"Cả hai đều không phải?"

Mặc Lệ Na ngẩn người.

Lấy lại tinh thần, cô nhìn Lục Chu, dùng giọng điệu hoài nghi nói: "Tôi biết cậu là một thiên tài... Mặc dù Giả thuyết Goldbach không phải lĩnh vực nghiên cứu của tôi, nhưng nếu tôi nghe không nhầm, chẳng lẽ cậu định lật lại toàn bộ công trình của một thế kỷ nay để làm lại từ đầu sao?"

Lục Chu mỉm cười nhạt, dùng giọng điệu thư thả nói.

"Vấn đề $a+b$ suy cho cùng là một cách biểu diễn phức tạp của Giả thuyết Goldbach, tức là mọi số chẵn lớn $n$ đều có thể biểu diễn thành $a+b$, trong đó số lượng thừa số nguyên tố của $a$ và $b$ lần lượt không vượt quá $a$ và $b$. Mà khi $a+b=1+1$, vấn đề này rốt cuộc vẫn sẽ quay trở về biểu diễn ban đầu, tức là bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố."

Số lượng thừa số nguyên tố là 1, tự nhiên chính là số nguyên tố.

Cho nên hình thức $1+1$, rốt cuộc vẫn chính là bản thân Giả thuyết Goldbach.

Mặc Lệ Na dùng giọng điệu trêu chọc nói: "Ý cậu là trong một thế kỷ nay, những người nghiên cứu Giả thuyết Goldbach đều đang uổng công vô ích sao?"

"Đương nhiên là không," Lục Chu lắc đầu, đột nhiên tung ra một câu hỏi nằm ngoài dự đoán của cô: "Cậu có hiểu biết về thể thao không?"

Mặc Lệ Na hơi ngẩn ra, nhíu mày nói: "Thể thao?"

Lục Chu: "Nhảy xa chắc biết chứ."

Mặc Lệ Na bĩu môi, cạn lời nói: "Đương nhiên."

Lục Chu mỉm cười nhạt, nói: "Phương pháp chứng minh $a+b$ do Brun mở ra, tương đương với quá trình chạy đà trước khi nhảy xa. Mặc dù bản thân thời gian chạy đà không được tính vào thành tích, nhưng chạy đà là vô ích sao? Đạo lý tương tự, $a+b$ chính là bước chạy đà của Giả thuyết Goldbach. Nếu không có nó, cũng sẽ không có phương pháp sàng lớn — công cụ nghiên cứu lý thuyết số giải tích đầy tính gợi mở và tiềm năng sau này. Thậm chí có thể nói, giá trị của phương pháp sàng lớn đã vượt qua chính bản thân Giả thuyết Goldbach."

Bất luận phương pháp sàng lớn có thực sự vượt qua được $1+1$ cuối cùng hay không, nó đã hoàn thành sứ mệnh lịch sử của mình, và đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số giải tích.

Kể cả Lục Chu, cũng thụ ích rất nhiều từ đó.

Vuốt nhẹ mái tóc dài bên tai, Mặc Lệ Na nhìn Lục Chu: "Cho nên, cậu định chứng minh thế nào?"

Khóe miệng Lục Chu cong lên một nụ cười đầy tự tin.

"Đương nhiên, là dùng phương pháp của chính mình để chứng minh."

Không biết tại sao.

Nhìn nụ cười tự tin trên mặt cậu, tim Mặc Lệ Na lại vô cớ đập nhanh hơn hai giây.

Tất nhiên, đối với một người phụ nữ đã quyết định gả cho toán học mà nói, cái gọi là tim đập nhanh kia cũng chỉ là một khoảnh khắc mà thôi...

---❊ ❖ ❊---

Việc giải quyết một giả thuyết toán học, thứ cần đến là sự tích lũy khối lượng công việc, cũng như một thiên tài đầy tính sáng tạo.

Cả hai thứ đều không thể thiếu.

Giống như Định lý lớn Fermat.

Khi Giả thuyết Shimura-Taniyama được chứng minh, mặc dù mọi người vẫn chưa nhìn thấy viễn cảnh cụ thể, nhưng trong lòng ai nấy đều nắm chắc, bởi vì một công cụ có thể giải quyết vấn đề đã xuất hiện. Quả nhiên, Andrew Wiles cuối cùng đã hoàn thành công trình mang tính lịch sử này.

Nhưng đối với Giả thuyết Goldbach mà nói, cho dù là phương pháp sàng lớn hay phương pháp vòng (circle method), đều thiếu đi cảm giác này một chút.

