Một hôm ở Princeton, tôi đang ngồi ở phòng khách thì vô tình nghe được mấy sinh viên toán nói về chuỗi khai triển của hàm ex là 1 + x + x2/2! + x3/3! Mỗi số hạng thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với x và chia cho số thứ tự của số hạng tiếp theo. Ví dụ, để thu được số hạng tiếp theo của x4/4!, bạn nhân số hạng này với x rồi chia cho 5. Thật đơn giản.

Khi còn là một đứa trẻ, tôi rất hứng thú với các chuỗi và đã bày trò chơi với chuỗi này. Tôi tính số e bằng chuỗi đó, và thấy các số hạng mới nhỏ đi nhanh như thế nào.

Tôi lầm bầm gì đó về việc có thể sử dụng chuỗi đó để tính giá trị của e mũ bất kỳ dễ như thế nào (bạn chỉ cần thay thế số mũ của x).

“Ồ vậy hả?” bọn chúng nói. “Được, thế thì e mũ 3,3 bằng bao nhiêu?” một anh chàng nào đó nói – tôi nghĩ đó là một tay Thổ Nhĩ Kỳ.

Tôi trả lời: “Dễ ợt. Bằng 27,11.”

Tay người Thổ biết là không dễ tính nhẩm trong đầu tất cả cái đó.

“Này, cậu đã làm việc đó như thế nào?” một tay khác nói: “Cậu biết Feynman mà, hắn bịa đấy. Không đúng đâu.”

Bọn chúng đi tìm bảng tra cứu, và khi chúng đang làm việc đó, thì tôi thêm vào mấy số lẻ và nói “27,1126.”

Bọn chúng tìm thấy con số đó trong bảng. “Đúng thật! Nhưng cậu làm bằng cách nào thế?”

“Tớ chỉ tính tổng một chuỗi thôi.”

“Chẳng ai có thể tính tổng của chuỗi ấy nhanh thế được. Chắc là cậu đã tình cờ biết số đó. Thế e mũ 3 là bao nhiêu?”

“Xem này,” tôi nói. “Đấy là bài tính khó! Mỗi ngày chỉ một bài thôi!”

“A ha! Đúng là thằng xạo!” Bọn chúng nói rất hỉ hả. “Được,” tôi nói: “Bằng 20,085.”

Trong khi chúng lục tìm kết quả trong sách, tôi báo thêm vài số lẻ nữa. Bây giờ thì cả bọn đều phấn khích, vì tôi lại đúng tiếp.

Đây là những nhà toán học lớn của thời đại, họ băn khoăn về việc làm thế nào tôi có thể tính e mũ bất kỳ! Một trong họ nói: “Cậu ta không thể chỉ thay thế và tính tổng – việc đó quá khó. Phải có mẹo gì đó. Cậu không thể tính một số linh tinh bất kì nào như e mũ 1,4.”

Tôi đáp: “Khó đấy, nhưng với cậu, được thôi. Bằng 4,05.”

Trong khi bọn họ còn đang tìm kiếm con số đó, tôi báo thêm vài số lẻ nữa tiếp sau số 5 và nói: “Đó là số cuối cùng trong ngày!” rồi đi ra.

Sự thể là như thế này: Tình cờ tôi biết ba số - lôgarit cơ số e của 10 (cần thiết để đổi các số từ cơ số 10 sang cơ số e) là 2,3026 (vì thế tôi biết e mũ 2,3 rất gần 10), từ hiện tượng phóng xạ (thời gian trung bình và một nửa thời gian sống), tôi biết lôgarit cơ số e của 2 bằng 0,69315 (vì thế tôi cũng biết e mũ 0,7 gần bằng 2), và tôi cũng biết e (mũ 1) bằng 2,71828.

Số đầu tiên mà họ bắt tôi tính là e mũ 3,3, nó là e mũ 2,3 – bằng 10 – nhân với e, tức là 27,18. Khi bọn chúng đang vất vả về việc tôi làm việc đó như thế nào, thì tôi hiệu chỉnh với phần dư ra 0,0026 – 2,3026 hơi cao một chút.

