Ý niệm về con số bắt nguồn từ kinh nghiệm — Trạng thái của môn số học ở các dân tộc chưa văn minh — Phạm vi từ ngữ chỉ số rất hạn hẹp ở các bộ lạc thấp kém — Đếm bằng ngón tay và ngón chân — Các từ chỉ số bằng tay cho thấy sự xuất phát của phép tính bằng lời từ việc đếm bằng cử chỉ — Từ nguyên của các con số — Hệ thống đếm cơ số năm, cơ số mười và cơ số hai mươi trên thế giới đều bắt nguồn từ việc đếm trên ngón tay và ngón chân — Sự tiếp nhận từ ngữ chỉ số nước ngoài — Bằng chứng về sự phát triển của môn số học từ một nền tảng văn hóa thấp kém ban đầu.

Ông J. S. Mill, trong tác phẩm ‘Hệ thống Lô-gic’ của mình, đã nhân cơ hội này để khảo sát nền tảng của nghệ thuật số học. Chống lại tiến sĩ Whewell — người từng duy trì quan điểm rằng những mệnh đề như hai cộng ba bằng năm là những ‘chân lý tất yếu’, chứa đựng bên trong một yếu tố chắc chắn vượt ra ngoài những gì kinh nghiệm thuần túy có thể mang lại — ông Mill khẳng định rằng ‘hai và một bằng ba’ chỉ biểu thị ‘một chân lý mà chúng ta biết được qua kinh nghiệm sớm sủa và thường xuyên: một chân lý quy nạp; và những chân lý như vậy chính là nền tảng của khoa học về Con số. Các chân lý cơ bản của khoa học đó đều dựa trên bằng chứng của các giác quan; chúng được chứng minh bằng cách cho mắt thấy và ngón tay thấy rằng bất kỳ một số lượng đồ vật cho trước nào, chẳng hạn như mười quả bóng, qua sự tách rời và sắp xếp lại, có thể biểu hiện trước các giác quan của chúng ta tất cả các tập hợp số khác nhau có tổng bằng mười. Tất cả các phương pháp cải tiến để dạy số học cho trẻ em đều tiến hành dựa trên sự hiểu biết về thực tế này. Tất cả những ai muốn đưa tâm trí đứa trẻ đi cùng với họ trong việc học số học; tất cả những ai muốn dạy về các con số chứ không phải những con số không đơn thuần — nay đều dạy nó thông qua bằng chứng của các giác quan, theo cách thức mà chúng ta đã mô tả.’ Lập luận của ông Mill được rút ra từ các điều kiện tinh thần của những người đang sở hữu một nền số học rất tiên tiến. Chủ đề này cũng là một vấn đề rất đáng được nghiên cứu từ quan điểm của nhà dân tộc học. Việc khảo sát các phương pháp đếm số đang được sử dụng ở các chủng tộc thấp kém không chỉ củng cố hoàn toàn quan điểm của ông Mill rằng hiểu biết của chúng ta về mối quan hệ giữa các con số dựa trên thực nghiệm thực tế, mà nó còn cho phép chúng ta lần theo nghệ thuật đếm về đến cội nguồn của nó, và xác định bằng những bước nào nó đã nảy sinh trên thế giới ở các tộc người cụ thể, và có lẽ là ở toàn thể nhân loại.

Trong hệ thống đếm tiên tiến của chúng ta, không có giới hạn nào được biết đến đối với cả sự lớn lao lẫn sự nhỏ bé. Nhà hiền triết không thể hình dung ra sự hình thành của một đại lượng nào lớn đến thế hay của một nguyên tử nào nhỏ đến thế mà nhà số học không thể bắt kịp anh ta, và có thể định nghĩa nó trong một sự kết hợp đơn giản các ký hiệu viết. Nhưng khi chúng ta đi xuống thang bậc văn hóa, chúng ta thấy rằng ngay cả khi ngôn ngữ thông dụng có các thuật ngữ cho hàng trăm và hàng nghìn, thì khả năng hình thành một ý niệm rõ ràng về các số lớn ngày càng suy giảm, người tính toán càng nhanh chóng bị dồn vào các ngón tay của mình, và ở những kẻ thông minh nhất, sự mơ hồ về con số mà chúng ta nhận thấy ở trẻ em ngày càng gia tăng — nếu như không có một nghìn người trên đường phố thì chắc chắn cũng có một trăm, rốt cuộc thì cũng có hai mươi. Sự vững vàng trong số học, sự thực là vậy, không biến thiên đều đặn theo mức độ văn hóa chung. Một số dân tộc hoang dã hoặc dã man lại có kỹ năng đặc biệt giỏi trong việc đếm. Người dân đảo Tonga thực sự có các từ số bản địa đếm đến 100.000. Không dừng lại ngay cả ở điều này, nhà thám hiểm người Pháp Labillardière đã thúc ép họ tiến xa hơn nữa và thu được các từ số lên tới 1.000 nghìn tỷ, những con số này đã được in đàng hoàng, nhưng qua khảo sát sau đó hóa ra lại một phần là những từ vô nghĩa và một phần là những biểu hiện bất nhã,[299] do đó chuỗi các con số lớn được cho là ấy ngay lập tức tạo thành một từ vựng nhỏ về sự khiếm nhã của người Tonga, và là một lời cảnh báo về những kết quả có thể xảy ra khi ghi chép lại những câu trả lời chưa được kiểm chứng từ những kẻ hoang dã bị chất vấn đến mệt mỏi. Ở Tây Phi, một thói quen mặc cả sống động và liên tục đã phát triển một năng lực số học tuyệt vời, và những đứa trẻ nhỏ đã thực hiện các bài toán tính toán với những đống vỏ sò của chúng. Trong số những người Yoruba ở Abeokuta, việc nói ‘bởi anh không biết chín nhân chín’ thực ra là một cách lăng mạ để nói ‘anh là một kẻ đần độn’.[300] Đây là một câu tục ngữ phi thường, khi chúng ta so sánh nó với tiêu chuẩn mà các câu nói tương ứng của châu Âu đặt ra cho giới hạn của sự ngu ngốc: người Đức nói, ‘hắn ta hầu như không biết đếm năm’; người Tây Ban Nha nói, ‘tôi sẽ bảo anh mấy là năm’ (cuantos son cinco); và chúng ta có câu ca dao tương tự ở Anh: —

‘... chắc chắn như tôi đang sống,

Và biết mấy hạt đậu làm thành năm.’

Một tòa án Xiêm La sẽ không chấp nhận lời khai của một nhân chứng không biết đếm hoặc tính toán các con số lên đến mười; một quy tắc gợi cho chúng ta nhớ đến phong tục cổ xưa của Shrewsbury, nơi một người được coi là đến tuổi trưởng thành khi anh ta biết đếm đến mười hai xu.[301]

Trong số những con người sống ở mức thấp kém nhất, những kẻ hoang dã ở các khu rừng Nam Mỹ và những hoang mạc ở Úc, con số 5 thực tế được thấy là một con số mà ngôn ngữ của một số bộ lạc không hề biết đến bằng một từ đặc biệt. Không chỉ các lữ khách thất bại trong việc lấy từ họ tên gọi cho các con số lớn hơn 2, 3 hoặc 4, mà quan điểm cho rằng đây là những giới hạn thực sự của chuỗi con số của họ lại càng được củng cố bằng việc họ sử dụng con số lớn nhất được biết đến của họ như một thuật ngữ bất định để chỉ rất nhiều người. Spix và Martius nói về các bộ lạc thấp kém ở Brazil rằng, ‘Họ thường đếm bằng các khớp ngón tay của mình, do đó chỉ đếm đến ba là cùng. Bất kỳ con số lớn hơn nào họ đều diễn tả bằng từ “nhiều”’.[302] Trong một từ vựng tiếng Puri, các con số được đưa ra là 1. omi; 2. curiri; 3. prica, ‘nhiều’: trong một từ vựng tiếng Botocudo, 1. mokenam; 2. uruhú, ‘nhiều’. Phép đếm của người Tasmania, theo Jorgensen, là 1. parmery; 2. calabawa; lớn hơn 2, cardia; như cách diễn đạt của Backhouse, họ đếm ‘một, hai, nhiều’; nhưng một nhà quan sát có những cơ hội đặc biệt thuận lợi, tiến sĩ Milligan, lại đưa ra các con số của họ lên tới 5, puggana, mà chúng ta sẽ quay lại bàn sau.[303] Ông Oldfield (viết đặc biệt về các bộ lạc miền Tây) nói rằng, ‘Người New Holland không có tên gọi cho các con số vượt quá hai. Thang ký hiệu của người Watchandie là co-ote-on (một), u-tau-ra (hai), bool-tha (nhiều), và bool-tha-bat (rất nhiều). Nếu thực sự buộc phải diễn tả các con số ba hoặc bốn, họ nói u-tar-ra coo-te-oo để chỉ con số trước, và u-tar-ra u-tar-ra để chỉ con số sau.’ Nghĩa là, tên gọi của họ cho một, hai, ba và bốn tương đương với ‘một’, ‘hai’, ‘hai-một’, ‘hai-hai’. Các con số của tiến sĩ Lang từ Queensland hoàn toàn giống về nguyên tắc, mặc dù các từ thì khác nhau: 1. ganar; 2. burla; 3. burla-ganar, ‘hai-một’; 4. burla-burla, ‘hai-hai’; korumba, ‘hơn bốn, nhiều, lớn’. Phương ngữ Kamilaroi, mặc dù có số 2 giống như phương ngữ trước, nhưng lại cải tiến hơn bằng cách có một số 3 độc lập, và với sự trợ giúp của điều này, nó tính toán đến tận 6: 1. mal; 2. bularr; 3. guliba; 4. bularr-bularr, ‘hai-hai’; 5. bulaguliba, ‘hai-ba’; 6. guliba-guliba ‘ba-ba’. Những ví dụ Úc này ít nhất là bằng chứng về một hệ thống số rất nghèo nàn cũng như vụng về ở một số bộ lạc nhất định.[304] Tuy nhiên, ở đây một lần nữa, những hình thức cao hơn sẽ cần phải được chú ý, những hình thức này ở ít nhất một vùng đã đưa các con số bản địa lên tới 15 hoặc 20.

Không thể cho rằng, vì một bộ lạc hoang dã không có các từ thông dụng cho các con số lớn hơn 3 hoặc 5 hoặc tương tự, nên họ không thể đếm vượt qua mức đó. Dường như họ có thể và thực sự đếm xa hơn đáng kể, nhưng đó là bằng cách quay trở lại một phương pháp diễn đạt thấp kém và thô sơ hơn ngôn ngữ — đó là ngôn ngữ cử chỉ. Vị trí trong sự phát triển trí tuệ do nghệ thuật đếm trên các ngón tay nắm giữ được đánh dấu rõ ràng trong mô tả mà Massieu, học trò câm điếc của viện phụ Sicard, đưa ra về ý niệm của mình về các con số trong thời thơ ấu tương đối chưa được dạy dỗ của ông: ‘Tôi biết các con số trước khi được hướng dẫn, các ngón tay của tôi đã dạy cho tôi chúng. Tôi không biết các con số; tôi đếm trên các ngón tay của mình, và khi con số vượt quá 10, tôi khấc các vạch trên một mẩu gỗ’.[305] Chính bằng cách này mà tất cả các bộ lạc hoang dã đã được dạy môn số học bởi các ngón tay của họ. Ông Oldfield, sau khi đưa ra đoạn mô tả vừa được trích dẫn về khả năng của ngôn ngữ Watchandie trong việc vươn tới số 4 bằng các từ số, tiếp tục mô tả những phương tiện mà bộ lạc này xoay sở để giải quyết một bài toán khó hơn trong phép đếm.

