Họ bảo với bạn khi họ sắp phá sản - Vàng đôi khi là một loại chì đặc biệt

Và bây giờ, thưa độc giả, sau nỗ lực phi thường nhằm giải thích rõ ràng hơn ý tưởng của các chương trước, tôi chuyển sang nghỉ ngơi và trình bày sự việc bằng toán học. Do đó, chương này - đào sâu ý tưởng của chương trước - sẽ chuyên sâu vào toán học hơn và những độc giả đã am hiểu có thể bỏ qua.

Ta hãy xem xét một phương pháp tìm kiếm tính mỏng manh - hòn đá luyện đan nghịch đảo. Ta có thể minh họa điều này bằng câu chuyện về tổ chức cho vay Fannie Mae được chính phủ bảo lãnh, công ty này đã sụp đổ, để lại cho người nộp thuế Hoa Kỳ hàng trăm tỉ đôla thua lỗ (và than ôi, con số vẫn còn đang tính tiếp).

Một ngày năm 2003, Alex Berenson, phóng viên tờ The New York Times, đến văn phòng tôi với các báo cáo rủi ro mật về Fannie Mae mà một thám tử đã trao cho anh. Đó là loại báo cáo đi thẳng vào gan ruột của phương pháp luận tính toán rủi ro mà chỉ có người trong nội bộ mới biết - Fannie Mae thực hiện việc tính toán rủi ro riêng và chỉ cáo bạch những gì họ muốn với những người họ muốn, công chúng hay ai khác. Chỉ có thám tử mới có thể vạch lá tìm sâu để xem thử rủi ro đã được tính toán như thế nào.

Chúng tôi nhìn vào bản báo cáo: nói đơn giản, biến thiên tăng của một biến số kinh tế sẽ dẫn đến thua lỗ khổng lồ, trong khi biến thiên giảm (theo chiều ngược lại) dẫn đến lợi nhuận nhỏ bé. Biến thiên tăng nhiều hơn nữa sẽ dẫn đến thua lỗ tăng thêm thậm chí còn lớn hơn, và biến thiên giảm dẫn đến lợi nhuận lại càng ít ỏi hơn. Đây chính xác là câu chuyện tảng đá trong hình 9. Sự tăng vọt thiệt hại thật rõ ràng, và thật ra, đó là thiệt hại khổng lồ. Vì thế, chúng tôi nhanh chóng nhận ra chuyện nổ tung là không thể tránh khỏi: tình trạng liên lụy rủi ro của họ có tính “lõm” nghiêm trọng, hệt như đồ thị giao thông trong hình 14: thua lỗ tăng vọt khi các biến số kinh tế thay đổi (tôi thậm chí không cần biết biến số nào, vì trạng thái mỏng manh theo một biến số với độ lớn cỡ này có nghĩa là họ sẽ mỏng manh theo mọi thông số khác). Tôi cảm nhận vấn đề bằng cảm xúc chứ không phải bằng bộ não của mình, và tôi thấy bứt rứt thậm chí trước khi hiểu ra những con số mà tôi đang xem xét. Đây chính là cội nguồn của tính mỏng manh, và nhờ có Berenson, tờ The New York Times đã đăng tải mối quan ngại của tôi. Một chiến dịch bôi nhọ xảy ra sau đó, nhưng không có gì quá nổi bật, vì trong thời gian đó tôi đã gọi một số nhân vật chủ chốt là những kẻ bất tài lừa bịp và họ cũng không quá lo lắng về điều đó.

Vấn đề nằm ở chỗ, tính phi tuyến chịu ảnh hưởng lớn hơn bỏi những biến cố cực độ - và không ai quan tâm đến các biến cố cực độ vì tâm lý của họ chống lại những biến cố đó.

Tôi không ngừng nói với bất kỳ ai lắng nghe tôi, kể cả những tài xế taxi ngẫu nhiên (phần lớn), rằng công ty Fannie Mae đang “ngồi trên thùng chất nổ”. Lẽ dĩ nhiên, những vụ nổ sẽ không diễn ra mỗi ngày (cũng hệt như những chiếc cầu được xây dựng cẩu thả sẽ không sụp đổ ngay tức thời), và mọi người cũng không ngớt đáp rằng ý kiến của tôi là sai lầm và vô căn cứ (sử dụng cùng một lập luận rằng cổ phiếu của họ đang tăng giá hay một lập luận loanh quanh nào đó). Tôi cũng suy luận rằng các tổ chức khác, gần như mọi ngân hàng, đều ở trong tình thế tương tự. Sau khi kiểm tra các tổ chức tương tự, và thấy rằng vấn đề có tính chất tổng quát, tôi nhận ra sự sụp đổ chung của hệ thống ngân hàng là chuyện không thể tránh khỏi. Tôi chắc chắn đến mức điếng hồn và đã quay lại thị trường để được báo thù những con gà tây. Hệt như một cảnh trong phim Bố già (III), “Đúng lúc tôi nghĩ mình đã ngoài cuộc thì họ kéo tôi trở vào.”

