 1822, đã kết hợp nhiệt và toán học lại với nhau, trong khi các thí nghiệm của James Prescott Joule vào năm 1843 đã thiết lập sự tương đương giữa nhiệt và công cơ học. Hai năm sau, Julius Mayer công bố những quan sát của mình về nhiệt độ cơ thể và màu máu.

Với nhận thức muộn màng, mọi thứ có thể được coi là hướng tới lý thuyết bảo toàn năng lượng, nhưng nó vẫn cần ai đó trình bày những ý tưởng này một cách rõ ràng; điều đó xảy ra trong cuốn hồi ký nổi tiếng năm 1847 của Hermann von Helmholtz (1821–94). Trong Bàn về sự bảo toàn lực , ông đã đưa ra công thức toán học cần thiết, liên kết nhiệt, ánh sáng, điện và từ bằng cách coi những hiện tượng này là những biểu hiện khác nhau của “năng lượng”. 15

Là con trai của một giáo viên thể dục người Phổ, Helmholtz theo học y khoa tại Đại học Berlin, được tài trợ bởi học bổng của quân đội Phổ. Đổi lại, ông phục vụ với tư cách là một sĩ quan y tế trước khi trở thành phó giáo sư sinh lý học tại Đại học Königsberg vào năm 1849. 16 Bài tiểu luận năm 1847 của Helmholtz được xuất bản riêng dưới dạng một cuốn sách nhỏ. Giống như Mayer, ông đã gửi bài báo của mình cho Poggendorff tại Annalen der Physik nhưng bị từ chối. Tất cả các công bố về sinh lý học trước đây của Helmholtz đều được thiết kế để chỉ ra cách nhiệt của cơ thể động vật và hoạt động thể nhầy của chúng có thể bắt nguồn từ quá trình oxy hóa thức ăn - rằng động cơ của con người có chút khác biệt so với động cơ hơi nước. Ông không nghĩ rằng có những lực hoàn toàn đặc biệt đối với các sinh vật sống mà thay vào đó, sự sống hữu cơ là kết quả của các lực là “sự biến đổi” của những lực hoạt động trong lĩnh vực vô cơ. 17 Trong vũ trụ thuần cơ học do Helmholtz hình dung, có một mối liên hệ rõ ràng giữa hoạt động của con người và máy móc. 18

Trong khi Mayer và Helmholtz, là bác sĩ, đến với khoa học công việc thông qua sinh lý học, thì người đồng hương người Phổ của Helmholtz là Rudolf Clausius đã tiếp cận hiện tượng này, giống như những người Anh và Pháp đương thời của ông, thông qua động cơ hơi nước phổ biến. Không giống như Mayer và Helmholtz, Clausius đã thành công trong việc có bài báo quan trọng đầu tiên của mình, “Về lực di chuyển của nhiệt và các định luật về bản chất của nhiệt có thể suy ra từ đó,” được Annalen chấp nhận ; nó xuất hiện vào năm 1850. 19 Clausius (1822–88) sinh ra ở Köslin ở Pomerania và là con trai khác của một mục sư. Từ Gymnasium, anh đến Đại học Berlin, nơi ban đầu anh bị thu hút bởi lịch sử (theo học Ranke), nhưng sau đó chuyển sang toán học và vật lý. Năm 1846, hai năm sau khi tốt nghiệp tại Berlin, Clausius tham gia hội thảo của Boeckh tại Halle và nghiên cứu giải thích màu xanh của bầu trời. Tầm quan trọng của bài báo năm 1850 của ông ngay lập tức được công nhận và nhờ sức mạnh của nó, ông được mời trở thành giáo sư tại Trường Kỹ thuật và Pháo binh Hoàng gia ở Berlin, sau đó chuyển sang làm giáo sư vật lý toán học tại Zurich. 20