Công việc của người đi trước đã làm rất nhiều bước đệm, nhưng bất luận là Định lý Chen từ "9+9" đến "1+2", hay chứng minh của Helfgott đối với giả thuyết yếu Goldbach trong điều kiện số lẻ, thì đều chỉ thiếu bước cuối cùng. Thậm chí ý nghĩa của Định lý Chen phần lớn là để cho các nhà toán học khác hiểu rằng, con đường phương pháp sàng lớn đã được Trần Trần Cảnh Nhuận làm đến mức cực hạn, con đường này đã đi không thông nữa rồi.

Phương pháp vòng cũng vậy.

Cũng chính vì lý do tương tự, trong bài phát biểu cuối năm ngoái, Helfgott mới dùng câu "Về việc chứng minh hoàn toàn Giả thuyết Goldbach, chúng ta vẫn còn một con đường rất dài phải đi" làm câu kết luận cuối cùng, bày tỏ sự không ôm hy vọng rằng ngắn hạn có thể giải quyết được giả thuyết Bach.

Ít nhất, là không ôm hy vọng đối với phương pháp vòng.

Lục Chu không khỏi bắt đầu suy ngẫm, phải chăng cả hai phương pháp này đều đã đi vào ngõ cụt.

Khi cậu nghiên cứu Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi lúc trước, cũng từng đối mặt với vấn đề tương tự.

Nghiên cứu của Trương Ích Đường thông qua việc khéo léo lựa chọn hàm $\lambda$ (lambda), đã giới hạn khoảng cách giữa các cặp số nguyên tố ở mức bảy mươi triệu, những người kế nhiệm trong vòng một năm đã thu hẹp con số này xuống còn 246, và sau đó thì không thể tiến thêm dù chỉ một bước.

Ý tưởng ban đầu của Lục Chu cũng là lựa chọn một hàm $\lambda$ thích hợp, nhưng sau vô số lần thử nghiệm, cuối cùng cậu vẫn phát hiện con đường này đi không thông.

Hàm $\lambda$ có thể lựa chọn thực sự quá nhiều, nhưng dù cậu có tìm kiếm thế nào đi nữa, cũng không tìm được cái vừa vặn hoàn hảo đó.

Cho đến khi, ở trạng thái cảm hứng, cậu thử một tư duy chứng minh hoàn toàn khác biệt, đưa lý thuyết tô-pô vào khái niệm phương pháp sàng, mới mở ra cánh cửa của thế giới mới.

Mặc dù tư duy này được nhắc đến đầu tiên trong bài luận văn về nghiên cứu Giả thuyết Goldbach năm 95 của Giáo sư Atle Selberg, nhưng người cải tiến nó và đưa vào vấn đề cặp số nguyên tố lại chính là cậu.

Cho đến sau này Lục Chu dựa trên nền tảng đó mà đưa vào kiến thức lý thuyết nhóm, đẩy cặp số nguyên tố khoảng cách hữu hạn thành vô hạn, trên cơ sở đó giải quyết Giả thuyết Polignac, phương pháp này đã bị cải tạo qua hai đời đến mức mặt mày thay đổi hoàn toàn, hoàn toàn đi chệch khỏi nguyên mạo ban đầu của phương pháp sàng.

Cho nên Lục Chu đã khắc lên thứ vũ khí thuộc về chính mình này một cái tên mới, đó chính là "phương pháp cấu trúc nhóm".

Nhưng khi suy nghĩ về Giả thuyết Goldbach, tư duy quán tính lại khiến cậu có chọn lọc mà phớt lờ đi công cụ của chính mình.

Bề ngoài phương pháp cấu trúc nhóm có vẻ như không có bất kỳ quan hệ nào với Giả thuyết Goldbach, nhưng từ gốc rễ thì nó chính là diễn biến từ phương pháp sàng mà ra, và từ đầu đến cuối đều hướng tới việc giải quyết các vấn đề số nguyên tố.

Chỉ cần cải tiến thêm, chưa chắc đã không thể áp dụng công cụ này vào Giả thuyết Goldbach vốn cũng là vấn đề số nguyên tố.

Khi phương pháp toán học này được không ngừng hoàn thiện, hoàn thiện đến mức đủ để giải quyết rất nhiều vấn đề, hoàn thiện từ một chiếc tăm biến thành dao đa năng Thụy Sĩ, ý nghĩa của nó có lẽ sẽ không còn là một công cụ đơn thuần nữa, mà dần dần diễn biến thành một khung lý thuyết! Hơn nữa còn là khung lý thuyết trong lý thuyết số giải tích!

Giống như "chứng trung nhị" nổi tiếng trong giới toán học Mochizuki Shinichi, khi nghiên cứu Giả thuyết abc đã tạo ra "lý thuyết Teichmüller liên vũ trụ" và "cấu trúc chỉnh hình số học ngoài hành tinh" vậy.