Sự việc diễn ra cứ như thể số phận an bài. Fannie Mae phá sản, cùng với những ngân hàng khác. Chỉ mất thời gian lâu hơn dự đoán, thế thôi.

Phần dại dột của câu chuyện là ở chỗ, tôi không nhìn thấy mối quan hệ giữa tính mỏng manh tài chính và tính mỏng manh chung - mà tôi cũng không sử dụng thuật ngữ “tính mỏng manh”. Có lẽ lúc đó tôi không xem xét nhiều chiếc cốc sứ. Tuy nhiên, nhờ vào thời gian ở trên tầng gác mái, tôi đã có một số đo tính mỏng manh, và từ đó đo lường được khả năng cải thiện nghịch cảnh.

Có thể tóm gọn như sau: tìm hiểu xem thử những tính toán sai lầm hay dự báo sai lầm của ta khi cân đối lại có phải là lợi bất cập hại hay không, và thiệt hại tăng vọt như thế nào. Hệt như câu chuyện nhà vua, trong đó thiệt hại của một tảng đá 10 kg sẽ to lớn hơn nhiều so với hai lần thiệt hại của một tảng đá 5 kg. Thiệt hại tăng vọt như vậy có nghĩa là một tảng đá lớn cuối cùng sẽ gây tử vong. Cũng hệt như sự biến thiên lớn của thị trường cuối cùng sẽ xóa sổ công ty.

Khi tôi nhận ra rằng tính mỏng manh xuất phát từ tính phi tuyến và hiệu ứng lồi, và ta có thể đo lường được hiệu ứng lồi này, tôi hết sức phấn khích. Kỹ thuật tìm kiếm sự tăng vọt thiệt hại này áp dụng cho mọi thứ dẫn đến việc ra quyết định trong bối cảnh bấp bênh bất trắc và quản lý rủi ro. Tuy rằng điều này thú vị nhất trong lĩnh vực y khoa và công nghệ, nhưng nhu cầu tức thời là trong kinh tế. Vì thế, tôi đã đề xuất với Quỹ Tiền tệ Quốc tế một đại lượng đo lường tính mỏng manh thay cho những số đo rủi ro của họ mà họ vốn biết chúng không có tác dụng. Hầu hết mọi người trong hoạt động kinh doanh rủi ro đều thất vọng với kết quả yếu kém (hay nói đúng hơn là kết quả hú họa) của các mô hình của họ, nhưng họ không thích quan điểm trên đây của tôi: “không sử dụng mô hình nào cả.” Họ muốn có một mô hình nào đó. Và thế là họ vẫn phải có đại lượng đo lường rủi ro.94

Vì thế, đây là điều mà ta có thể sử dụng. Kỹ thuật này, một suy nghiệm đơn giản được gọi là quy tắc suy nghiệm để tìm tính mỏng manh (và khả năng cải thiện nghịch cảnh), vận hành như sau. Giả sử bạn muốn kiểm tra xem thử một thành phố có bị tối ưu hóa thái quá hay không. Ví dụ, bạn xác định rằng khi giao thông tăng thêm 10.000 chiếc ô tô, thời gian giao thông tăng thêm 10 phút. Nhưng nếu giao thông tăng thêm 10.000 chiếc ô tô nữa, thời gian giao thông tăng thêm những 30 phút nữa. Sự gia tăng thời gian giao thông này cho thấy giao thông có tính mỏng manh, bạn có quá nhiều ô tô và cần giảm giao thông cho đến khi tình trạng gia tăng đó trở nên nhẹ hơn (tôi nhắc lại, sự gia tăng có tính lõm sâu sắc, hay hiệu ứng lồi âm).

Tương tự, thâm hụt chính phủ là một mối quan hệ có dạng lõm theo sự thay đổi tình hình kinh tế. Ứng với mỗi một thay đổi nào, ví dụ như thay đổi tỷ lệ thất nghiệp - nhất là khi chính phủ đang mắc nợ - sẽ làm cho thâm hụt trở nên tồi tệ hơn nhiều. Đòn bẩy tài chính của một công ty cũng có ảnh hưởng hệt như vậy: bạn cần vay mượn ngày càng nhiều để đạt được cùng một kết quả như trước, hệt như trong một vụ lừa đảo, trong đó kẻ lừa đảo cần phải vay của người sau nhiều hơn để trả cho người trước (Ponzi scheme).