Trong bài báo nổi tiếng của mình, Clausius lập luận rằng việc tạo ra công việc không chỉ là kết quả của sự thay đổi trong sự phân bố nhiệt, như Sadi Carnot—nhà vật lý và kỹ sư quân sự người Pháp—đã lập luận, mà còn từ sự tiêu thụ nhiệt, và nhiệt đó có thể là được tạo ra bởi “chi phí” của công việc. “Hoàn toàn có thể,” ông viết, “rằng trong quá trình sản xuất ra công việc… một phần nhiệt nhất định có thể bị tiêu hao, và một phần nữa được truyền từ vật nóng sang vật lạnh: và cả hai phần có thể đứng ở một mức nhất định nào đó. liên quan đến số lượng công việc được sản xuất.” Khi làm điều này, ông đã phát biểu hai nguyên tắc cơ bản, sau này được gọi là định luật thứ nhất và thứ hai của nhiệt động lực học. 21

Định luật đầu tiên có thể được minh họa bằng cách sau này nó được dạy cho Max Planck, người mà vào đầu thế kỷ 20 đã xây dựng dựa trên công trình của Clausius. Hãy tưởng tượng một công nhân đang nâng một tảng đá nặng lên mái nhà. Viên đá sẽ giữ nguyên vị trí trong một thời gian dài sau khi bị bỏ lại ở đó, tích trữ năng lượng cho đến một thời điểm nào đó trong tương lai nó sẽ rơi trở lại trái đất. Năng lượng, theo định luật đầu tiên, không thể được tạo ra cũng như không bị phá hủy. Tuy nhiên, Clausius đã chỉ ra trong định luật thứ hai của mình rằng định luật thứ nhất không đưa ra bức tranh tổng thể. Trong ví dụ đã cho, năng lượng được tiêu hao bởi người công nhân khi anh ta nhấc viên đá vào vị trí và bị tiêu hao trong nỗ lực dưới dạng nhiệt, cùng với những thứ khác khiến người công nhân đổ mồ hôi. Ông nói, sự tiêu tán này, mà Clausius gọi là “entropy”, có tầm quan trọng cơ bản bởi vì mặc dù nó không biến mất khỏi vũ trụ, nhưng năng lượng này không bao giờ có thể được phục hồi ở dạng ban đầu. Do đó, Clausius kết luận rằng thế giới (và vũ trụ) phải luôn có xu hướng gia tăng sự hỗn loạn, phải luôn tăng thêm entropy của nó.

Clausius không ngừng hoàn thiện các lý thuyết về nhiệt của mình, trong quá trình này ông trở nên quan tâm đến lý thuyết động học của chất khí, đặc biệt là quan điểm cho rằng các tính chất quy mô lớn của chất khí là một chức năng của các chuyển động quy mô nhỏ của các hạt hoặc phân tử. chứa khí. Ông nghĩ rằng nhiệt là một chức năng của sự chuyển động của các hạt như vậy - khí nóng được tạo thành từ các hạt chuyển động nhanh, khí lạnh hơn được tạo thành từ các hạt chậm hơn. 22 Công việc được hiểu là “sự thay đổi theo cách này hay cách khác đối với sự sắp xếp của các phân tử cấu thành nên một cơ thể.” Ý tưởng cho rằng nhiệt là một dạng chuyển động không phải là mới. Người Mỹ Benjamin Thompson đã quan sát thấy rằng nhiệt sinh ra khi nòng súng được khoan, và ở Anh Humphry Davy cũng lưu ý tương tự rằng băng có thể tan chảy do ma sát. Điều thu hút sự quan tâm của Clausius là dạng chuyển động chính xác bao gồm nhiệt. Đó có phải là sự rung động của các hạt bên trong, đó là chuyển động “tịnh tiến” của chúng khi chúng di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác, hay là do chúng quay trên trục của chính chúng? 23