Tôi biết là mình không thể tính được số khác; đó hoàn toàn là may mắn. Nhưng khi một anh chàng nói e mũ 3 thì nó chính là e mũ 2,3 nhân với e mũ 0,7 hay là 10 nhân 2. Vì thế tôi biết nó là 20,số nào đó, và trong khi bọn họ đang băn khoăn làm sao tôi làm được việc ấy, thì tôi điều chỉnh cho đúng với 0,693.

Đến đây thì tôi chắc là mình không thể tính thêm số nào nữa, vì số vừa rồi cũng lại hoàn toàn do may mắn. Nhưng một anh chàng đưa ra e mũ 1,4; nghĩa là e mũ 0,7 nhân với chính nó, nên việc tôi phải làm chỉ là xê dịch 4 một chút!

Họ không bao giờ biết được tôi đã tính như thế nào.

Khi ở Los Alamos tôi phát hiện ra Hans Bethe là xuất sắc tuyệt đối về tính toán. Chẳng hạn, một lần chúng tôi phải thay số vào một công thức, và gặp phải 48 bình phương. Tôi với cái máy tính marchant, nhưng ông nói luôn: “Bằng 2300.” Tôi bắt đầu bấm các nút, thì ông nói: “Nếu cậu muốn chính xác thì nó là 2304.”

Máy tính cho 2304. “Chà! Rất ấn tượng!” Tôi nói.

“Cậu không biết cách tính bình phương của một số gần 50 à?” ông hỏi. “Cậu lấy bình phương của 50 – là 2500 – rồi trừ đi 100 lần phần chênh giữa số của cậu và 50 (trong trường hợp này là 2), thế là cậu có 2300. Nếu cậu muốn phần hiệu chỉnh, thì hãy bình phương phần chênh lên và cộng nó vào. Thế là được 2304.”

Vài phút sau chúng tôi cần tính căn bậc 3 của 2 1/2. Để lấy căn bậc ba bằng máy tính marchant bạn phải dùng một bảng để tra ra số xấp xỉ ban đầu. Tôi mở ô kéo để lấy bảng – lần này mất thời gian hơn một chút – và ông nói: “Khoảng 1,35.”

Tôi thử tính nó trên máy marchant và kết quả đúng như thế. “Ông tính cái này như thế nào vậy?” tôi hỏi. “Ông có bí mật nào trong việc tính căn bậc 3 của các số không?”

“Ồ,” ông đáp: “Lôgarit của 2 1/2 bằng từng này. Một phần ba của lôgarit đó thì nằm giữa logarit của 1,3, nó bằng số này, và logarit 1,4, nó bằng số kia, thế là tôi đã nội suy.”

Nhờ thế tôi đã tìm ra điều gì đó: thứ nhất, ông ấy biết các bảng lôgarit; thứ hai, chỉ riêng lượng phép tính số học mà ông ấy thực hiện để làm nội suy cũng sẽ làm cho tôi mất nhiều thời gian hơn việc phải tra bảng và bấm nốt máy tính. Tôi vô cùng ấn tượng.

Sau đó, tôi thử làm những việc như thế. Tôi nhớ vài lôgarit và bắt đầu nhận ra vấn đề. Ví dụ, nếu ai đó nói: “Bình phương của 28 bằng bao nhiêu?” thì bạn để ý là căn bậc hai của 2 là 1,4, và 28 là 20 lần 1,4, do đó bình phương của 28 phải là khoản 400 nhân 2, hay là 800. Nếu có ai đó đến và nhờ bạn chia 1 cho 1,73, bạn có thể nói ngay với họ rằng kết quả là 0,577 bởi vì bạn để ý là 1,73 gần bằng căn bậc hai của 3, nên 1/1,73 phải bằng một phần ba của căn bậc hai của 3. Còn nếu cần tính 1/1,75, thì kết quả là nghịch đảo của 7/4, và bạn đã nhớ các số thập phân lặp lại ở các phần bảy: 0,571428…

