Phòng sinh hoạt của thư viện.

Đối diện với chiếc bảng trắng mới viết được một nửa, Lục Chu thu lại cây bút lông trong tay, lùi lại hai bước nhìn bảng trắng rồi lên tiếng.

"...Muốn giải quyết vấn đề tính thống nhất giữa đại số và hình học, chúng ta bắt buộc phải tách rời 'số' và 'hình' ra khỏi hình thức biểu đạt thông thường, tìm kiếm điểm chung giữa chúng trong các khái niệm trừu tượng."

Đứng bên cạnh Lục Chu, Trần Dương trầm ngâm một lát rồi đột번 cất tiếng hỏi.

"Chương trình Langlands?"

"Không chỉ có chương trình Langlands," Lục Chu nghiêm túc nói, "Còn có lý thuyết motive, muốn giải quyết vấn đề này, chúng ta bắt buộc phải làm rõ mối liên hệ giữa các lý thuyết đối đồng điều khác nhau."

Trên thực tế, vấn đề này là một phạm trù rất lớn.

Đem vấn đề "mối liên hệ giữa các lý thuyết đối đồng điều khác nhau" tiếp tục nhỏ mịn hóa, thậm chí có thể phân liệt thành hàng chục ngàn cho đến hàng triệu phỏng đoán vẫn chưa có lời giải, hay có thể nói là các mệnh đề toán học.

Giả thuyết Hodge, một bài toán khó chưa có lời giải trong lĩnh vực hình học đại số, chính là một trong số đó, và cũng là cái nổi tiếng nhất.

Tuy nhiên điều thú vị là, mặc dù có vô số phỏng đoán cực kỳ khó khăn cản trở ở phía trước, nhưng để luận chứng lý thuyết motive lại không hề đòi hỏi phải giải quyết toàn bộ những phỏng đoán này.

Mối quan hệ giữa hai bên xa cách mập mờ giống như giả thuyết Riemann và sự mở rộng của giả thuyết Riemann trên hàm Dirichlet vậy.

"...Nhìn bề ngoài thì chúng ta đang nghiên cứu một vấn đề giải tích phức, nhưng trên thực tế nó đồng thời cũng là vấn đề về phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số, tô-pô."

Nhìn tấm bảng trắng trước mặt, Lục Chu nói tiếp, "Đứng ở góc độ chiến lược, chúng ta cần tìm ra một loại nhân tố có thể liên kết cả hai trên hình thức trừu tượng của số và hình. Về mặt chiến thuật, chúng ta có thể bắt đầu từ các điểm chung của một loạt lý thuyết đối đồng điều như công thức Künneth, đối ngẫu Poincaré,... cũng như phương pháp ứng dụng của đa tạp l trên mặt phẳng phức mà tôi đã cho cậu xem trước đó."

Nói đoạn, Lục Chu hướng ánh mắt về phía Trần Dương đang đứng bên cạnh mình.

"Tôi cần một lý thuyết, nó có thể phát huy những điểm thành công của lý thuyết cổ điển về đối đồng điều một chiều, tức là lý thuyết vành Jacobe và vành Abel của đường cong, nhằm thuận tiện cho đối đồng điều của mọi chiều."

"Dựa trên lý thuyết này, chúng ta có thể nghiên cứu sự phân tách tổng trực tiếp trong lý thuyết motive, khiến H(v) liên kết với motive bất khả ước."

"Ban đầu phần này tôi định tự mình làm, nhưng vẫn còn những phần quan trọng hơn đáng để tôi hoàn thành. Tôi dự định sẽ giải quyết lý thuyết đại thống nhất trong năm nay, phần này đành giao lại cho cậu."

Đối mặt với lời nhờ vả của Lục Chu, Trần Dương trầm ngâm một lúc rồi lên tiếng.

"Nghe có vẻ thú vị đấy... Nếu trực giác của tôi không sai, thì nếu có thể tìm ra lý thuyết này, hẳn sẽ trở thành manh mối để giải quyết giả thuyết Hodge nhỉ."