Bài báo chuyên đề thứ hai của Clausius, “Về loại chuyển động mà chúng ta gọi là nhiệt,” được xuất bản trên Annalen năm 1857, trong đó ông lập luận rằng nhiệt của một chất khí phải được tạo thành từ cả ba loại chuyển động và do đó tổng nhiệt của nó phải tỷ lệ thuận với tổng các chuyển động này. Ông giả định rằng thể tích mà bản thân các hạt chiếm giữ là vô cùng nhỏ và tất cả các hạt đều chuyển động với cùng một vận tốc trung bình, mà ông tính toán là hàng trăm, nếu không muốn nói là hàng nghìn mét trên giây. Điều này dẫn đến sự phản đối từ một số người khác rằng các giả định và tính toán của ông không thể đúng, vì nếu không thì khí sẽ khuếch tán nhanh hơn nhiều so với những gì chúng được biết đến; do đó, ông đã từ bỏ cách tiếp cận đó, thay vào đó đưa ra khái niệm “quãng đường tự do trung bình”, khoảng cách trung bình mà một hạt có thể di chuyển theo một đường thẳng trước khi va chạm với một hạt khác. 24

Những người khác bị thu hút bởi những nỗ lực của Clausius, đặc biệt là James Clerk Maxwell ở Anh, người đã xuất bản “Những minh họa về lý thuyết động lực học của chất khí” trên Tạp chí Triết học năm 1860, sử dụng ý tưởng của Clausius về con đường tự do trung bình. Tuy nhiên, trong khi Clausius đã giả định rằng mọi hạt trong chất khí chuyển động với cùng một vận tốc trung bình, thì Maxwell đã dựa vào khoa học thống kê mới để tính toán sự phân bố ngẫu nhiên của vận tốc các hạt, lập luận rằng sự va chạm giữa các hạt sẽ dẫn đến sự phân bố vận tốc khoảng một giá trị trung bình chứ không phải là một sự cân bằng. (Những hạt này là gì vẫn chưa bao giờ được giải quyết, mặc dù Maxwell tin chắc rằng chính sự tồn tại của chúng “là bằng chứng về sự tồn tại của một nhà sản xuất thần thánh.”) 25

Yếu tố thống kê - xác suất - được đưa vào vật lý theo cách này là một tiến bộ cơ bản nhưng gây tranh cãi rất nhiều. Trong bài báo năm 1850 của mình, Clausius đã thu hút sự chú ý trong định luật thứ hai của nhiệt động lực học tới “hướng” của dòng nhiệt – nhiệt có xu hướng truyền từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn. Lúc đầu, ông không bận tâm đến ý nghĩa của tính không thể đảo ngược hoặc các quá trình khác, nhưng vào năm 1854, ông lập luận rằng sự biến đổi nhiệt thành công và sự biến đổi nhiệt từ nhiệt độ cao hơn thành nhiệt ở nhiệt độ thấp hơn là tương đương nhau và rằng trong một số trường hợp, chúng có thể bị phản tác dụng—đảo ngược—bằng cách chuyển hóa công thành nhiệt, trong đó nhiệt sẽ truyền từ vật lạnh hơn sang vật nóng hơn. Đối với Clausius, điều này chỉ nhấn mạnh sự khác biệt giữa các quá trình có thể đảo ngược (do con người tạo ra) và không thể đảo ngược (tự nhiên): một ngôi nhà mục nát không bao giờ tự liền lại với nhau, một cái chai vỡ không bao giờ tự lắp ráp lại.

Chỉ sau đó, vào năm 1865, Clausius mới đề xuất thuật ngữ “entropy” (từ tiếng Hy Lạp có nghĩa là “biến đổi”) cho các quá trình không thể đảo ngược, theo đó xu hướng truyền nhiệt từ vật thể ấm hơn sang vật thể lạnh hơn cũng được mô tả như một ví dụ của hiện tượng tăng entropy. Khi làm điều này, Clausius giờ đây đã nhấn mạnh đến tính định hướng của các quá trình vật lý, và ông đã mô tả hai định luật nhiệt động lực học như sau: “Năng lượng của vũ trụ là không đổi” và “Entropy của vũ trụ có xu hướng đạt cực đại.” Thời gian, theo một cách bí ẩn nào đó, đã trở thành một thuộc tính của vật chất. 26