Tôi có rất nhiều thú vui khi thử dùng mẹo để tính nhanh các phép tính số học với hans. Rất hiếm khi tôi có thể nhìn thấy điều mà ông ấy không thấy và nhận được kết quả trước ông, còn ông thường cười rất thật lòng mỗi khi tôi làm được việc đó. Ông gần như luôn luôn tìm được câu trả lời cho bất kỳ bài toán nào với độ chính xác đến một phần trăm. Với ông nó rất dễ – mỗi số đều gần với một số nào đó mà ông đã biết.

Một hôm tôi rất phấn khởi. Đó là thời gian ăn trưa ở khu kỹ thuật, và không biết bằng cách nào mà tôi nảy ra ý tưởng đó, dù sao tôi đã loan báo: “Trong vòng sáu mươi giây tôi có thể tìm ra lời giải của bất kỳ bài toán nào mà ai đó có thể phát biểu nó trong 10 giây, với độ chính xác đến 10 phần trăm!” mọi người bắt đầu đưa cho tôi các bài toán mà họ nghĩ là khó, chẳng hạn như tích phân của một hàm số như 1/(1+x4), mà nó thay đổi rất chậm trên khoảng lấy tích phân do họ đặt ra. Bài khó nhất mà ai đó đưa tôi là tính hệ số của số hạng x10 trong khai triển của (1+x)20; Tôi đã có được số đó vừa đúng giờ.

Tất cả mọi người đều đưa bài toán cho tôi và tôi đang cảm thấy rất tuyệt, khi Paul Olum bước vào phòng. Paul đã làm việc cùng tôi một thời gian ngắn ở Princeton trước khi đến Los Alamos, và anh ấy luôn thông minh hơn tôi. Chẳng hạn, một hôm, tôi lơ đãng khi làm việc với một trong các dải băng đo ấy, chúng bật lại vào tay bạn khi bạn ấn nút. Dải băng thường luôn vỗ lên và đập vào tay tôi, làm tôi hơi bị đau. “Quái thật!” tôi kêu lên. “Mình đúng là đồ ngốc. Làm với cái này mãi rồi, mà lần nào cũng bị đau.”

Paul nói: “Cậu cầm nó không đúng,” rồi cầm cái chết tiệt ấy, kéo dải băng ra, bấm nút, và nó vẫn bật lại ngay. Không đau.

“Ồ! Cậu làm việc đó thế nào vậy?” Tôi ngạc nhiên.

“Tự tìm hiểu xem!”

Trong vòng hai tuần tiếp theo, tôi luẩn quẩn suốt ở Princeton, bật cái dải băng này lại cho đến khi bàn tay tôi bị trầy hết cả da. Cuối cùng, tôi không thể chịu được thêm nữa. “Paul! Tớ chịu rồi. Cậu cầm nó thế quái nào mà không bị đau vậy?”

“Ai bảo là không đau. Tớ cũng bị đau đấy chứ!”

Tôi cảm thấy mình ngu quá thể. Anh ta làm tôi không yên và đã tự hành hạ bàn tay mình trong suốt hai tuần lễ!

Paul đi ngang qua chỗ ăn trưa khi mọi người ở đó đang đầy kích động. “Này, Paul!” họ gọi với ra: “Feynman quá tuyệt! Chúng tớ ra cho anh ấy một bài toán có thể phát biểu trong 10 giây, và anh ta cho kết quả chính xác tới 10 phần trăm trong vòng một phút. Sao bạn không ra cho anh ta một bài nhỉ?”

Không hề dừng lại, Paul nói: “Tang của 10 mũ 100.”

Tôi chết chìm luôn: bạn phải chia cho pi tới 100 chữ số thập phân!

Vô vọng.

Một lần tôi khoe khoang: “Tôi có thể tính bằng những cách khác một tích phân bất kì mà mọi người phải tính bằng tích phân đường.”