‘Tôi từng muốn xác định chính xác số lượng người bản địa đã bị sát hại trong một dịp nọ. Cá nhân mà tôi dò hỏi bắt đầu ngẫm nghĩ về các tên gọi... gán một trong các ngón tay của mình cho mỗi cái tên, và mãi cho đến sau rất nhiều lần thất bại, và do đó phải bắt đầu lại từ đầu, anh ta mới có thể diễn tả một con số lớn như vậy, mà cuối cùng anh ta đã làm bằng cách giơ tay lên ba lần, qua đó cho tôi hiểu rằng mười lăm là câu trả lời cho câu hỏi số học vô cùng khó khăn này.’ Về thổ dân Victoria, ông Stanbridge nói rằng: ‘Họ không có tên cho các con số lớn hơn hai, nhưng bằng cách lặp lại, họ đếm đến năm; họ cũng ghi chép lại các ngày của mặt trăng thông qua các ngón tay, các xương và khớp của cánh tay và đầu.’[306] Người Bororos ở Brazil tính toán: 1. couai; 2. macouai; 3. ouai; và rồi tiếp tục đếm trên các ngón tay của mình, lặp lại từ ouai này.[307] Dĩ nhiên, việc một người đếm trên các ngón tay của mình không có nghĩa là ngôn ngữ của anh ta phải thiếu các từ để diễn tả con số mà anh ta muốn tính, ở người hoang dã cũng như ở chúng ta. Chẳng hạn, người ta nhận thấy rằng khi những người bản địa ở Kamchatka được yêu cầu đếm, họ sẽ đếm tất cả các ngón tay của mình, rồi tất cả các ngón chân, qua đó lên đến 20, và rồi sẽ hỏi rằng, ‘Chúng ta phải làm gì tiếp theo đây?’ Thế nhưng qua khảo sát, người ta thấy rằng các con số lên đến 100 vẫn tồn tại trong ngôn ngữ của họ.[308] Các lữ khách lưu ý đến việc sử dụng phép đếm bằng ngón tay trong số các bộ lạc có thể, nếu họ muốn, nói ra con số đó, và hoặc là lặng lẽ đếm nó trên các ngón tay của mình, hoặc thông thường nhất là đi kèm từ ngữ với hành động; quả thực, không có phương pháp nào trong hai phương pháp này là hoàn toàn xa lạ ở châu Âu hiện đại. Hãy để cha Gumilla, một trong những nhà truyền giáo Dòng Tên thời kỳ đầu ở Nam Mỹ, mô tả cho chúng ta mối quan hệ giữa cử chỉ và lời nói trong việc đếm, và đồng thời gợi lên trong tâm trí chúng ta những ví dụ rất đáng chú ý (sẽ tìm thấy các ví dụ tương tự ở nơi khác) về hành động đồng thuận, nhờ đó các quy tắc quy ước trở nên cố định giữa các xã hội loài người, ngay cả trong một nghệ thuật đơn giản như nghệ thuật đếm trên ngón tay của một người. ‘Không ai trong chúng ta,’ ông nhận xét, ‘ngoại trừ một cách ngẫu nhiên, lại nói chẳng hạn như “một”, “hai”, v.v., và đồng thời đưa ra con số trên các ngón tay của mình bằng cách chạm vào chúng bằng bàn tay kia. Điều hoàn toàn ngược lại xảy ra trong số những người da đỏ. Chẳng hạn, họ nói “hãy đưa cho tôi một cái kéo”, và ngay lập tức họ giơ một ngón tay lên; “hãy đưa cho tôi hai cái”, và lập tức họ giơ hai ngón tay lên, cứ thế tiếp tục. Họ sẽ không bao giờ nói “năm” mà không giơ một bàn tay, không bao giờ nói “mười” mà không chìa cả hai tay, không bao giờ nói “hai mươi” mà không cộng dồn các ngón tay được đặt đối diện với các ngón chân. Hơn nữa, phương thức thể hiện các con số bằng các ngón tay lại khác nhau ở mỗi quốc gia. Để tránh rườm rà, tôi xin đưa ra làm ví dụ con số “ba”. Người Otomac để nói “3” thì chụm ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa lại, giữ các ngón khác gập xuống. Người Tamanac thì giơ ngón út, ngón áp út và ngón giữa lên, và khép hai ngón kia lại. Cuối cùng, người Maipure giơ ngón trỏ, ngón giữa và ngón áp út lên, giữ hai ngón còn lại ẩn đi.’[309] Trên khắp thế giới, mối quan hệ chung giữa việc đếm bằng ngón tay và đếm bằng từ ngữ có thể được phát biểu như sau. Vì sự sẵn sàng, sự dễ dàng và sự lĩnh hội các con số, một thứ số học hữu hình, chẳng hạn như được thực hiện trên các khớp ngón tay hoặc các ngón tay,[310] hoặc các đống sỏi hoặc hạt đậu, hay những công cụ nhân tạo hơn của chuỗi hạt mân côi hoặc bàn tính, có lợi thế lớn hơn nhiều so với việc tính toán bằng từ ngữ đến mức hầu như bắt buộc phải đi trước nó. Do đó, chúng ta không chỉ tìm thấy việc đếm bằng ngón tay ở những kẻ hoang dã và những người chưa qua giáo dục, tiếp tục duy trì một phần các hoạt động tinh thần của họ nơi ngôn ngữ chỉ có thể theo kịp một phần, mà nó còn giữ một vị trí và một công dụng không thể nghi ngờ trong số các quốc gia văn minh nhất, như một sự chuẩn bị cho và là phương tiện để tiếp thu các phương pháp số học cao hơn.

Giờ đây, có những bằng chứng hợp lệ để chứng minh rằng một đứa trẻ học đếm trên các ngón tay của mình thực sự tái tạo lại một quá trình lịch sử tinh thần của loài người; rằng trên thực tế con người đã đếm trên các ngón tay của mình trước khi họ tìm ra các từ ngữ cho các con số mà họ diễn tả bằng cách đó; rằng trong lĩnh vực văn hóa này, Ngôn ngữ-từ-ngữ không chỉ đi theo Ngôn ngữ-cử-chỉ, mà thực sự đã phát triển từ nó. Bằng chứng được đề cập ở đây chủ yếu là của chính ngôn ngữ, cho thấy rằng, trong số rất nhiều bộ lạc ở xa xôi, những con người muốn diễn tả số 5 bằng lời đã gọi nó đơn giản bằng tên gọi của bàn tay mà họ giơ lên để biểu thị nó, rằng tương tự như vậy họ nói hai bàn tay hoặc nửa con người để biểu thị số 10, rằng từ bàn chân tiếp tục việc tính toán lên đến 15, và đến 20, mà họ mô tả bằng lời cũng giống như trong cử chỉ bằng cả bàn tay và bàn chân lại với nhau, hoặc như một con người, và rằng cuối cùng, bằng các biểu hiện khác nhau ám chỉ trực tiếp đến các cử chỉ đếm trên ngón tay và ngón chân, họ đã đặt tên cho các con số này và các con số trung gian. Vì cần có một thuật ngữ xác định để mô tả các con số có ý nghĩa thuộc loại này, nên có thể tiện lợi khi gọi chúng là ‘số-bàn-tay’ hoặc ‘số-ngón-tay’. Một tuyển tập các trường hợp tiêu biểu sẽ phục vụ cho việc làm cho điều này trở nên có khả năng rằng mưu trí khéo léo này không phải, ít nhất là nói chung, được sao chép từ bộ lạc này sang bộ lạc khác hoặc được thừa hưởng từ một nguồn chung, mà việc nó tự hoàn thiện với tính cách nguyên bản và những chi tiết biến đổi một cách kỳ lạ cho thấy sự lặp lại của một quá trình phát triển tinh thần tương tự nhưng độc lập giữa các chủng tộc người khác nhau.

Cha Gilij, khi mô tả phép số học của người Tamanac trên sông Orinoco, đưa ra các con số của họ lên đến 4: khi họ đến số 5, họ diễn tả nó bằng từ amgnaitòne, dịch ra có nghĩa là ‘một bàn tay trọn vẹn’; số 6 được diễn tả bằng một thuật ngữ dịch cử chỉ đích xác thành lời itaconò amgnaponà tevinitpe ‘một [ngón] của bàn tay kia’, cứ thế lên đến 9. Khi đến số 10, họ diễn tả nó bằng lời là amgna aceponàre ‘cả hai bàn tay’. Để biểu thị số 11, họ duỗi cả hai bàn tay ra, và thêm bàn chân vào, họ nói puittaponà tevinitpe ‘thêm một vào bàn chân’, và cứ thế cho đến 15, đó là iptaitòne ‘một bàn chân trọn vẹn’. Tiếp theo là số 16, ‘thêm một vào bàn chân kia’, và cứ thế đến 20, tevin itòto, ‘một người da đỏ’; số 21, itaconò itòto jamgnàr bonà tevinitpe ‘thêm một vào các ngón tay của người da đỏ kia’; số 40, acciachè itòto, ‘hai người da đỏ’; từ đó tiếp tục đến 60, 80, 100, ‘ba, bốn, năm người da đỏ’, và xa hơn nữa nếu cần thiết. Nam Mỹ cực kỳ phong phú về những bằng chứng như vậy về một trạng thái ban đầu của việc đếm bằng ngón tay được ghi lại trong ngôn ngữ nói. Trong số nhiều ngôn ngữ khác của vùng này có các con số ngón tay có thể nhận diện được, tiếng Cayriri, Tupi, Abipone và Carib sánh ngang với tiếng Tamanac trong cách thức có hệ thống của họ để khai triển ‘bàn tay’, ‘các bàn tay’, ‘bàn chân’, ‘các bàn chân’, v.v. Những ngôn ngữ khác cho thấy những dấu vết mờ nhạt hơn của cùng quá trình đó, chẳng hạn như khi các con số 5 hoặc 10 được tìm thấy có liên quan đến các từ chỉ ‘bàn tay’, v.v., như khi tiếng Omagua sử dụng pua, ‘bàn tay’, cho số 5, và lặp lại từ này thành upapua cho số 10. Trong một số ngôn ngữ Nam Mỹ, một người được tính bằng ngón tay và ngón chân lên đến 20, trong khi trái ngược với điều này, có hai ngôn ngữ thể hiện một trạng thái tinh thần nghèo nàn thảm hại, khi con người chỉ đếm một bàn tay, do đó dừng lại ngay ở số 5; từ ghomen apa ‘một người’ trong tiếng Juri dùng để chỉ số 5; từ ibichó trong tiếng Cayriri được dùng để chỉ cả ‘cá nhân’ và số 5. Các con số ngón tay không chỉ giới hạn ở các bộ lạc đứng ở mức thấp hoặc cao trong giới hạn của tình trạng hoang dã. Người Muyscas ở Bogota nằm trong số các chủng tộc bản địa có văn hóa hơn của châu Mỹ, đứng ngang hàng với người Peru về mặt văn hóa, thế nhưng phương thức hình thành tương tự xuất hiện trong ngôn ngữ của những người Tamanac thô sơ lại có thể được lần theo trong ngôn ngữ của người Muyscas — những người khi họ đếm đến 11, 12, 13 thì đếm quihicha ata, bosa, mica, nghĩa là ‘bàn chân một, hai, ba’.[311] Chuyển sang Bắc Mỹ, Cranz, nhà truyền giáo người Moravian, đã mô tả như sau vào khoảng một thế kỷ trước phép đếm của người Greenland. ‘Các con số của họ,’ ông nói, ‘không đi xa, và đối với họ câu tục ngữ vẫn đúng rằng họ hầu như không thể đếm đến năm, vì họ đếm bằng năm ngón tay và sau đó nhận được sự trợ giúp của các ngón chân trên bàn chân của họ, và bằng cách đó với sự nhọc nhằn mới đưa ra được số hai mươi.’ Ngữ pháp hiện đại của người Greenland đưa ra các con số cũng tương tự như cách của Cranz, nhưng đầy đủ hơn. Từ chỉ số 5 là tatdlimat, có một số căn cứ để cho rằng trước đây nó có nghĩa là ‘bàn tay’; số 6 là arfinek-attausek, ‘trên bàn tay kia một’, hoặc ngắn gọn hơn là arfinigdlit, ‘những cái có ở trên bàn tay kia’; số 7 là arfinek-mardluk, ‘trên bàn tay kia hai’; số 13 là arkanck-pingasut, ‘trên bàn chân thứ nhất ba’; số 18 là arfersanek-pingasut, ‘trên bàn chân kia ba’; khi họ đạt đến số 20, họ có thể nói inuk nâvdlugo, ‘một con người đã kết thúc’, hoặc inûp avatai nâvdlugit, ‘các chi bên ngoài của con người đã kết thúc’; theo cách này bằng cách đếm một số người, họ vươn tới các con số cao hơn,