Đối với một số người, định luật thứ hai có ý nghĩa lớn hơn nhiều so với Clausius nghĩ. Một người Anh khác, William Thomson, Lord Kelvin, nghĩ rằng tính không thể đảo ngược vốn là một đặc điểm của định luật thứ hai—sự tiêu tán năng lượng—cũng hàm ý một “vũ trụ khởi nguyên tiến bộ”, một quan điểm nhấn mạnh hơn nữa quan điểm trong Kinh thánh về đặc tính nhất thời của vũ trụ . Thomson đã rút ra hàm ý từ định luật thứ hai rằng vũ trụ, lúc đó được biết là đang nguội đi, sẽ “trong một thời gian hữu hạn” cạn kiệt và trở nên không thể ở được. Helmholtz cũng đã nhận thấy hàm ý này của định luật thứ hai, nhưng chỉ đến năm 1867, chính Clausius, lúc đó đã từ Zurich quay về Đức, mới thừa nhận “cái chết do nhiệt” của vũ trụ. 27

SỰ XUẤT HIỆN CỦA “ S TRANG ” TRONG P VẬT LÝ

Các khái niệm thống kê do Clausius và Maxwell đưa ra đã thu hút sự chú ý của nhà vật lý người Áo Ludwig Boltzmann. 28 Boltzmann (1844–1906) sinh ra ở Vienna trong đêm giữa Thứ Ba Shrove và Thứ Tư Lễ Tro, một sự trùng hợp ngẫu nhiên mà ông phàn nàn nửa đùa nửa thật đã giúp giải thích cho sự thay đổi tâm trạng thường xuyên và nhanh chóng của ông, thứ đã ném ông giữa niềm hạnh phúc thuần khiết và sự trầm cảm sâu sắc. . Là con trai của một quan chức thuế, Boltzmann được bổ nhiệm làm giáo sư vật lý toán học tại Đại học Graz năm 1869 khi mới 25 tuổi. Sau đó ông làm việc với Robert Bunsen tại Heidelberg và với Helmholtz tại Berlin. Năm 1873, ông gia nhập Đại học Vienna với tư cách là giáo sư toán học và ở đó cho đến năm 1902 khi ông tự sát trong một lần trầm cảm.

Thành tựu chính của Boltzmann nằm ở hai bài báo nổi tiếng, mô tả bằng thuật ngữ toán học vận tốc, phân bố không gian và xác suất va chạm của các phân tử trong chất khí, tất cả đều xác định nhiệt độ của nó. Toán học mang tính thống kê, cho thấy rằng—bất kể trạng thái ban đầu của chất khí—định luật phân bố vận tốc của Maxwell sẽ mô tả trạng thái cân bằng của nó. Boltzmann cũng đưa ra một mô tả thống kê về entropy. 29

Điều quan trọng về công việc của Mayer, Helmholtz, và đặc biệt là Clausius và Boltzmann là, cho dù người ta có thể tuân theo toán học hay không, họ đã đưa xác suất vào vật lý. 30 Làm sao có thể được? Vật chất chắc chắn tồn tại, sự biến đổi (như khi nước đóng băng) tuân theo quy luật bất biến. Xác suất có thể phải làm gì với nó? Đây là sự xuất hiện đầu tiên của “sự kỳ lạ” trong vật lý học, báo trước thế giới lượng tử ngày càng kỳ lạ của thế kỷ XX. Những nhà vật lý đầu tiên này cũng tạo ra các “hạt” (nguyên tử, phân tử hoặc thứ gì khác chưa được hiểu rõ ràng) không thể thiếu đối với hành vi của các chất.

Sự hiểu biết về nhiệt động lực học là đỉnh cao của vật lý thế kỷ 19 và của sự kết hợp giữa vật lý và toán học. Nó báo hiệu sự kết thúc quan điểm máy móc nghiêm ngặt của Newton về tự nhiên, và nó sẽ chứng minh tính quyết định trong việc dẫn đến một dạng năng lượng mới ngoạn mục, năng lượng hạt nhân. Cuối cùng, tất cả điều này bắt nguồn từ khái niệm bảo toàn năng lượng.