Lục Chu gật đầu, nói.

"Có giải quyết được giả thuyết Hodge hay không thì tôi không rõ, thế nhưng với tư cách là những vấn đề cùng loại, việc nó được giải quyết có lẽ có thể truyền cảm hứng cho việc nghiên cứu giả thuyết Hodge."

"Tôi biết rồi," Trần Dương gật đầu, "Trở về tôi sẽ nghiên cứu kỹ lưỡng... Nhưng tôi không thể đảm bảo có thể giải quyết vấn đề này trong thời gian ngắn."

"Không sao cả, đây vốn dĩ không phải là nhiệm vụ có thể hoàn thành trong một sớm một chiều, huống chi tôi cũng không phải là quá gấp gáp," Lục Chu cười mỉm nói tiếp, "Tuy nhiên, lời khuyên của tôi là, tốt nhất vẫn nên cho tôi một câu trả lời trong vòng hai tháng. Nếu cậu không nắm chắc, thì tốt nhất cũng nên báo trước cho tôi một tiếng, tôi tự mình làm phần này cũng được."

Trần Dương lắc đầu.

"Hai tháng thì không đến nỗi, nửa tháng... chắc là đủ rồi."

Không phải là phát ngôn xuất phát từ sự tự tin, mà là một sự khẳng định gần như mang giọng điệu trần thuật. Công cụ được sử dụng là có sẵn, thậm chí ngay cả hướng đi có thể để giải quyết vấn đề, Lục Chu cũng đã đưa ra rồi.

Loại công việc không đòi hỏi tư duy mang tính lật đổ cũng như sự sáng tạo này, chỉ cần chịu bỏ công sức là có thể giải quyết được.

Mà thứ mà cậu ta ít thiếu nhất, chính là sự kiên trì đâm đầu vào một con đường đến cùng.

Nhìn Trần Dương mặt không biểu cảm, Lục Chu gật đầu, đưa tay vỗ nhẹ lên bắp tay cậu ta.

"Được, phần này giao hết cho cậu nhé!"

---❊ ❖ ❊---

Sau khi Trần Dương rời đi, Lục Chu quay lại thư viện, bước đến vị trí lúc nãy của mình rồi ngồi xuống, lật mở chồng tài liệu chưa đọc xong trên bàn, vừa tiếp tục nghiên cứu trước đó, vừa dùng bút tính toán trên giấy nháp.

Nhìn từ góc độ vĩ mô, sự phát triển của hình học đại số trong thời cận đại có thể quy về hai hướng lớn, một là chương trình Langlands, hai là lý thuyết motive.

Trong đó lý thuyết Langlands, tinh thần cốt lõi của nó chính là thiết lập mối liên hệ bản chất cho một số nội dung thoạt nhìn có vẻ không liên quan gì đến nhau trong toán học, vì rất nhiều người đã từng nghe qua nên tôi xin phép không nhắc lại nữa.

Còn về lý thuyết motive, so với chương trình Langlands thì lại không nổi tiếng bằng.

Vào giờ phút này, bài luận văn mà anh đang nghiền ngẫm chính do giáo sư hình học đại số nổi tiếng Voevodsky viết.

Trong luận văn, vị giáo sư gốc Nga đến từ Viện Nghiên cứu Cấp cao Princeton này đã đề xuất một phạm trù motive cực kỳ thú vị.

Mà đây, lại chính là thứ mà Lục Chu đang cần.

"...Cái gọi là motive, chính là cội nguồn của vạn số."

Nhỏ giọng thì thầm bằng âm thanh chỉ có bản thân mới nghe thấy, Lục Chu vừa đối chiếu từng dòng công thức trên tài liệu, vừa hăng say tính toán phác thảo trên giấy nháp.

Lấy một ví dụ bình dân, nếu một con số chúng ta gọi là n, dưới hệ thập phân n có thể biểu thị là 100, vậy thì trên thực tế nó vừa có thể là 1100100, cũng có thể là 144.