Điều này cũng xảy ra với đòn bẩy hoạt động của một công ty mỏng manh. Nếu doanh số tăng 10 phần trăm, thì lợi nhuận sẽ tăng ít hơn so với mức giảm lợi nhuận phát sinh khi doanh số giảm 10 phần trăm.

Đây chính là kỹ thuật mà tôi đã sử dụng bằng trực giác để tuyên bố rằng tổ chức tài chính Fannie Mae Vô Cùng Đáng Kính đang trên đường tới nghĩa địa, và thật dễ dàng tìm ra một quy tắc tính nhẩm cho việc này. Bây giờ với Quỹ Tiền tệ Quốc tế (IMF), chúng tôi đã có một số đo đơn giản với một con dấu chứng nhận. Nó có vẻ quá đơn giản, nên phản ứng ban đầu từ “các chuyên gia” là cho rằng nó “tầm thường” (theo nhận xét của những người trước đây chưa bao giờ nhận thấy rõ ràng những rủi ro này - giới học thuật và các nhà phân tích định lượng xem thường những gì họ có thể hiểu được một cách quá dễ dàng và cảm thấy khó chịu bởi những gì họ không tự nghĩ ra).

Dựa trên một nguyên tắc thú vị rằng ta nên sử dụng sự ngu xuẩn của con người để mua vui, tôi mòi bạn tôi Raphael Douady cùng hợp tác để trình bày ý tưởng đơn giản này thông qua sử dụng các đạo hàm toán học rối rắm nhất, với những định lý khó hiểu mà ngay cả một chuyên gia cũng phải mất nửa ngày mới hiểu được. Raphael, Bruno Dupire, và tôi cùng tham gia vào một quá trình trao đổi liên tục suốt gần hai thập niên về cách thức mọi thứ gây ra rủi ro có thể được xem xét một cách rõ ràng và nghiêm ngặt nhìn từ góc độ một chuyên gia về quyền chọn. Tôi và Raphel xoay xở chứng minh mối quan hệ giữa tính phi tuyến, ghét biến động, và tính mỏng manh. Như đã được chứng minh, điều ấn tượng là, nếu bạn có thể trình bày một điều đơn giản theo một cách phức tạp với những định lý phức tạp, thậm chí khi chẳng có lợi ích gì to tát về tính chính xác từ những phương trình phức tạp này, người ta sẽ đón nhận ý tưởng của bạn một cách vô cùng nghiêm túc. Chúng tôi nhận được những phản ứng thuận lợi, và người ta bảo rằng quy tắc suy nghiệm đơn giản này thật là “thông minh” (bỏi chính những người từng cho rằng nó tầm thường). Vấn đề duy nhất là, toán học gây nghiện.

Bây giờ, những gì tôi tin tưỏng chính là chuyên ngành thực sự của tôi: sai số trong các mô hình.

Hồi còn hoạt động giao dịch chứng khoán, tôi từng mắc phải nhiều sai sót khi thi hành lệnh. Bạn mua một nghìn đơn vị rồi trên thực tế ngày hôm sau bạn phát hiện ra rằng bạn đã mua hai nghìn đơn vị. Nếu giá tăng lên trong thời gian đó, bạn sẽ có một khoản lời kha khá. Ngược lại, bạn sẽ lỗ lớn. Vì thế, những sai lầm này trong dài hạn sẽ trung hòa lẫn nhau, vì chúng có thể tác động đến bạn theo hai chiều. Chúng làm tăng phương sai, nhưng chúng không ảnh hưởng đến công việc của bạn quá nhiều. Không có tình trạng phiến diện trong những sai lầm đó. Và những sai lầm này có thể được kiểm soát nhờ vào quy định giới hạn quy mô giao dịch - bạn thực hiện nhiều giao dịch nhỏ, vì thế sai số vẫn nhỏ. Và vào cuối năm, thông thường, các sai số sẽ bù trừ lẫn nhau.