do đó biểu thị, chẳng hạn, số 53 là inûp pinga-jugsâne arkanek-pingasut, ‘trên người thứ ba ở bàn chân thứ nhất ba’.[312] Nếu chúng ta chuyển từ những người Greenland thô sơ sang người Aztec tương đối văn minh, chúng ta sẽ tìm thấy ở lục địa phía Bắc cũng như phía Nam những dấu vết của phép đếm ngón tay thời kỳ đầu còn sót lại ở các chủng tộc cao hơn. Tên gọi tiếng Mexico cho bốn con số đầu tiên thì tối nghĩa về mặt từ nguyên cũng giống như tên gọi của chính chúng ta. Nhưng khi chúng ta đến số 5, chúng ta thấy điều này được diễn tả bằng macuilli; và vì ma (ma-itl) có nghĩa là ‘bàn tay’, còn cuiloa có nghĩa là ‘vẽ hoặc miêu tả’, nên có khả năng là từ chỉ số 5 có lẽ đã mang ý nghĩa gì đó giống như ‘miêu tả-bàn-tay’. Trong số 10, matlactli, từ ma, ‘bàn tay’, lại xuất hiện lần nữa, trong khi tlactli có nghĩa là một nửa, và được biểu thị trong các bản vẽ tranh tường Mexico bằng hình vẽ của nửa người từ thắt lưng trở lên; do đó có vẻ như số 10 của người Aztec có nghĩa là ‘nửa-bàn-tay’ của một con người, giống như trong số người Towka ở Nam Mỹ, số 10 được diễn tả là ‘nửa con người’, trong khi một con người trọn vẹn là 20. Khi người Aztec đếm đến 20, họ gọi nó là cempoalli, ‘một lần đếm’, rõ ràng mang ý nghĩa giống như ở những nơi khác, một con người trọn vẹn, cả ngón tay lẫn ngón chân.

Trong số các chủng tộc có nền văn hóa thấp hơn ở những nơi khác, các sự kiện tương tự cũng có thể được quan sát thấy. Ngôn ngữ Tasmania một lần nữa cho thấy con người dừng lại ở việc đếm chính mình khi anh ta đã giơ một bàn tay lên và đếm các ngón tay của nó; điều này xuất hiện qua danh sách của Milligan đã đề cập trước đó, kết thúc bằng puggana, ‘con người’, dùng để chỉ số 5. Một số bộ lạc Tây Úc đã làm tốt hơn thế rất nhiều, sử dụng từ chỉ ‘bàn tay’ của họ, marh-ra; marh-jin-bang-ga, ‘một nửa số bàn tay’, là 5; marh-jin-bang-ga-gudjir-gyn, ‘một nửa số bàn tay và một’, là 6, cứ thế tiếp tục; marh-jin-belli-belli-gudjir-jina-bang-ga, ‘bàn tay ở cả hai bên và một nửa bàn chân’, là 15.[313] Như một ví dụ từ các ngôn ngữ Melanesia, tiếng Maré sẽ làm ví dụ; nó tính số 10 là ome re rue tubenine, có lẽ là ‘hai bên’ (tức là cả hai bàn tay), số 20 là sa re ngome, ‘một người’, v.v.; do đó trong sách Giăng chương 5 câu 5 ‘kẻ đã mang bệnh liệt ba mươi tám năm’, con số 38 được diễn tả bằng cụm từ, ‘một người và cả hai bên năm và ba’.[314] Trong các ngôn ngữ Mã Lai-Đa Đảo, từ tiêu biểu cho số 5 là lima hoặc rima, ‘bàn tay’, và mối liên hệ này không bị mất đi bởi các biến thể ngữ âm giữa các nhánh khác nhau của ngữ hệ này, như trong tiếng Malagasy là dimy, tiếng Marquesan là fima, tiếng Tongan là nima, nhưng trong khi từ lima và các biến thể của nó có nghĩa là 5 ở hầu như tất cả các phương ngữ Mã Lai-Đa Đảo, thì nghĩa ‘bàn tay’ của nó lại bị giới hạn trong một khu vực hẹp hơn nhiều, cho thấy rằng từ này đã trở nên bền vững hơn bằng cách chuyển sang trạng thái của một từ số truyền thống. Trong các ngôn ngữ thuộc ngữ hệ Mã Lai-Đa Đảo, người ta thường thấy rằng số 6, v.v., được tiếp tục bằng các từ có từ nguyên không còn rõ ràng nữa, nhưng các hình thức lima-sa, lima-zua ‘bàn-tay-một’, ‘bàn-tay-hai’, đã được tìm thấy đang làm nhiệm vụ thay cho số 6 và số 7.[315] Ở Tây Phi, bản tường trình của Kölle về ngôn ngữ Vei đưa ra một trường hợp điển hình. Những người da đen này phụ thuộc vào các ngón tay của họ đến mức một số người hầu như không thể đếm nếu không có chúng, và các ngón chân của họ rất thuận tiện khi người tính toán ngồi xổm trên mặt đất. Người Vei và nhiều bộ lạc châu Phi khác, khi đếm, trước tiên đếm các ngón tay của bàn tay trái của họ, nên nhớ rằng bắt đầu từ ngón út, sau đó theo cùng cách đó là các ngón tay của bàn tay phải, và sau đó là các ngón chân. Từ chỉ số 20 trong tiếng Vei, mō bánde, hiển nhiên có nghĩa là ‘một con người (mo) đã xong xuôi (bande)’, và tương tự như vậy cho 40, 60, 80, v.v., ‘hai người, ba người, bốn người, v.v., đã xong xuôi’. Một điểm thú vị là những người da đen sử dụng các cụm từ này đã mất đi ý nghĩa mô tả ban đầu của chúng — các từ này đã trở thành những con số thuần túy đối với họ.[316] Cuối cùng, để đưa vào tâm trí chúng ta một bức tranh về một người đang đếm trên các ngón tay của mình, và bị ấn tượng bởi ý niệm rằng nếu anh ta mô tả các cử chỉ của mình bằng lời, những từ này có thể trở thành một tên gọi thực sự cho con số đó, có lẽ không có ngôn ngữ nào trên thế giới vượt qua được tiếng Zulu. Việc đếm trên các ngón tay của người Zulu nhìn chung bắt đầu bằng ngón út của bàn tay trái của anh ta. Khi anh ta đến số 5, anh ta có thể gọi nó là edesanta ‘kết thúc bàn tay’; sau đó anh ta tiếp tục đến ngón cái của bàn tay phải, và do đó từ tatisitupa ‘lấy ngón cái’ trở thành một từ số cho số 6. Sau đó động từ komba ‘chỉ’, biểu thị ngón trỏ, hoặc ‘ngón trỏ’, tạo thành con số tiếp theo, số 7. Do đó, trả lời cho câu hỏi ‘Chủ của anh đã cho anh bao nhiêu?’ một người Zulu sẽ nói ‘U kombile’ ‘Anh ta đã chỉ bằng ngón trỏ’, nghĩa là, ‘Ông ấy đã cho tôi bảy’, và cách sử dụng kỳ lạ này của động từ chỉ số được thể hiện trong một ví dụ như ‘amahasi akombile’ ‘những con ngựa đã chỉ’, nghĩa là, ‘có bảy con ngựa như vậy’. Tương tự như vậy, Kijangalobili ‘giữ lại hai ngón tay’, nghĩa là 8, và Kijangalolunje ‘giữ lại một ngón tay’, nghĩa là 9, dẫn đến kumi, 10; vào lúc hoàn thành mỗi con số mười, hai bàn tay với các ngón tay mở được vỗ vào nhau.[317]

Giả thuyết cho rằng phương thức đếm nguyên thủy của con người là sự tính toán hữu hình trên đôi tay của mình, và bằng chứng cho thấy nhiều con số hiện đang sử dụng thực sự bắt nguồn từ một trạng thái sự việc như vậy, là một bước tiến lớn hướng tới việc khám phá ra nguồn gốc của các con số nói chung. Liệu chúng ta có thể đi xa hơn, và phát biểu một cách khái quát quá trình tinh thần mà nhờ đó những kẻ hoang dã, chưa có các con số trong ngôn ngữ của họ, đã đi đến việc phát minh ra chúng hay không? Nguồn gốc của những con số không được đặt tên theo bàn tay và bàn chân là gì, và đặc biệt là các con số dưới năm, những con số mà sự phái sinh như vậy hầu như không thích hợp? Chủ đề này là một chủ đề đặc biệt khó khăn. Tuy nhiên, về mặt nguyên tắc thì nó không hoàn toàn mơ hồ, vì một số bằng chứng đang xuất hiện về sự hình thành thực tế của các từ số mới, những từ này được tạo ra đơn giản bằng cách ép phục vụ các tên gọi của đồ vật hoặc hành động có tính chất nào đó thích hợp với mục đích.