T HE G OLDEN A GE OF M ATHEMATICS

Trong lịch sử toán học của mình, Carl Boyer nói rằng thế kỷ 19, hơn bất kỳ thời kỳ nào trước đó, xứng đáng được gọi là thời kỳ hoàng kim của toán học. “Những bổ sung cho chủ đề trong một trăm năm đó vượt xa tổng năng suất kết hợp của tất cả các thời đại trước đó.” Sự ra đời của các khái niệm như hình học phi Euclid, không gian n chiều, đại số không giao hoán, quá trình vô hạn và cấu trúc phi định lượng “tất cả đã góp phần tạo nên một sự biến đổi căn bản làm thay đổi diện mạo cũng như định nghĩa của toán học”. 31 Trong khi người Pháp vẫn còn mạnh, và một số quốc gia hỗ trợ toán học gắn liền với các hoạt động thực tế, chẳng hạn như khảo sát và điều hướng, nghiên cứu về toán học thuần túy - toán học vì lợi ích của nó - là ngoại lệ hơn là quy tắc, được thực hiện nhiều hơn bất kỳ nơi nào khác ở Đức . 32

Sức mạnh của toán học ở Đức có được nhờ một thực tế là, giống như trong vật lý, môn học này có một tạp chí mới quan trọng. Cho đến thế kỷ 19, các tạp chí toán học xuất sắc nhất đều đến từ École Polytechnique ở Paris, nhưng vào năm 1826, August Leopold Crelle (1780–1855) đã ra mắt tạp chí Journal für die reine und angewandte Mathematik (Tạp chí Toán học thuần túy và ứng dụng), mặc dù thường được gọi đơn giản hơn là “Tạp chí của Crelle”. 33

Trên tất cả, thời hoàng kim—do Gauss khởi xướng—được tiếp nối bởi Bernhard Riemann và Felix Klein. Riemann, yếu đuối và nhút nhát, lại là con trai của một mục sư. Sinh năm 1826, ông lấy bằng tiến sĩ tại Göttingen, sau đó dành vài học kỳ ở Berlin để theo học CGJ Jacobi và Peter Dirichlet trước khi trở lại Göttingen để được Wilhelm Weber đào tạo về vật lý. (Sự nghiệp sau đó của ông được phân chia giữa toán học và vật lý.) 34

Năm 1854, ông được kêu gọi thuyết trình khai mạc trước khoa tại Göttingen. “Kết quả trong trường hợp của Riemann là bài giảng thử việc nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.” 35 Trong bài giảng của mình, có tựa đề, “Về những giả thuyết nằm ở nền tảng của hình học,” Riemann thúc đẩy một cách nhìn hoàn toàn mới về hình học như là nghiên cứu về “bất kỳ số chiều nào trong bất kỳ loại không gian nào.” Điều này được gọi là hình học Riemann. Trong bài báo này, ông đã hình dung ra cái mà ông gọi là đa tạp, bề mặt (nay được gọi là bề mặt Riemann), là những dạng không gian phi Euclide, nơi mà các định luật Euclid không còn áp dụng được nữa. Ý tưởng về không gian cong được biết đến nhiều nhất, bởi vì dễ hiểu nhất: một “mặt phẳng” thực tế là bề mặt của một hình cầu, và một “đường thẳng” là đường tròn lớn của hình cầu. Những kết quả của Riemann trong lĩnh vực tư duy này quan trọng đến mức Bertrand Russell đã mô tả ông là “người tiền nhiệm trực tiếp của Einstein về mặt logic”. 36 Không có hình học của Riemann, thuyết tương đối tổng quát không thể được hình thành.