Thế là Paul liền đưa ra một tích phân đáng ghét khủng khiếp mà anh ta nhận được bằng cách bắt đầu với một hàm phức mà anh ta biết tích phân của nó, bỏ đi phần thực và chỉ giữ lại phần ảo. Anh ta đã biến đổi nó để chỉ có cách duy nhất là tính tích phân đường! Anh ta luôn đánh bại tôi như thế. Một anh chàng rất thông minh.

Trong lần đầu thăm Brazil, tôi đã có một bữa trưa vào lúc tôi chẳng biết là mấy giờ - tôi luôn đến nhà hàng không đúng giờ - và tôi là khách duy nhất trong nhà hàng. Tôi ăn cơm với thịt nướng (món tôi thích), và có những bốn người phục vụ đứng xung quanh.

Một người đàn ông Nhật đi vào nhà hàng. Trước đó tôi đã thấy người này, đi loanh quanh; anh ta muốn bán bàn tính[1]. Anh ta bắt chuyện với mấy người phục vụ và thách đố họ: Anh ta nói là mình có thể cộng các số nhanh hơn bất kỳ ai trong số họ.

Mấy anh bồi bàn không muốn bị mất mặt, nên đáp: “Rồi, rồi. Sao anh không ra kia mà thách đấu với vị khách ở đó?” người đàn ông tiến lại, tôi phản ứng: “Nhưng tôi không nói tốt tiếng Bồ đâu!” mấy anh chàng phục vụ cười: “Các con số thì dễ thôi.” Họ mang cho tôi chiếc bút chì và tờ giấy.

Anh chàng người Nhật yêu cầu một anh bồi bàn đưa ra mấy số để cộng. Anh ta làm tôi thua tơi bời; vì trong khi tôi còn đang ghi lại những con số, thì anh ta đã cộng chúng xong ngay khi đang đi.

Tôi đề nghị anh chàng phục vụ viết hai danh sách các số giống nhau rồi đưa chúng cho tôi và anh ta cùng một lúc. Kết quả là thời gian chênh nhau không nhiều. Anh ta vẫn nhanh hơn tôi một chút.

Tuy nhiên, người đàn ông ấy đã hơi bị kích động: anh ta muốn thể hiện mình thêm. “Multiplicao! (Phép nhân!),” anh ta nói.

Ai đó viết ra một bài toán. Anh ta lại đánh bại tôi, nhưng không nhanh hơn nhiều, vì tôi rất khá về phép nhân.

Rồi anh chàng này mắc một sai lầm: anh ta đề nghị chúng tôi tiếp tục với phép chia. Điều anh ta không nhận ra là phép tính càng khó thì cơ hội chiến thắng của tôi càng nhiều.

Cả hai chúng tôi đã làm một bài tính chia dài. Kết quả: ngang nhau.

Điều này làm anh chàng Nhật khó chịu, vì rõ ràng là anh ta đã luyện tập rất tốt trên bàn tính, thế mà ở đây anh ta lại gần như bị đánh bại bởi người khách hàng này trong nhà hàng.

“Raios cubicos!” anh ta nâng giọng. Căn bậc ba! Anh ta muốn tính căn bậc ba bằng các phép tính số học! Khó mà tìm được một phép tính cơ bản về số học hắc búa hơn. Đó chắc là bài tập khó nhất của anh ta trên bàn tính.

Anh ấy viết một số lên tờ giấy – một số bất kì – và tôi vẫn nhớ nó: 1729,03. Anh ta bắt đầu tính, lẩm nhẩm và lầm bầm: “Mmmmmmagmmmmbrrr” – anh ta làm việc cực như trâu bò. Anh ta mải mê tính cái căn bậc ba này. Trong khi đó tôi chỉ ngồi ở đấy

Một anh chàng phục vụ hỏi: “Ngài đang làm gì vậy?”