Những người sở hữu đầy đủ các tập hợp từ số được thừa kế trong ngôn ngữ của chính họ đôi khi vẫn thấy thuận tiện khi phát minh ra những từ mới. Do đó, các học giả Ấn Độ, từ nhiều thời đại trước, đã chọn một tập hợp các từ từ một trí nhớ kỹ thuật để ghi lại các ngày tháng và con số. Họ chọn những từ này vì những lý do mà phần lớn vẫn còn rõ ràng; do đó ‘mặt trăng’ hoặc ‘trái đất’ diễn tả số 1, vì mỗi thứ chỉ có một; số 2 có thể được gọi là ‘mắt’, ‘cánh’, ‘cánh tay’, ‘hàm’, vì chúng đi thành từng cặp; đối với số 3, họ nói ‘Rama’, ‘lửa’, hoặc ‘phẩm chất’, vì người ta cho rằng có ba vị Rama, ba loại lửa, ba phẩm chất (guna); đối với số 4, người ta sử dụng ‘veda’, ‘tuổi’, hoặc ‘ đại dương’, vì mỗi loại được công nhận là có bốn; ‘mùa’ cho số 6, bởi vì họ tính sáu mùa; ‘hiền triết’ hoặc ‘nguyên âm’ cho số 7, từ bảy nhà hiền triết và bảy nguyên âm; và cứ thế với các con số cao hơn, ‘mặt trời’ cho số 12, bởi vì mười hai danh xưng hằng năm của nó, hoặc ‘hoàng đạo’ từ mười hai cung của nó, và ‘móng tay’ cho số 20, một từ tình cờ mang theo hệ thống ký hiệu ngón tay. Vì tiếng Phạn rất phong phú về các từ đồng nghĩa, và vì ngay cả bản thân các con số cũng có thể được sử dụng, nên việc soạn thảo các cụm từ hoặc các bài thơ vô nghĩa để ghi lại các chuỗi con số bằng hệ thống trí nhớ nhân tạo này trở nên rất dễ dàng. Sau đây là một công thức thiên văn của người theo đạo Hindu, một danh sách các con số đề cập đến các ngôi sao thuộc các chòm sao mặt trăng. Mỗi từ đóng vai trò là từ tương đương ghi nhớ của con số được đặt phía trên nó trong bản dịch tiếng Anh. Nguyên tắc chung theo đó các từ được chọn để biểu thị các con số hiển thị rõ ràng mà không cần giải thích thêm:—

‘Vahni tri rtvishu gunendu kritâgnibhûta

Bânâsvinetra çara bhûku yugabdhi râmâh

Rudrâbdhirâmagunavedaçatâ dviyugma

Dantâ budhairabhihitâh kramaço bhatârâh.’

3 3 6 5 3 1

‘Lửa, ba, mùa, mũi tên, phẩm chất, mặt trăng,

4 3 5

mặt bốn của súc sắc, lửa, nguyên tố,

5 2 2 5 1 1 4 4 3

Mũi tên, Asvin, mắt, mũi tên, trái đất, trái đất, tuổi, đại dương, Rama,

11 4 3 3 4 100 2 2

Rudra, đại dương, Rama, phẩm chất, Veda, trăm, hai, cặp đôi,

32

Răng: bởi những người thông thái đã được đặt ra một cách có thứ tự các chúa tể hùng mạnh.’[318]

Wilhelm von Humboldt, khi nghiên cứu hệ thống đếm kỳ lạ này, chợt nhận ra rằng ông đang chứng kiến bằng chứng về một quá trình rất giống với quá trình thực sự đã tạo ra các từ số thông thường biểu thị một, hai, ba, v.v., trong các ngôn ngữ khác nhau trên thế giới. Đoạn trích sau đây trong đó, hơn sáu mươi năm trước, ông đã trình bày quan điểm này, dường như đối với tôi chứa đựng một chiếc chìa khóa gần như hoàn hảo cho lý thuyết về các từ số. ‘Nếu chúng ta xem xét nguồn gốc của các con số thực tế, quá trình hình thành của chúng rõ ràng tỏ ra giống với quá trình được mô tả ở đây. Quá trình sau không gì khác ngoài một sự mở rộng rộng lớn hơn của quá trình trước. Bởi vì khi số 5 được diễn tả, như trong một số ngôn ngữ thuộc hệ Mã Lai, bằng “bàn tay” (lima), điều này chính xác cũng giống như khi trong sự mô tả các con số bằng lời, số 2 được biểu thị bằng “cánh”. Không thể chối cãi rằng nằm ở gốc rễ của tất cả các con số là những ẩn dụ như vậy, mặc dù giờ đây chúng ta không phải lúc nào cũng có thể lần theo được. Nhưng dường như người ta sớm cảm thấy rằng sự đa dạng của các ký hiệu như vậy cho cùng một con số là thừa thãi, quá cồng kềnh, và dẫn đến những sự hiểu lầm.’ Do đó, ông lập luận tiếp, các từ đồng nghĩa của các con số rất hiếm. Và đối với các quốc gia có ý thức sâu sắc về ngôn ngữ, cảm giác đó hẳn đã sớm hiện diện, mặc dù có lẽ không dâng lên thành ý thức rõ ràng, rằng những ký ức về từ nguyên ban đầu và ý nghĩa mô tả của các con số tốt hơn hết là nên để biến mất, nhằm để cho chính các con số trở thành những thuật ngữ quy ước thuần túy.

Bằng chứng mang tính hướng dẫn nhất mà tôi tìm thấy liên quan đến sự hình thành các con số, ngoài các con số ngón tay, trong số các chủng tộc thấp kém, xuất hiện trong việc sử dụng ở cả hai bán cầu về thứ có thể được gọi là tên-gọi-chữ-số dành cho trẻ em. Ở Úc, một trường hợp rõ rệt đã xảy ra. Với tất cả sự nghèo nàn của các ngôn ngữ thổ dân về các con số, số 3 thường được sử dụng với nghĩa ‘vài hoặc nhiều’, những người bản địa ở quận Adelaide vì một mục đích cụ thể đã đi xa hơn giới hạn hẹp này, và sở hữu một hệ thống số đặc biệt về mọi mặt, kéo dài có lẽ đến số 9. Họ đặt tên cố định cho con cháu của mình theo thứ tự tuổi tác, được ông Eyre ghi chép lại như sau: 1. Kertameru; 2. Warritya; 3. Kudnutya; 4. Monaitya; 5. Milaitya; 6. Marrutya; 7. Wangutya; 8. Ngarlaitya; 9. Pouarna. Đây là tên của nam giới, trong khi tên của nữ giới khác nhau ở phần vĩ ngữ. Chúng được đặt khi mới sinh ra, và những tên gọi dễ phân biệt hơn sẽ được chọn ngay sau đó.[319] Một thói quen tương tự xuất hiện trong số những người Mã Lai, những người ở một số vùng được ghi nhận là sử dụng một chuỗi gồm bảy tên gọi theo thứ tự tuổi tác, bắt đầu bằng 1. Sulung (‘trưởng’); 2. Awang (‘bạn, người đồng hành’), và kết thúc bằng Kechil (‘đứa nhỏ’), hoặc Bongsu (‘út’). Đây là dành cho con trai; con gái có thêm tiếp đầu ngữ Meh, và các biệt danh phải được sử dụng để phân biệt trong thực tế.[320] Ở Madagascar, mối liên hệ Mã Lai tự bộc lộ qua sự xuất hiện của một tập hợp các tên gọi tương tự được đặt cho trẻ em để thay thế cho tên riêng, tuy nhiên những tên này thường được thay thế trong những năm sau đó. Nam giới; Lahimatoa (‘nam đầu lòng’), Lah-ivo (‘nam trung gian’); Ra-fara-lahy (‘nam sinh cuối cùng’). Nữ giới; Ramatoa (‘nữ đầu lòng’), Ra-ivo (‘trung gian’), Ra-fara-vavy (‘nữ sinh cuối cùng’).[321] Hệ thống này tồn tại ở Bắc Mỹ. Người ta đã tìm thấy được sử dụng trong số người Dacotas hai chuỗi tên gọi sau đây cho con trai và con gái theo thứ tự sinh đẻ. Con trai cả, Chaské; thứ hai, Haparm; thứ ba, Ha-pe-dah; thứ tư, Chatun; thứ năm, Harka. Con gái cả, Wenonah; thứ hai, Harpen; thứ ba, Harpstenah; thứ tư, Waska; thứ năm, We-harka. Những tên gọi chỉ thuần túy là chữ số này được chúng duy trì xuyên suốt thời thơ ấu, cho đến khi họ hàng hoặc bạn bè của chúng tìm thấy dịp để thay thế chúng bằng cách ban tặng một tên gọi cá nhân mang tính phân biệt hơn.[322] Châu Phi mang lại những ví dụ tiếp theo.[323]

Đối với các con số theo nghĩa thông thường, Polynesia cho thấy các trường hợp hình thành mới đáng chú ý. Bên cạnh hệ thống từ số nổi tiếng đang thịnh hành ở Polynesia, các thuật ngữ đặc biệt đã phát triển theo thời gian. Do đó, thói quen thay đổi những từ phát ra âm thanh quá giống với tên của một vị vua đã dẫn đến việc người Tahiti khi các vị thủ lĩnh mới lên ngôi đã tạo ra một vài từ mới cho các con số. Do đó, khi cần một thuật ngữ mới cho số 2 thay vì từ rua thông thường, vì những lý do hiển nhiên, họ đã chọn từ piti, ‘cùng nhau’, và biến nó thành một từ số, trong khi để có một từ mới cho số 5 thay vì rima, ‘bàn tay’, thứ đã phải ngừng sử dụng, họ thay thế bằng pae, ‘phần, bộ phận’, có lẽ có nghĩa là sự phân chia của hai bàn tay. Những từ như thế này, được giới thiệu ở Polynesia vì lý do nghi lễ, được kỳ vọng là sẽ lại bị bỏ đi và các từ cũ được thay thế, khi lý do cho sự loại trừ tạm thời của chúng chấm dứt, thế nhưng số 2 và số 5 mới, piti và pae, đã trở thành các con số thích hợp một cách tích cực đến mức chúng đứng thay cho rua và rima trong bản dịch tiếng Tahiti của Phúc âm Giăng được thực hiện vào thời điểm đó. Hơn nữa, các thói quen đếm đặc biệt khác nhau ở các hòn đảo Nam Hải đã có ảnh hưởng của chúng đối với ngôn ngữ. Người Marquesas, khi đếm cá hoặc trái cây bằng một cái ở mỗi tay, đã đi đến việc sử dụng một hệ thống đếm bằng các cặp thay vì bằng các đơn vị. Họ bắt đầu với tauna, ‘một cặp’, do đó trở thành một con số tương đương với 2; sau đó họ đếm tiếp bằng các cặp, sao cho khi họ nói takau hoặc 10, ý thực sự của họ là 10 cặp hoặc 20. Đối với quả sa kê, vì họ quen buộc chúng lại thành từng chùm bốn quả, họ bắt đầu với từ pona, ‘chùm’, do đó trở thành một từ số thực sự cho số 4, và ở đây một lần nữa họ tiếp tục đếm bằng các chùm, sao cho khi họ nói takau hoặc 10, ý họ là 10 chùm hoặc 40. Sự hoang mang về mặt ngữ văn do đó gây ra trong các từ vựng Polynesia là phi thường; trong tiếng Tahiti, v.v., rau và mano, vốn có nghĩa là 100 và 1.000, đã đến mức biểu thị 200 và 2.000, trong khi ở Hawaii sự nhân đôi thứ hai trong ý nghĩa của chúng làm cho chúng tương đương với 400 và 4.000. Hơn nữa, có vẻ như có thể lần theo sự chuyển đổi các tên gọi thích hợp của các đồ vật xa hơn nữa ở Polynesia trong từ tekau, 10, trong tiếng Tongan và Maori, dường như là một từ dùng để chỉ ‘gói’ hoặc ‘bó’, được sử dụng khi đếm củ từ và cá, cũng như trong từ tefuhi, 100, bắt nguồn từ fuhi, ‘bó hoặc gánh’.[324]