Cách thức biểu đạt khác nhau, điểm khác biệt duy nhất nằm ở chỗ chúng ta chọn hệ nhị phân hay hệ bát phân để thống kê nó. Trên thực tế cho dù là 1100100 hay 144 thì chúng đều tương ứng với chữ số n, chỉ là hình thức diễn giải khác nhau của n mà thôi.

Ở đây, n được trao cho một ý nghĩa đặc biệt.

Nó vừa là một loại con số trừu tượng, vừa là bản chất của con số.

Thứ mà lý thuyết motive nghiên cứu, chính là tập hợp viết hoa N được cấu thành bởi vô số chữ n.

Là cội nguồn của mọi hình thức biểu đạt toán học, n có thể ánh xạ vào bên trong tập hợp của bất kỳ khoảng nào, cho dù là [0, 1] hay [0, 9], mà mọi phương pháp toán học xoay quanh lý thuyết motive đều được áp dụng tương đương trên người nó.

Trên thực tế, điều này đã chạm đến vấn đề cốt lõi của hình học đại số, chính là hình thức trừu tượng của con số.

Khác biệt với tất cả ngôn ngữ mà loài người sau khi "phiên dịch" thông qua pháp đếm các hệ cơ số khác nhau, phương pháp biểu đạt trừu tượng này mới thực sự là ngôn ngữ của vũ trụ theo đúng nghĩa đen.

Và nếu như chúng ta chỉ vì sinh hoạt hằng ngày mà sử dụng toán học, có lẽ cả đời cũng sẽ không nhận thức được điểm này, rất nhiều tôn giáo và văn hóa ban cho con số ý nghĩa đặc biệt, trên thực tế cũng không hề thực sự nghe hiểu "ngôn ngữ của Thượng Đế".

Sẽ có người hỏi rằng ngoài việc khiến cho việc tính toán trở nên phiền phức hơn ra thì cái này còn có ích gì nữa, thế nhưng trên thực tế lại hoàn toàn ngược lại, đem bản thân con số tách rời khỏi hình thức biểu đạt của nó, ngược lại càng có lợi cho việc mọi người nghiên cứu ý nghĩa trừu tượng ẩn giấu đằng sau nó.

Grothendieck ngoài việc đặt nền móng lý thuyết cho hình học đại số hiện đại ra, thì một công việc vĩ đại khác lại nằm ở điểm này.

Ông đã tạo ra một lý thuyết đơn nhất, bắc một nhịp cầu giữa hình học đại số và các loại lý thuyết đối đồng điều khác nhau.

Nó giống như chủ âm của một bản giao hưởng vậy, mỗi một lý thuyết đối đồng điều đặc biệt đều có thể rút ra chất liệu chủ đề của riêng mình từ trong đó, tiến hành tấu khúc theo âm chủ, trưởng âm, hoặc tiểu âm hay thậm chí là nhịp điệu độc đáo của riêng mình.

"...Tất cả lý thuyết đối đồng điều cùng nhau cấu thành nên một đối tượng hình học, mà đối tượng hình học này, có thể được đưa vào khung nghiên cứu do ông khai mở."

"...Hóa ra là vậy."

Đồng tử dần dần nhiễm lên một tia thần thái hưng phấn, đầu bút trong tay Lục Chu khựng lại.

Một thứ linh cảm trong cõi u minh, khiến anh cảm thấy bản thân đã rất gần với vạch đích rồi.

Sự hưng phấn xuất phát từ sâu thẳm linh hồn này, quả thực còn khiến người ta cảm thấy sảng khoái hơn cả cảm giác tận mắt chứng kiến thế giới thực tế ảo lần đầu tiên...

---❊ ❖ ❊---

(Về phần lý thuyết motive, tham khảo bài "What is a motive" nổi tiếng của Barry Mazur, tính ra đây cũng coi như một bài luận mang tính chất phổ cập khoa học, sau khi xem xong quả thực khiến người ta mở rộng tầm mắt.)