Tôi chỉ vào đầu mình và nói “Đang nghĩ!” Tôi viết số 12 lên tờ giấy.

Sau một lát tôi có 12,002.

Anh chàng dùng bàn tính lau mồ hôi trán: “Mười hai!” anh ta nói.

“Ồ, không!” tôi đáp. “Nhiều số hơn! Nhiều số hơn!” Tôi biết rằng khi tính căn bậc ba bằng phép tính số học, thì mỗi số mới đòi nhiều công sức hơn là số trước đó. Một công việc nặng nhọc.

Anh ta lại vùi đầu vào phép tính, cằn nhằn: “Rrrrgrrrrmmmmmm…,” trong khi tôi thêm hai chữ số nữa. Cuối cùng anh ta ngẩng đầu lên và nói: “12,0!”

Tất cả các anh chàng bồi bàn đều rất phấn chấn và hỉ hả. Họ nói với anh chàng người Nhật: “Xem này, ông ấy chỉ làm trong đầu còn anh phải dùng bàn tính! Ông ấy có nhiều chữ số hơn!”

Anh ta hoàn toàn hết vở, và bỏ đi, bẽ mặt. Mấy anh chàng bồi bàn chúc mừng lẫn nhau.

Làm thế nào mà ông khách ấy đánh bại cả bàn tính? Con số đó là 1729,03. Tôi ngẫu nhiên biết là một foot khối bằng 1728 inch khối, thế nên đáp án sẽ là lớn hơn 12 một chút[2]. Gia số, 1,03, chỉ là một phần của gần 2000, và tôi đã học trong giải tích rằng với một phân số nhỏ thì gia số của căn bậc ba gần bằng một phần ba gia số của số đó[3]. Vì thế tất cả những gì tôi cần làm là tính 1/1728 rồi nhân với 4 (chia 3 và nhân với 12). Thế là, tôi có thể tính rất nhiều số bằng cách đó.

Vài tuần sau, người đàn ông kia đi vào phòng cocktail của khách sạn nơi tôi đang ở. Anh ta nhận ra tôi và tiến lại hỏi: “Hãy nói cho tôi biết làm thế nào mà anh có thể tính cái bài căn bậc ba đó nhanh thế?”

Tôi giải thích rằng đó là một phương pháp gần đúng, và phải chấp nhận phần trăm sai số. “Giả sử anh đưa tôi số 28. Giờ thì, căn bậc ba của 27 là 3…”

Anh ta cầm bàn tính lên: zzzzzzzzzzzzzzz – “Ồ, đúng vậy,” anh ta nói.

Tôi nhận ra một điều: anh ta không biết các con số. Với bàn tính thì bạn không cần phải nhớ nhiều phép tính số học; tất cả những gì bạn phải làm là học cách đẩy những cái hạt con con lên và xuống. Bạn không cần nhớ 9+7=16; bạn chỉ cần biết là khi cộng thêm 9 thì bạn đẩy một hạt ở hàng chục lên và hất một hạt ở hàng đơn vị xuống. Thành ra, chúng ta tuy chậm hơn trong các phép tính số học cơ sở, nhưng chúng ta biết các con số.

Hơn nữa, toàn bộ ý tưởng về phương pháp xấp xỉ là quá khó với anh ta, cho dù căn bậc ba thường không thể tính chính xác bằng bất kỳ phương pháp nào. Vì thế, tôi chẳng bao giờ có thể dạy anh ta cách tôi đã tính các căn bậc ba, hay giải thích cho anh ta hiểu tôi đã may mắn như thế nào khi anh ta ngẫu nhiên chọn số 1729,03.

❀ ❀ ❀

[1] Khi đó máy tính bỏ túi vẫn chưa ra đời và bàn tính cơ học có lẽ vẫn là thứ được dùng phổ biến để thực hiện các phép tính số học. (ND)

[2] 1 foot = 12 inch. (ND)

[3] Feynman đã sử dụng công thức gần đúng (1+x)α ≈ 1+αx khi x nhỏ. (ND)