Ở châu Phi, các sự hình thành chữ số đặc biệt cũng đáng được chú ý. Trong ngôn ngữ Yoruba, số 40 được gọi là ogodzi, ‘một chuỗi’, bởi vì vỏ sò được xâu thành chuỗi mỗi chuỗi bốn mươi con, và 200 là igba, ‘một đống’, lại có ý nghĩa là một đống vỏ sò. Trong số người Dahoman theo cách tương tự, 40 vỏ sò tạo thành một kade hoặc ‘chuỗi’, 50 chuỗi tạo thành một afo hoặc ‘cái đầu’; những từ này trở thành các từ số cho 40 và 2.000. Khi vua Dahome tấn công Abeokuta, có ghi chép lại rằng ông ta đã bị đánh lui với tổn thất nặng nề là ‘hai đầu, hai mươi chuỗi và hai mươi vỏ sò’ người, điều đó có nghĩa là 4.820.[325]

Trong số các quốc gia văn minh, có ngôn ngữ gắn chặt nhất với các con số mang tính quy ước và khó hiểu của tổ tiên họ, thì việc tìm thấy các thuật ngữ khác vốn dĩ đã là các con số trong thực tế cũng là điều thông thường, và có thể rơi ngay vào các vị trí được công nhận của các con số đó, nếu vì bất kỳ cơ hội nào mà một khoảng trống được tạo ra cho chúng trong chuỗi truyền thống. Chẳng hạn, nếu chúng ta có chỗ cho một từ mới thay cho số hai, thì hoặc pair (tiếng Latin par, ‘bằng nhau’) hoặc couple (tiếng Latin copula, ‘mối liên kết hoặc sợi dây’) đều sẵn sàng lấp vào vị trí của nó. Thay cho số hai mươi, từ tiếng Anh hay score, ‘vết khấc’, sẽ phục vụ mục đích của chúng ta, trong khi đó, cho cùng mục đích này, tiếng Đức có thể sử dụng stiege, có lẽ với ý nghĩa gốc là ‘một chuồng đầy gia súc, một cái chuồng lợn’; tiếng Na Uy cổ drôtt, ‘một đoàn thể’, tiếng Đan Mạch, snees. Danh sách các từ như vậy được sử dụng, nhưng không được phân loại theo ngữ pháp như các con số trong các ngôn ngữ châu Âu, cho thấy sự đa dạng lớn: ví dụ như, tiếng Na Uy cổ, flockr (bầy đàn), 5; sveit, 6; drôtt (đoàn người), 20; thiodh (dân tộc), 30; fölk (dân tộc), 40; öld (dân tộc), 80; her (quân đội), 100; Sleswig, schilk, 12 (giống như thể chúng ta tạo ra một con số từ ‘shilling’); tiếng Thượng Đức Trung cổ, rotte, 4; tiếng Thượng Đức Hiện đại, mandel, 15; schock (bó), 60. Người Lett mang lại một sự tương đương kỳ lạ đối với các trường hợp Polynesia vừa được trích dẫn. Họ ném cua và cá nhỏ ba con một lần khi đếm chúng, và do đó từ mettens, ‘một cú ném’, đã mang nghĩa là 3; trong khi cá bơn được buộc thành từng mẻ ba mươi con, từ kahlis, ‘một sợi dây’, trở thành một thuật ngữ để diễn tả con số này.[326]

Bằng hai cách khác, sự sản sinh các con số từ các từ mang tính mô tả thuần túy có thể được quan sát thấy ở cả các chủng tộc thấp kém lẫn cao cấp. Người Galla không có các thuật ngữ phân số bằng số, nhưng họ tạo ra một tập hợp các thuật ngữ tương đương từ sự phân chia các bánh muối mà họ sử dụng làm tiền tệ. Do đó tchabnana, ‘một mảnh vỡ’ (từ tchaba, ‘làm vỡ’, như chúng ta nói ‘một phân số’), nhận được ý nghĩa của một nửa; một thuật ngữ mà chúng ta có thể so sánh với tiếng Latin dimidium, tiếng Pháp demi. Các số thứ tự thường bắt nguồn từ các số đếm, như thứ ba, thứ tư, thứ năm, từ ba, bốn, năm. Nhưng trong số những con số rất nhỏ, người ta có thể thấy bằng chứng về sự hình thành độc lập hoàn toàn không kết nối với một hệ thống số mang tính quy ước đã có sẵn. Do đó người Greenland không sử dụng từ ‘một’ của mình để tạo thành ‘thứ nhất’, mà gọi nó là sujugdlek, ‘đứng đầu’, cũng không dùng ‘hai’ để tạo thành ‘thứ hai’, mà ông gọi là aipâ, ‘bạn đồng hành của nó’; chỉ đến ‘thứ ba’ ông mới dùng đến các số đếm của mình, và hình thành pingajuat liên quan đến pingasut, 3. Tương tự, trong các ngôn ngữ Ấn-Âu, số thứ tự prathamas, πρῶτος, primus, thứ nhất, không có liên quan gì đến số đếm ‘one’, mà liên quan đến giới từ pra, ‘trước’, mang ý nghĩa đơn giản là ‘đứng đầu’; và mặc dù người Hy Lạp và người Đức gọi số thứ tự tiếp theo là δεύτερος, zweite, từ δυό, zwei, chúng ta gọi nó là second, tiếng Latin secundus, ‘kẻ đi theo’ (sequi), đây lại là một từ mang ý nghĩa mô tả.

Nếu chúng ta cho phép mình pha trộn trong giây lát cái đang có với cái có thể có, chúng ta có thể thấy lĩnh vực phát triển có thể có của các con số là vô hạn biết bao chỉ bằng cách áp dụng đơn giản tên gọi của các đồ vật quen thuộc. Theo gương của những người Sleswig, chúng ta có thể biến shilling thành một con số cho số 12, và tiếp tục biểu thị số 4 bằng groat; tuần sẽ cung cấp cho chúng ta một tên gọi cho số 7, và cỏ ba lá cho số 3. Nhưng phương pháp mô tả đơn giản này không phải là phương pháp duy nhất có sẵn cho mục đích tạo ra các con số. Ngay khoảnh khắc bất kỳ chuỗi tên gọi nào được sắp xếp theo trật tự đều đặn trong tâm trí chúng ta, nó sẽ trở thành một cỗ máy đếm. Tôi từng đọc về một cô bé được giao nhiệm vụ đếm các lá bài, và con bé đã đếm chúng theo đó, Tháng Một, Tháng Hai, Tháng Ba, Tháng Tư. Dĩ nhiên, con bé có thể đã tính chúng là Thứ Hai, Thứ Ba, Thứ Tư. Thật thú vị khi tìm thấy một trường hợp thuộc cùng loại đó trong ngôn ngữ của những người trưởng thành. Chúng ta biết rằng giá trị số của các chữ cái tiếng Do-thái được đưa ra liên quan đến vị trí của chúng trong bảng chữ cái, được sắp xếp vì những lý do hầu như không liên quan gì đến số học. Bảng chữ cái Hy Lạp được sửa đổi từ bảng chữ cái Semitic, nhưng thay vì để giá trị số của các chữ cái của họ tuân theo suốt bảng chữ cái mới sắp xếp của mình, họ tính α, β, γ, δ, ε, đúng quy cách, là 1, 2, 3, 4, 5,

sau đó đặt σ vào vị trí 6, và cứ thế xoay sở để để ι đứng ở vị trí 10, giống như י trong tiếng Do-thái, nơi nó thực sự là chữ cái thứ 10. Giờ đây, khi đã có sự sắp xếp quy ước này của các chữ cái được thực hiện, hiển nhiên là một người Hy Lạp phải từ bỏ hệ thống thông thường 1, 2, 3,—εἷς, δύο, τρεῖς, có thể thay thế vị trí của chúng ngay lập tức bằng cách áp dụng tên gọi của các chữ cái đã được định đoạt để đứng cho chúng, do đó gọi 1 là alpha, 2 là bēta, 3 là gamma, và cứ thế tiếp tục. Điều đó thực sự đã xảy ra; một phương ngữ tiếng lóng đáng chú ý của Albania, mang cấu trúc tiếng Hy Lạp, mặc dù đầy rẫy những từ mượn và được thần bí hóa cùng các ẩn dụ và biệt hiệu chỉ được hiểu bởi những người trong cuộc, lại có, từ tương đương cho ‘bốn’ và ‘mười’, các từ δέλτα và ἰῶτα.[327]

Trong khi nhấn mạnh giá trị của những bằng chứng như thế này trong việc vạch ra các nguyên tắc chung của sự hình thành các con số, tôi thấy việc đảm nhận nhiệm vụ nguyên cứu từ nguyên các con số thực tế trong các ngôn ngữ trên thế giới, nằm ngoài giới hạn an toàn của các hệ thống số ngón tay trong số các chủng tộc thấp kém đã được thảo luận, là không mang lại hiệu quả. Có thể có trong ngôn ngữ của các chủng tộc thấp kém những di tích khác của từ nguyên học của các con số, mang lại manh mối cho các ý niệm theo đó chúng được chọn cho một mục đích số học, nhưng những di tích như vậy có vẻ khan hiếm và mơ hồ.[328] Thậm chí có thể tồn tại những dấu vết của sự phát triển các con số từ các từ mô tả trong các ngôn ngữ Ấn-Âu của chúng ta, trong tiếng Do-thái và tiếng Ả Rập, trong tiếng Trung. Những từ nguyên học như vậy đã được đưa ra,[329] và chúng phù hợp với những gì đã biết về các nguyên tắc mà trên đó các con số hoặc các bán-chữ-số thực sự được hình thành. Nhưng theo như tôi đã có thể kiểm tra các bằng chứng, tất cả các trường hợp đều có vẻ đáng ngờ về mặt ngữ văn đến nỗi tôi không thể đưa ra chúng để hỗ trợ cho lý thuyết trước mặt chúng ta, và quả thực, tôi nghĩ rằng nếu chúng thành công trong việc tự thiết lập, thì đó sẽ là do lý thuyết hỗ trợ chúng, chứ không phải bằng việc chúng hỗ trợ lý thuyết. Trạng thái sự việc này, quả thực, hoàn toàn phù hợp với quan điểm được áp dụng ở đây, đó là khi một từ đã được chọn để phục vụ như một con số, và từ đó trở đi cần thiết như một ký hiệu thuần túy, thì việc để cho nó tan rã thành một từ có vẻ vô nghĩa — nơi mà tất cả dấu vết của từ nguyên ban đầu đã biến mất — sẽ trở thành lợi ích của ngôn ngữ.