Bất luận là xây dựng lý thuyết trước rồi mới chứng minh giá trị của lý thuyết, hay là phát triển lý thuyết mới mẻ trong quá trình nghiên cứu các vấn đề toán học cụ thể, đều có tiền lệ để có thể noi theo.

Từ Giả thuyết Goldbach, Lục Chu mơ hồ nhìn thấy hy vọng.

---❊ ❖ ❊---

Sau khi ra khỏi câu lạc bộ ẩm thực, Lục Chu không giống như thường lệ, ăn cơm xong liền đến thư viện ở lại một lát, mà đi thẳng đến Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton.

Mặc dù cậu không hẹn trước, nhưng theo lời của chính Giáo sư Deligne, nếu không có gì bất ngờ thì vào khoảng thời gian từ 6 giờ đến 8 giờ tối mỗi ngày, ông đều ở đây.

Gõ cửa phòng làm việc, Lục Chu bước vào.

Dừng chiếc bút bi trong tay lại, Giáo sư Deligne nhìn về phía Lục Chu đang đứng đối diện bàn làm việc, với giọng điệu thoải mái hỏi.

Nghi vấn hay thay đổi văn bản này đã được xử lý.

"Cậu đã suy nghĩ kỹ chưa?"

Lục Chu gật đầu, nói.

"Vâng, tôi định tiếp tục hoàn thành nghiên cứu của mình... Rất xin lỗi, tôi có lẽ không thể rút ra thêm tinh lực dư thừa để gia nhập đề tài của thầy."

Deligne gật đầu, không vì thế mà sinh lòng bất mãn.

Ngồi ở vị trí của ông, rất khó để giống như những ông chủ của nghiên cứu sinh tiến sĩ bình thường mà hẹp hòi, dùng một số bài kiểm tra nhạt nhẽo để thử xem sinh viên có "nghe lời" hay không. Giống như ông đã nói từ đầu, ông đã cung cấp cho Lục Chu hai sự lựa chọn.

Deligne: "Tôi tôn trọng lựa chọn của cậu, nhưng với tư cách là người hướng dẫn của cậu, tôi cần phải tìm hiểu xem đề tài nghiên cứu của cậu là gì?"

Lục Chu thành thật trả lời: "Giả thuyết Goldbach."

Deligne gật đầu, không hề tỏ ra kinh ngạc đối với đề tài nghiên cứu của cậu giống như Mặc Lệ Na, vẻ bình thản bình thường trên khuôn mặt ngược lại khiến Lục Chu — người vừa tung ra mệnh đề này — phải ngạc nhiên một chút.

Chẳng lẽ...

Tiền bối Deligne cũng cho rằng, bản thân mình là "người ứng cử sáng giá nhất" để giải quyết giả thuyết này sao?

Điều này sao ngại quá vậy.

Lục Chu trong lòng âm thầm đắc ý một chút.

Deligne: "Giả thuyết Goldbach là một vấn đề thú vị, lúc trẻ tôi cũng từng nghiên cứu qua, nhưng không đi sâu vào, có lẽ không thể cung cấp cho cậu quá nhiều sự giúp đỡ. Hiện tại các thành quả nghiên cứu sát nút nhất trên quốc tế lần lượt là Định lý Chen và chứng minh của Helfgott đối với giả thuyết yếu, tôi rất mong chờ cậu có thể nghiên cứu ra được điều gì đó mới mẻ trên nền tảng này."

"Đương nhiên, ngoài nghiên cứu của chính cậu ra, phía tôi cũng có một số công việc ngoài nghiên cứu cần cậu làm. Ví dụ như, công việc trợ giảng chẳng hạn."

Lục Chu gật đầu: "Không thành vấn đề... Nếu là các khóa học về lý thuyết số hoặc giải tích hàm, tôi vẫn có thể giảng được một chút."

"Chủ yếu là lý thuyết số giải tích, tôi tin với năng lực của cậu, đảm nhận công việc này là dư sức... Ngoài ra, tôi còn chuẩn bị cho cậu một món quà gặp mặt."

Ngừng lại một lát, lão tiên sinh Deligne vươn tay kéo ngăn kéo ra, từ bên trong lấy ra một thứ giống như giấy chứng nhận, đặt lên bàn, nụ cười trên khuôn mặt nghiêm nghị dịu đi đôi chút.

"Tôi nghe phía bên các cậu nói, điều kiện gia đình cậu không tốt. Hôm qua lúc làm thủ tục nhập học giúp cậu, tôi tiện tay giúp cậu giải quyết luôn vấn đề trợ cấp học tập, lát nữa cậu cầm thứ này qua phòng giáo vụ một chuyến, nhân tiện giải quyết luôn chuyện học phí nhé."