Khi Peter Dirichlet, một nhà toán học vĩ đại khác của Đức vào giữa thế kỷ 20, qua đời vào năm 1859, Riemann được bổ nhiệm vào chiếc ghế mà Carl Gauss đã từng ngồi. Trên chiếc ghế đó, ông theo dõi sự quan tâm của Gauss đối với lý thuyết số. Trong Chương 7, sự say mê của các nhà toán học với các số nguyên tố đã được giới thiệu, và người ta ghi nhận cách Gauss khám phá ra mối liên hệ giữa các số nguyên tố và logarit. Phát minh của ông về số ảo cũng được thảo luận (xem Chương 7). Cần nhớ rằng mối liên hệ giữa các số nguyên tố và logarit đã cho phép Gauss đưa ra một dự đoán tốt nhưng vẫn còn gần đúng về số lượng số nguyên tố có trong một hình bất kỳ, N . Thành tựu của Riemann là thiết lập và làm sáng tỏ một dự đoán dứt khoát về số lượng các số nguyên tố—và bằng cách sử dụng một phát minh khác của Gauss, các số ảo.

Riemann đã làm việc với một thứ gọi là hàm zeta. Điều này, dưới hình thức này hay hình thức khác, đã được các nhà toán học quan tâm kể từ thời Pythagoras, ở Hy Lạp cổ đại, người đã chỉ ra mối liên hệ giữa toán học và âm nhạc. Pythagoras phát hiện ra rằng nếu ông đổ đầy nước vào một chiếc bình và dùng búa đập vào nó, nó sẽ tạo ra một âm thanh nhất định. Sau đó, nếu anh ta lấy đi một nửa nước và đập chiếc bình một lần nữa, thì nốt nhạc đã tăng lên một quãng tám. Khi anh ta loại bỏ nước tương đương với một số nguyên thích hợp ( 1 /2, 1 /3, 1 /4), các nốt nhạc tạo ra nghe hài hòa với tai anh ta, trong khi nếu bất kỳ lượng trung gian nào bị loại bỏ, âm thanh sẽ không hài hòa. Pythagoras tin rằng các con số nằm ở gốc rễ của trật tự vũ trụ, dẫn đến câu nói nổi tiếng của ông “âm nhạc của những quả cầu”.

Tuy nhiên, đối với các nhà toán học khác, điều này đã dẫn đến một cuộc điều tra về hành vi của các số nghịch đảo (số nghịch đảo của 2 là 1/2 và nghịch đảo của 3 là 1/3 ). Cuộc điều tra này cuối cùng đã dẫn đến cái mà các nhà toán học gọi là hàm zeta, zeta được biểu thị bằng ký hiệu Hy Lạp,

. Hàm zeta được biểu diễn như sau:

Hàm này đưa ra một số kết quả thú vị, nổi tiếng nhất là khám phá vào thế kỷ 18 của nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler rằng khi zeta bằng 2 thì dãy trở thành:

và điều này cuối cùng có thể được viết là:

Khám phá này đã gây chấn động thế giới toán học, vì số 1 / 6

2 , được viết dưới dạng số thập phân, tạo ra một cấp số vô hạn, giống như

chính nó. (Hãy nhớ rằng đây là lý thuyết số, hành vi tuyệt đối của các con số rất hấp dẫn đối với các nhà toán học, cho dù hành vi đó có ích lợi gì hay không.) 37

Khi Riemann được bầu vào Viện hàn lâm ở Berlin vào tháng 11 năm 1859, ông đã viết một bài báo dài mười trang để đánh dấu sự kiện này, như (một lần nữa) theo thông lệ. Điều này chứng tỏ mọi thứ đều triệt để như bài diễn văn khai mạc của ông. Một trong những điều ông đã làm trong bài báo này là đưa phát minh khác của Gauss—các số ảo—vào hàm zeta, thu được một mẫu hoàn toàn bất ngờ, đặc điểm đáng chú ý nhất của nó là (khi kết quả của các phương trình được vẽ trên đồ thị) một loạt các sóng và theo ông, sóng đó có thể được sử dụng để sửa các tính toán của Gauss về các số nguyên tố, nhằm đưa ra một dự đoán chính xác , không có lỗi về số lượng các số nguyên tố trong bất kỳ dãy nào. Và do đó, tính ngẫu nhiên rõ ràng của các số nguyên tố đã được chứng minh là có thứ tự. Đó không phải là một mệnh lệnh đơn giản, đó là sự thật, nhưng dù sao cũng là một mệnh lệnh. Trật tự - dù phức tạp đến đâu - là một hình thức đẹp đối với các nhà toán học.