Do đó, nghiên cứu từ nguyên học về sự phái sinh của các từ số hầu như không tiến xa một cách an toàn ngoài việc cho thấy trong các ngôn ngữ có văn hóa thấp hơn các trường hợp thường xuyên của số ngón tay, những từ được lấy từ sự mô tả trực tiếp các cử chỉ đếm trên ngón tay và ngón chân. Ngoài điều này ra, một luận điểm mạnh mẽ khác có sẵn, thực tế bao trùm hầu như toàn bộ phạm vi của vấn đề. Các hệ thống số của thế giới, thông qua các sơ đồ sắp xếp thực tế của chúng, mở rộng và củng cố quan điểm cho rằng đếm trên ngón tay và ngón chân là phương pháp tính toán ban đầu của con người, được tiếp nhận và thể hiện bằng ngôn ngữ. Đếm các ngón tay trên một bàn tay lên đến 5, và sau đó tiếp tục với bàn tay thứ hai,

là một hệ thống ký hiệu theo năm, hay như người ta gọi là, hệ ký hiệu cơ số năm. Đếm bằng cách sử dụng cả hai bàn tay đến 10, và từ đó tính toán bằng chục, là hệ ký hiệu thập phân. Tiếp tục bằng bàn tay và bàn chân đến 20, và từ đó tính toán bằng hai mươi, là hệ ký hiệu nhị thập phân (cơ số hai mươi). Giờ đây, mặc dù trong tỷ lệ lớn hơn của các ngôn ngữ được biết đến, không có đề cập rõ ràng nào về ngón tay và ngón chân, bàn tay và bàn chân, là có thể quan sát được trong chính các con số, thế nhưng chính các sơ đồ ký hiệu cơ số năm, thập phân và nhị thập phân vẫn ở đó để làm chứng cho việc đếm bằng tay và chân như vậy đã là phương pháp ban đầu mà trên đó chúng được thành lập. Dường như không có nghi ngờ gì rằng số lượng ngón tay đã dẫn đến việc áp dụng con số không đặc biệt thích hợp là 10 như một chu kỳ trong việc tính toán, sao cho số học thập phân dựa trên giải phẫu con người. Điều này quá hiển nhiên đến mức thật kỳ lạ khi thấy Ovid trong những dòng thơ nổi tiếng của mình đặt hai sự kiện này sát cạnh nhau, mà không thấy rằng sự kiện thứ hai là hệ quả của sự kiện thứ nhất.

‘Annus erat, decimum cum luna receperat orbem.

Hic numerus magno tune in honore fuit.

Seu quia tot digiti, per quos numerare solemus:

Seu quia bis quino femina mense parit:

Seu quod adusque decem numero crescente venitur,

Principium spatiis sumitur inde novis.’[330]

Khi khảo sát các ngôn ngữ trên thế giới nói chung, người ta thấy rằng trong số các bộ lạc hoặc quốc gia tiến bộ đủ trong số học để đếm đến năm bằng lời, chiếm ưu thế, với hầu như không có ngoại lệ, là một phương pháp được thành lập trên phép đếm bằng tay, cơ số năm, thập phân, nhị thập phân, hoặc sự kết hợp của những cái này. Đối với các ví dụ hoàn hảo về phương pháp cơ số năm, chúng ta có thể lấy một chuỗi Polynesia chạy 1, 2, 3, 4, 5, 5·1, 5·2, v.v.; hoặc một chuỗi Melanesia có thể được dịch là 1, 2, 3, 4, 5, cái thứ hai 1, cái thứ hai 2, v.v. Cơ số năm dẫn đến thập phân được thể hiện rất rõ trong chuỗi Fellata 1 ... 5, 5·1 ... 10, 10·1 ... 10·5, 10·5·1 ... 20, ... 30, ... 40, v.v. Hệ thập phân thuần túy có thể được lấy ví dụ từ tiếng Do-thái 1, 2 ... 10, 10·1 ... 20, 20·1 ... v.v. Hệ nhị thập phân thuần túy không phải là thông thường, vì lý do hiển nhiên rằng một tập hợp các con số độc lập đến 20 sẽ bất tiện; nhưng nó tiếp nối từ cơ số năm, như trong tiếng Aztec, có thể được phân tích thành 1, 2 ... 5, 5·1 ... 10, 10·1 ... 10·5, 10·5·1 ... 20, 20·1 ... 20·10, 20·10·1 ... 40, v.v.; hoặc từ thập phân, như trong tiếng Basque, 1 ... 10, 10·1 ... 20, 20·1 ... 20·10, 20·10·1 ... 40 v.v.[331] Dường như không cần thiết phải đưa ra ở đây khối lượng chi tiết ngôn ngữ học cần thiết cho bất kỳ sự chứng minh chung nào về các nguyên tắc đếm này trong số các chủng tộc trên thế giới. Giáo sư Pott, ở Halle, đã xử lý chủ đề này dựa trên bằng chứng ngữ văn tỉ mỉ, trong một chuyên khảo đặc biệt,[332] đây tình cờ là bộ sưu tập chi tiết phong phú nhất liên quan đến các con số, không thể thiếu đối với các sinh viên bận tâm đến những cuộc điều tra như vậy. Đối với mục đích hiện tại, sự khái quát hóa thô sơ sau đây có thể là đủ, rằng hệ thống cơ số năm thường xuyên xuất hiện ở các chủng tộc thấp hơn, trong số đó hệ thống nhị thập phân cũng phát triển đáng kể, nhưng xu hướng của các quốc gia bậc cao là tránh hệ thống thứ nhất vì quá ít ỏi, và hệ thống thứ hai vì quá cồng kềnh, và sử dụng hệ thống thập phân trung gian. Những khác biệt trong việc sử dụng của các bộ lạc và quốc gia khác nhau này không cản trở, mà thay vào đó xác nhận, nguyên tắc chung là nguyên nhân chung của chúng, rằng con người ban đầu học đếm từ các ngón tay và ngón chân của mình, và theo nhiều cách khác nhau đã đóng khuôn thành ngôn ngữ kết quả của phương pháp nguyên thủy này.

Một số điểm kỳ lạ về mối quan hệ của các hệ thống này có thể được nhận thấy ở châu Âu. Người ta đã quan sát thấy ở một cậu bé câm điếc nào đó, Oliver Caswell, rằng cậu học đếm cao đến 50 trên các ngón tay của mình, nhưng luôn đếm theo ‘kiểu năm’, chẳng hạn, tính 18 đối tượng là ‘cả hai bàn tay, một bàn tay, ba ngón tay’.[333]

Gợi ý đã được đưa ra rằng việc người Hy Lạp sử dụng từ πεμπάζειν, ‘làm thành năm’, như một diễn đạt cho việc đếm là một dấu vết của phép đếm cơ số năm thô sơ cổ xưa (so sánh từ lokket ‘đếm’ trong tiếng Phần Lan, từ lokke ‘mười’). Chắc chắn, các con số La Mã I, II, ... V, VI ... X, XI ... XV, XVI, v.v., tạo thành một hệ thống cơ số năm bằng văn bản được xác định rất rõ ràng. Các tàn dư của phép đếm nhị thập phân thậm chí còn mang tính hướng dẫn nhiều hơn. Đếm bằng hai mươi là một đặc điểm của người Celt được đánh dấu mạnh mẽ. Hệ ký hiệu nhị thập phân cồng kềnh khó có thể được đưa ra ánh sáng mạnh mẽ hơn ở bất kỳ bộ lạc hoang dã nào so với những ví dụ như từ aon deug is da fhichead trong tiếng Gaelic ‘một, mười, và hai lần hai mươi’, nghĩa là 51; hoặc unarbymtheg ar ugain trong tiếng xứ Wales ‘một và mười lăm trên hai mươi’, nghĩa là 36; hoặc unnek ha triugent trong tiếng Breton ‘mười một và ba lần hai mươi’, nghĩa là 71. Giờ đây, tiếng Pháp, là một ngôn ngữ gốc Rô-man, có một hệ thống các con số chục tiếng Latin thường xuyên lên đến 100; cinquante, soixante, septante, huitante, nonante, vẫn có thể được tìm thấy được sử dụng trong các khu vực trong giới hạn của ngôn ngữ Pháp, như ở Bỉ. Tuy nhiên, hệ thống tính toán bằng hai mươi cồng kềnh đã bứt phá xuyên qua hệ thống thập phân ở Pháp. Từ septante phần lớn bị nén lại, chẳng hạn như soixante-quatorze, viết cho 74; quatre-vingts đã tự thiết lập khá vững chắc cho 80, và việc sử dụng nó tiếp tục vào những năm chín mươi, quatre-vingt-treize cho 93; trong các con số lớn hơn 100, chúng ta tìm thấy six-vingts, sept-vingts, huit-vingts, cho 120, 140, 160, và một bệnh viện nào đó mang tên Les Quinze-vingts từ 300 bệnh nhân của nó. Có lẽ đây là lời giải thích hợp lý nhất cho hiện tượng kỳ lạ này, đó là giả định hệ thống Celt trước đó của Pháp đã giữ vững vị trí của mình, nhào nặn tiếng Pháp sau đó thành hình dạng thô sơ của riêng nó. Ở Anh, hệ thống đếm Anglo-Saxon là hệ thập phân, hund-seofontig, 70; hund-eahtatig, 80; hund-nigontig, 90; hund-teontig, 100; hund-enlufontig, 110; hund-twelftig, 120. Cũng có thể ở đây do sự tồn tại của người Celt mà phép đếm nhị thập phân bằng từ ‘score’ (hai mươi), threescore and ten (ba mươi và mười), fourscore and thirteen (bốn mươi nhân hai và mười ba), v.v., đã giành được một vị trí trong tiếng Anh mà nó vẫn chưa hoàn toàn bị mất đi.[334]

Từ một số chi tiết nhỏ trong phép đếm, các gợi ý dân tộc học có thể thu được. Trong số các bộ lạc thô sơ với các chuỗi số nghèo nàn, sự kết hợp để tạo ra các con số mới rất nhanh chóng được viện đến. Trong số các bộ lạc Úc, phép cộng làm cho ‘hai-một’, ‘hai-hai’, diễn tả 3 và 4; trong tiếng Guachi ‘hai-hai’ là 4; trong tiếng San Antonio ‘bốn và hai-một’ là 7. Kế hoạch tạo ra các con số bằng phép trừ được biết đến ở Bắc Mỹ, và được thể hiện rõ ràng trong ngôn ngữ Aino của Yesso, nơi các từ chỉ 8 và 9 hiển nhiên có nghĩa là ‘hai lấy ra từ mười’, ‘một lấy ra từ mười’. Phép nhân xuất hiện, như trong tiếng San Antonio, ‘hai-và-một-hai’, và trong một phương ngữ Tupi ‘hai-ba’, để diễn tả 6. Phép chia dường như không được biết đến cho các mục đích như vậy trong số các chủng tộc thấp hơn, và hoàn toàn ngoại lệ trong số các chủng tộc cao hơn. Các sự kiện thuộc loại này cho thấy sự đa dạng trong các mưu trí phát minh của nhân loại, và tính độc lập trong sự hình thành ngôn ngữ của họ. Đồng thời, chúng vẫn nhất quán với các nguyên tắc chung của việc đếm bằng tay. Các dấu vết của cái có thể được gọi là phép đếm nhị phân, tam phân, tứ phân, lục phân, xoay quanh 2, 3, 4, 6, chỉ đơn thuần là các biến thể, dẫn đến, hoặc suy giảm thành, các phương pháp cơ số năm và thập phân.

Sự tương phản là rất nổi bật giữa người châu Âu có học thức, với việc sử dụng dễ dàng chuỗi số vô tận của mình, và người Tasmania, người tính 3, hoặc bất kỳ thứ gì vượt quá 2, là ‘nhiều’, và xoay sở bằng cả bàn tay của mình để đạt đến giới hạn của ‘con người’, có nghĩa là, 5. Sự tương phản này là do sự ngưng trệ phát triển ở người hoang dã, người có tâm trí vẫn ở trong trạng thái trẻ con mà phần đầu của một trong những bài đồng dao về số đếm nhà trẻ của chúng ta minh họa một cách kỳ lạ. Nó vang lên—

‘Một là không,

Hai là vài,

Ba là nhiều,

Bốn là một xu,

Năm là một trăm nhỏ.’

Quan sát trạng thái sự việc này ở những kẻ hoang dã và trẻ em làm nảy sinh những điểm thú vị về lịch sử thời kỳ đầu của ngữ pháp. W. von Humboldt gợi ý sự tương đồng giữa ý niệm hoang dã về số 3 như là ‘nhiều’ và việc sử dụng ngữ pháp của số 3 để hình thành một dạng thức so sánh hơn nhất, trong các hình thức mà ‘trismegistus’, ‘ter felix’, ‘thứ ba may mắn’, là những ví dụ quen thuộc. Mối quan hệ của số ít, số đôi và số nhiều được thể hiện rõ ràng bằng hình ảnh trong các chữ tượng hình Ai Cập, nơi hình ảnh của một vật thể, chẳng hạn như một con ngựa, được đánh dấu bằng một nét đơn | nếu chỉ ý chỉ một con, bằng hai nét | | nếu ý chỉ hai con, bằng ba nét | | | nếu ý chỉ ba con hoặc một số lượng nhiều không xác định. Sơ đồ về số ngữ pháp trong một số ngôn ngữ cổ xưa và quan trọng nhất trên thế giới được vạch ra dựa trên cùng nguyên tắc hoang dã đó. Tiếng Ai Cập, tiếng Ả Rập, tiếng Do-thái, tiếng Phạn, tiếng Hy Lạp, tiếng Goth, là những ví dụ về các ngôn ngữ sử dụng số ít, số đôi và số nhiều; nhưng xu hướng của văn hóa trí tuệ cao hơn là loại bỏ kế hoạch này vì nó bất tiện và không mang lại lợi ích, và chỉ phân biệt số ít và số nhiều. Không nghi ngờ gì rằng số đôi đã giữ vững vị trí của mình do được thừa kế từ một thời kỳ văn hóa sớm sủa, và tiến sĩ D. Wilson có vẻ có lý trong quan điểm của ông rằng nó ‘bảo tồn cho chúng ta kỷ niệm về giai đoạn tư duy đó khi mà tất cả những gì vượt quá hai đều là một ý niệm về số lượng bất định’.[335]

Khi hai chủng tộc ở các cấp độ văn hóa khác nhau tiếp xúc với nhau, những người thô sơ tiếp nhận nghệ thuật và kiến thức mới, nhưng đồng thời văn hóa đặc biệt của chính họ thường đi đến bế tắc, và thậm chí còn thụt lùi. Nghệ thuật đếm cũng vậy. Chúng ta có thể chứng minh rằng chủng tộc thấp hơn thực sự đã có những tiến bộ lớn và độc lập trong đó, nhưng khi chủng tộc cao hơn đến với một phương tiện tiện lợi và không giới hạn không chỉ để gọi tên tất cả các con số có thể tưởng tượng được, mà còn để viết chúng xuống và tính toán với chúng bằng cách sử dụng một vài hình vẽ đơn giản, thì liệu có khả năng nào để các phương pháp vụng về của kẻ rợ tiếp tục được phát triển thêm nữa hay không? Về các cách thức mà các con số của chủng tộc ưu việt được ghép vào ngôn ngữ của chủng tộc kém hơn, đại úy Grant mô tả những người nô lệ bản địa ở Xích đạo châu Phi đang chiếm dụng những giờ rảnh rỗi của họ để học các con số của những ông chủ người Ả Rập của họ.[336] Bản tường trình của cha Dobrizhoffer về mối quan hệ số học giữa những người bản địa Brazil và các tu sĩ Dòng Tên là một mô tả hay về sự tiếp xúc trí tuệ giữa những kẻ hoang dã và các nhà truyền giáo. Người Guaranis, hóa ra, đếm đến 4 bằng các con số bản địa của họ, và khi họ đi xa hơn, họ sẽ nói ‘vô số’. ‘Nhưng vì việc đếm vừa có nhiều công dụng trong đời sống chung, vừa hoàn toàn không thể thiếu trong tòa giải tội để thực hiện một buổi thú tội hoàn chỉnh, những người da đỏ đã được dạy hàng ngày tại các buổi giáo lý công cộng trong nhà thờ cách đếm bằng tiếng Tây Ban Nha. Vào các ngày Chủ nhật, toàn bộ người dân thường đếm bằng một giọng lớn bằng tiếng Tây Ban Nha, từ 1 đến 1.000.’ Nhà truyền giáo, sự thật là vậy, không thấy những người bản địa sử dụng các con số được học như vậy một cách rất chính xác — ‘Chúng tôi đang giặt tẩy cho một người da đen,’ ông nói.[337] Tuy nhiên, nếu chúng ta kiểm tra các từ vựng hiện đại của các bộ lạc hoang dã hoặc dã man thấp kém, người ta sẽ thấy chúng cung cấp bằng chứng thú vị về việc ảnh hưởng của nền văn minh cao hơn đối với văn minh thấp hơn thực sự hiệu quả đến mức nào trong vấn đề này. Trong chừng mực hệ thống thô sơ hoàn chỉnh và vừa phải thuận tiện, nó có thể đứng vững, nhưng nơi nó chấm dứt hoặc trở nên cồng kềnh, và đôi khi ở một giới hạn thấp hơn giới hạn này, chúng ta có thể thấy kẻ ngoại kiều thông minh hơn tự mình đảm nhận việc đó, bổ sung hoặc thay thế các con số khan hiếm của chủng tộc thấp hơn bằng con số của chính mình. Chủng tộc cao hơn, mặc dù tiến bộ đủ để hành động như vậy đối với chủng tộc thấp hơn, bản thân nó không nhất thiết phải ở một mức độ cực kỳ cao. Markham nhận xét rằng người Jivaras ở Marañon, với các con số bản địa lên đến 5, đã áp dụng cho các con số cao hơn những con số của người Quichua, ngôn ngữ của người Inca Peru.[338] Các trường hợp của những người bản địa Ấn Độ rất đáng để lưu ý. Người Khonds đếm 1 và 2 bằng các từ bản địa, và sau đó chuyển sang mượn các con số tiếng Hindi. Các bộ lạc Oraon, trong khi thuộc về một chủng tộc gốc Dravidian, và do đó có một chuỗi các con số bản địa tương ứng, dường như đã từ bỏ việc sử dụng chúng vượt quá 4, hoặc đôi khi thậm chí là 2, và áp dụng các con số tiếng Hindi vào vị trí của chúng.[339] Người Conibos ở Nam Mỹ đã được quan sát thấy đếm 1 và 2 bằng các từ của chính họ, và sau đó mượn các con số tiếng Tây Ban Nha, giống như một phương ngữ Brazil thuộc ngữ hệ Tupi được nhận thấy trong thế kỷ trước đã mất đi số 5 bản địa, và ổn định đi vào việc sử dụng các con số bản địa cũ lên đến 3, và sau đó tiếp tục bằng tiếng Bồ Đào Nha.[340] Ở Melanesia, ngôn ngữ Annatom chỉ có thể đếm bằng các con số của riêng nó đến 5, và sau đó mượn tiếng Anh siks, seven, eet, nain, v.v. Ở một số hòn đảo Polynesia, mặc dù các con số bản địa đủ phong phú, sự nhầm lẫn phát sinh từ việc đếm bằng các cặp và các nhóm bốn cũng như bằng các đơn vị đã xúi giục người bản địa thoát khỏi sự lúng túng bằng cách áp dụng huneri và tausani.[341] Và mặc dù người Eskimo đếm bằng bàn tay, bàn chân và cả con người, có khả năng diễn tả các con số lớn, nhưng nó trở nên vụng về trong thực tế ngay cả khi nó đi vào các con số điểm (hai mươi), và người Greenland đã làm rất tốt khi áp dụng untrîte và tusinte từ những người thầy Đan Mạch của mình. Sự tương đồng của các con số trong hai ngôn ngữ là một điểm mà các nhà ngôn ngữ học gắn tầm quan trọng lớn và xứng đáng trong câu hỏi liệu chúng có nên được coi là xuất phát từ một gốc chung hay không. Nhưng rõ ràng là trong chừng mực một chủng tộc có thể đã mượn các con số từ chủng tộc khác, bằng chứng này sẽ sụp đổ. Thực tế là việc mượn này kéo dài xuống tận số 3, và thậm chí có thể đi xuống thấp hơn nữa theo như những gì chúng ta biết, là một lý do để sử dụng luận điểm từ các con số có liên quan một cách thận trọng, vì nó có xu hướng chứng minh sự giao lưu nhiều hơn là quan hệ họ hàng.

Ở đầu kia của thang bậc văn hóa, việc tiếp nhận các con số từ quốc gia này sang quốc gia khác vẫn trình bày những điểm ngữ văn thú vị. Ngôn ngữ của chính chúng ta đưa ra những ví dụ kỳ lạ, như second và million. Cách thức mà tiếng Anh, cùng với tiếng Đức, tiếng Hà Lan, tiếng Đan Mạch và thậm chí cả tiếng Nga, đã tiếp nhận từ dozena tiếng Latin thời Trung cổ (từ duodecim) cho thấy việc mua và bán theo tá đã được tìm thấy là một sự sắp xếp thuận tiện đến mức nào, và việc có một từ đặc biệt cho nó là cần thiết đến mức nào. Nhưng quá trình đi mượn đã đi xa hơn thế này. Nếu người ta đặt câu hỏi có bao nhiêu tập hợp các con số hiện đang được sử dụng trong số những người nói tiếng Anh ở Anh, câu trả lời có thể sẽ là một tập hợp, tập hợp thông thường one, two, three, v.v. Tuy nhiên, vẫn tồn tại hai tập hợp được mượn. Một là tập hợp chơi súc sắc quen thuộc, ace, deuce, tray, cater, cinque, size; do đó size-ace là ‘6 và một’, cinques hoặc sinks, ‘double năm’ (hai lần năm). Những từ này đến với chúng ta từ nước Pháp, và tương ứng với các con số thông thường của tiếng Pháp, ngoại trừ ace, là từ as trong tiếng Latin, một từ có ý nghĩa ngữ văn lớn, có nghĩa là ‘một’. Tập hợp được mượn thứ hai có thể được tìm thấy trong Từ điển Tiếng lóng. Hóa ra những người dân đường phố Anh đã áp dụng như một phương tiện giao tiếp bí mật một tập hợp các con số tiếng Ý từ những người chơi đàn phong cầm và người bán tượng, hoặc bằng các con đường khác thông qua đó tiếng Ý hoặc Lingua Franca được đưa vào các khu phố nghèo của Luân Đôn. Khi làm như vậy, họ đã thực hiện một thao tác ngữ văn không chỉ kỳ lạ mà còn mang tính hướng dẫn. Bằng cách sao chép các biểu hiện như tiếng Ý due soldi, tre soldi, tương đương với ‘hai xu’, ‘ba xu’, từ saltee đã trở thành một thuật ngữ tiếng lóng được công nhận cho ‘xu’, và tiền xu được tính toán như sau:—

Oney saltee ... 1d. uno soldo.