Felix Christian Klein sinh ra ở Düsseldorf vào ngày 25 tháng 4 năm 1849 và rất vui khi chỉ ra rằng ngày sinh của ông là tập hợp các số nguyên tố bình phương: 5 2 , 2 2 , 7 2 . Ông đã có đóng góp quan trọng nhất trong lý thuyết nhóm, một lĩnh vực mới khác. Là con trai của một quan chức chính phủ ở tỉnh Rhine, anh ta được bổ nhiệm làm giáo sư, trong trường hợp của anh ta ở Erlangen, thậm chí còn trẻ hơn cả Boltzmann, khi anh ta mới 23 tuổi. Ông chuyển đến Technische Hochschule của Munich vào năm 1875, nơi ông đã dạy, cùng với những người khác, Max Planck (ông cũng kết hôn với Anne Hegel, cháu gái của nhà triết học). Năm 1886, sức khỏe của ông giảm sút và ông chấp nhận một cuộc sống yên tĩnh hơn với tư cách là giáo sư toán học tại Göttingen. Ở đó, ông đã củng cố Göttingen thành trung tâm nghiên cứu toán học hàng đầu thế giới. 38

Để giải thích những gì Klein đang hướng đến trong lý thuyết nhóm, hãy tưởng tượng hai thí nghiệm trực quan. Đầu tiên, hãy tưởng tượng một tờ giấy hình chữ nhật, các cạnh của nó có kích thước A và B inch. Xoay tờ giấy 45 độ rồi chụp ảnh. Bức ảnh sẽ không hiển thị hình chữ nhật và các cạnh sẽ không dài A và B inch, nhưng tờ giấy sẽ không thay đổi. Toán học của sự rút gọn này, mối quan hệ giữa bản gốc và bức ảnh là gì? Thứ hai, hãy xem xét một bức ảnh chụp từ trên không của một quốc gia cụ thể—ví dụ, Ý—được chụp từ một vệ tinh cách xa 50 dặm trong không gian. Tiếp theo, xem cùng một quốc gia từ, ví dụ, năm dặm lên. Hình dáng của nước Ý vẫn như cũ nhưng giờ đây có thể nhìn thấy nhiều chi tiết mà trước đây không có—cửa sông, vịnh nhỏ, đảo nhỏ ngoài khơi. Một lần nữa, sự biến đổi nào đã diễn ra, điều gì đã thay đổi và điều gì vẫn giữ nguyên, và làm thế nào để biểu diễn sự thay đổi/giữ nguyên đó bằng toán học? Ví dụ cuối cùng này không có sẵn vào thời của Klein vì không có chụp ảnh trên không, nhưng vấn đề, về mặt toán học, hiện được gọi là “phân dạng” và cho thấy Klein đã đi trước thời đại bao xa. Nó báo trước lý thuyết hỗn loạn.

Dưới sự lãnh đạo của Klein, Göttingen trở thành thánh địa thu hút sinh viên từ nhiều nơi, đặc biệt là Mỹ, đổ về. 39 Người Pháp đã dẫn đường vào đầu thế kỷ 19, tại École Polytechnique, nắm lấy công trình của Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge và Jean-Victor Poncelet. Nghiên cứu và nguồn cảm hứng của Gauss, Riemann và Klein đảm bảo rằng sự lãnh đạo đó đã được truyền sang nước Đức. Nó giữ vị trí dẫn đầu - ít nhất là về mặt lý thuyết - cho đến khi Hitler ra đời. 40