Dooe saltee ... 2d. due soldi.

Tray saltee ... 3d. tre soldi.

Quarterer saltee ... 4d. quattro soldi.

Chinker saltee ... 5d. cinque soldi.

Say saltee ... 6d. sei soldi.

Say oney saltee hoặc setter saltee ... 7d. sette soldi.

Say dooe saltee hoặc otter saltee ... 8d. otto soldi.

Say tray saltee hoặc nobba saltee ... 9d. nove soldi.

Say quarterer saltee hoặc dacha saltee ... 10d. dieci soldi.

Say chinker saltee hoặc dacha oney saltee ... 11d. undici soldi.

Oney beong ... 1s.

A beong say saltee ... 1s. 6d.

Dooe beong say saltee hoặc madza caroon ... 2s. 6d. (nửa vương miện, mezza corona.)[342]

Một trong các chuỗi này đơn giản áp dụng các con số tiếng Ý theo hệ thập phân. Nhưng chuỗi kia, khi đã đạt đến số 6, sau khi đã có đủ sự mới lạ, tạo ra số 7 bằng ‘sáu-một’ và cứ thế tiếp tục. Không có lý do trừu tượng nào khiến số 6 được tạo thành điểm chuyển hướng như vậy, mà đơn giản bởi vì người bán hàng rong đang cộng dồn xu lên đến đồng sáu xu bạc, và sau đó lại cộng dồn xu lên đến đồng shilling. Do đó tiền tệ mười hai phân của chúng ta đã dẫn đến thực tiễn đếm bằng sáu, và tạo ra một điều kỳ diệu về ngữ văn, một hệ thống ký hiệu lục phân thực sự.

Dựa trên bằng chứng như đã được đưa ra trong tiểu luận này, các mối quan hệ rõ ràng của văn hóa hoang dã với văn hóa văn minh, liên quan đến Nghệ thuật Đếm, giờ đây có thể được phát biểu một cách ngắn gọn để kết luận. Các phương pháp chính mà nhờ đó sự phát triển của số học cao hơn có được nằm ngoài vấn đề. Chúng chủ yếu là các kế hoạch khéo léo để diễn tả mối quan hệ số học bằng các ký hiệu viết. Trong số đó có hệ thống Semitic, và hệ thống Hy Lạp bắt nguồn từ nó, về việc sử dụng bảng chữ cái như một chuỗi các ký hiệu số, một kế hoạch không hoàn toàn bị loại bỏ bởi chính chúng ta, ít nhất là đối với các số thứ tự, như trong các lịch trình A, B, v.v.; việc sử dụng các chữ cái đầu của các từ số làm con số cho chính các con số đó, như trong chữ Π và Δ của Hy Lạp cho 5 và 10, chữ C và M của La Mã cho 100 và 1.000; mưu trí diễn tả các phân số, được thể hiện ở giai đoạn sơ khai trong chữ γ’, δ’ của Hy Lạp, cho 1/3, 1/4, γδ cho 3/4; sự ra đời của số không hoặc con số không, nhờ đó các con số Ả Rập hoặc Ấn Độ có giá trị của chúng theo vị trí của chúng trong một thứ tự thập phân tương ứng với sự kế tiếp của các hàng trên bàn bàn tính; và cuối cùng, ký hiệu hiện đại của các phân số thập phân bằng cách kéo xuống bên dưới đơn vị thứ tự tỷ lệ mà trong nhiều thời đại đã được sử dụng ở phía trên nó. Hệ thống đếm cổ đại của người Ai Cập và hệ thống đếm La Mã và Trung Quốc vẫn đang được sử dụng thực sự được thành lập trên chữ viết hình ảnh hoang dã,[343] trong khi bàn tính và bàn tính gạt, một cái vẫn là một công cụ học tập có giá trị, và cái kia đang được sử dụng thực tế đầy đủ, có mầm mống của chúng trong việc đếm hoang dã bằng các nhóm đồ vật, như khi người dân đảo Nam Hải đếm bằng thân cây dừa, đặt một cây nhỏ sang một bên mỗi khi họ đến số 10, và một cây lớn khi họ đến số 100, hoặc khi người da đen châu Phi tính toán bằng sỏi hoặc hạt, và mỗi khi họ đến số 5, họ đặt chúng sang một bên trong một đống nhỏ.[344]

Chúng ta ở đây đặc biệt quan tâm đến việc đếm bằng cử chỉ trên các ngón tay, như một nghệ thuật hoàn toàn mang tính hoang dã vẫn đang được sử dụng trong số trẻ em và nông dân, và với hệ thống từ số, như được biết đến bởi toàn nhân loại, xuất hiện ít ỏi trong các bộ lạc thấp nhất, và vươn tới trong các giới hạn hoang dã những sự phát triển mà nền văn minh cao nhất chỉ cải thiện về mặt chi tiết. Hai phương pháp tính toán này bằng cử chỉ và từ ngữ kể câu chuyện về số học nguyên thủy theo một cách khó có thể bị bóp méo hoặc hiểu lầm. Chúng ta thấy kẻ hoang dã — người chỉ có thể đếm đến 2 hoặc 3 hoặc 4 bằng lời, nhưng có thể đi xa hơn trong các màn trình diễn câm. Anh ta có các từ cho bàn tay và ngón tay, bàn chân và ngón chân, và ý niệm lóe lên trong đầu anh ta rằng các từ mô tả cử chỉ cũng sẽ phục vụ để diễn tả ý nghĩa của nó, và theo đó chúng trở thành các con số của anh ta. Điều này không chỉ xảy ra một lần, nó xảy ra giữa các chủng tộc khác nhau ở các vùng xa xôi, vì các thuật ngữ như ‘bàn tay’ cho 5, ‘bàn-tay-một’ cho 6, ‘các bàn tay’ cho 10, ‘hai trên bàn chân’ cho 12, ‘bàn tay và bàn chân’ hoặc ‘con người’ cho 20, ‘hai người’ cho 40, v.v., cho thấy sự đồng nhất vốn là do nguyên tắc chung, nhưng cũng thể hiện sự đa dạng vốn là do sự tự tiến hành độc lập. Đây là những ‘sự kiện-chỉ-dẫn’ có vị trí và sự giải thích của chúng trong một lý thuyết phát triển của văn hóa, trong khi một lý thuyết thoái hóa hoàn toàn thất bại trong việc dung nạp chúng. Chúng là những ghi chép rõ ràng về sự phát triển, và sự phát triển độc lập, trong số các bộ lạc hoang dã mà một số nhà văn về văn hóa đã nhẫn tâm phủ nhận chính năng lực tự cải thiện. Ý nghĩa ban đầu của phần lớn kho tàng các con số của các chủng tộc thấp hơn, đặc biệt là những con số từ 1 đến 4, không thích hợp để được gọi là số bàn tay, là điều mơ hồ. Chúng có thể đã được đặt tên từ sự so sánh với các đồ vật, theo một cách được cho thấy thực sự xảy ra trong các hình thức như ‘cùng nhau’ cho 2, ‘ném’ cho 3, ‘chùm’ cho 4; nhưng bất kỳ ý nghĩa cụ thể nào mà chúng ta có thể đoán là chúng từng có dường như giờ đây qua sự sửa đổi và cắt xén đã đi ra ngoài tầm hiểu biết.

Nhớ rằng các từ thông thường thay đổi và mất đi dấu vết của ý nghĩa ban đầu trong quá trình của các thời đại, và rằng trong các con số, sự sụp đổ ý nghĩa như vậy thực sự là điều đáng mong đợi, để làm cho chúng phù hợp với các ký hiệu số học thuần túy, chúng ta không thể ngạc nhiên khi một tỷ lệ lớn các con số hiện có không có từ nguyên rõ ràng. Điều này đặc biệt đúng với 1, 2, 3, 4, ở cả các chủng tộc thấp và cao như nhau, là những con số được tạo ra sớm nhất, và do đó là những con số mất đi ý nghĩa ban đầu sớm nhất. Vượt ra ngoài những con số thấp này, ngôn ngữ của các chủng tộc cao hơn và thấp hơn cho thấy một sự khác biệt đáng chú ý. Các con số bàn-và-chân-tay, rất phổ biến và không thể nhầm lẫn trong các ngôn ngữ hoang dã như tiếng Eskimo và tiếng Zulu, hầu như không thể lần theo được, nếu có đi chăng nữa, trong các ngôn ngữ lớn của nền văn minh, chẳng hạn như tiếng Phạn và tiếng Hy Lạp, tiếng Do-thái và tiếng Ả Rập. Trạng thái sự việc này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết phát triển của ngôn ngữ. Chúng ta có thể lập luận rằng chính trong thời gian tương đối gần đây mà những kẻ hoang dã đã đi đến phát minh ra các con số bàn tay, và do đó từ nguyên của các con số đó vẫn còn rõ ràng. Nhưng không có gì đảm bảo từ việc không xuất hiện các hình thức nguyên thủy như vậy ở châu Á và châu Âu có văn hóa, rằng chúng không tồn tại ở đó trong các thời đại xa xôi; chúng có thể đã bị lăn lóc và tơi tả giống như những hòn sỏi bởi dòng chảy thời gian, cho đến khi hình dạng ban đầu của chúng không còn có thể phân biệt được nữa. Cuối cùng, trong số các chủng tộc hoang dã và văn minh như nhau, khung khổ chung của phép đếm đứng vững khắp thế giới như một đài kỷ niệm bền vững của văn hóa nguyên thủy. Khung khổ này, sơ đồ hầu như phổ quát của việc đếm bằng năm, mười và hai mươi, cho thấy rằng thực tiễn trẻ con và hoang dã của việc đếm trên ngón tay và ngón chân nằm ở nền tảng của khoa học số học của chúng ta. Số mười dường như là cơ sở số học thuận tiện nhất được cung cấp bởi các hệ thống được thành lập trên việc đếm bằng tay, nhưng số mười hai sẽ tốt hơn, và số học mười hai phân thực sự là một sự phản đối chống lại số học thập phân ít thuận tiện hơn đang được sử dụng thông thường. Trường hợp này không phải là không phổ biến khi nền văn minh cao mang theo những dấu vết rõ ràng về sự thô sơ của nguồn gốc của nó trong đời sống dã man cổ đại.