Nhưng điều này không xảy ra với hầu hết những thứ chúng ta xây dựng, những sai lầm liên quan đến những sự việc mỏng manh, có hiện diện của hiệu ứng lồi tiêu cực. Nhóm sai lầm này có kết quả một chiều, nghĩa là chỉ có giá trị âm và có xu hướng làm cho máy bay hạ cánh muộn hơn chứ không sớm hơn. Những cuộc chiến tranh có xu hướng trở nên tệ hơn chứ không tốt hơn. Như ta đã thấy với hoạt động giao thông, sự biến thiên (bây giờ được gọi là độ nhiễu) chỉ có xu hướng làm tăng thời gian đi từ Nam Kensington đến Piccadilly Circus, chứ không bao giờ rút ngắn thời gian. Nhiều thứ, chẳng hạn như giao thông, quả thật hiếm khi có độ nhiễu dương tương đương.

Tình trạng phiến diện này dẫn đến ước lượng quá thấp tính ngẫu nhiên và ước lượng quá thấp thiệt hại, vì người ta sẽ chịu thiệt hại nhiều hơn so với hưởng lợi từ sai lầm. Nếu trong dài hạn, nếu nguồn ngẫu nhiên có sự biến thiên mạnh theo chiều hướng này nhiều hơn so với chiều kia, thiệt hại sẽ lấn lướt lợi ích một cách nghiêm trọng.

Vì thế, và đây là vấn đề then chốt đối với Bảng Bộ Ba - ta có thể sắp xếp sự việc theo ba nhóm đơn giản: những sự việc ưa thích độ nhiễu (hay sai số) trong dài hạn, những sự việc trung tính với độ nhiễu, và những sự việc không thích độ nhiễu. Cho đến giờ, ta đã thấy quá trình tiến hóa ưa thích độ nhiễu. Ta thấy phát minh khám phá cũng ưa thích độ nhiễu. Một số dự báo trở nên sai lầm bởi tình trạng bấp bênh không chắc chắn - và cũng hệt như thời gian đi lại, người ta cần dự phòng. Các hãng hàng không đã tìm cách làm điều này, nhưng chính phủ các nước khi ước lượng thâm hụt vẫn chưa thực hiện việc dự phòng này.

Phương pháp này có tính chất rất tổng quát. Thậm chí tôi đã sử dụng nó với việc tính toán kiểu Fukushima và nhận ra rằng việc tính toán những xác suất nhỏ của họ có tính mỏng manh biết chừng nào; thật ra, tất cả những xác suất nhỏ đều có xu hướng rất mỏng manh trước các sai số, khi một thay đổi nhỏ của các giả định cũng có thể làm xác suất tăng vọt, từ một phần triệu lên đến một phần trăm. Quả thật, người ta ước lượng quá thấp đến 10.000 lần.

Cuối cùng, phương pháp này có thể cho ta thấy trong những trường họp nào toán học trong các mô hình kinh tế trở nên vô dụng - mô hình nào mỏng manh và mô hình nào không mỏng manh. Chỉ cần thực hiện một thay đổi nhỏ trong các giả định, và xem thử điều đó có ảnh hưởng to lớn như thế nào, và liệu ảnh hưởng đó có tăng tốc hay không. Sự tăng tốc có nghĩa là ai dựa vào mô hình sẽ bị biến cố Thiên Nga Đen làm cho nổ tung, như đã xảy ra với Fannie Mae. Rất dễ dàng. Phần phụ lục sẽ trình bày một phương pháp luận chi tiết để tìm kiếm xem thử kết quả nào là vô dụng trong kinh tế học, đồng thời thảo luận về xác suất nhỏ. Điều tôi muốn nói bây giờ là phần lớn những gì được rao giảng trong bộ môn kinh tế học bằng các phương trình cũng như kinh tế lượng, nên vứt đi ngay lập tức - điều đó giải thích lý do khiến kinh tế học nhìn chung là một chuyên ngành lừa bịp. Luôn luôn là các fragilista!

LÀM SAO BÀ MẤT

Tiếp theo tôi sẽ giải thích hiệu ứng phi tuyến tính sau đây: những điều kiện mà trong đó, giá trị bình quân (hiệu ứng bậc một) không quan trọng. Đó là bước đầu tiên tiến tới xem xét hòn đá luyện đan.

Tục ngữ có câu:

Đừng lội qua sông nếu nó sâu trung bình cỡ một mét hai.

Bạn được báo rằng bà ngoại bạn sẽ trải qua hai giờ đồng hồ ở nhiệt độ bình quân đáng mơ ước khoảng 21 độ C. Bạn nghĩ, thật tuyệt vời, vì 21 độ C là nhiệt độ lý tưởng cho các bà. Vì bạn đang theo học ở trường kinh doanh, bạn là một kiểu người xem xét “toàn cục” và hài lòng với những thông tin tóm tắt.

Nhưng có một mảng dữ liệu thứ hai. Hóa ra bà ngoại bạn sẽ trải qua một giờ đồng hồ ở nhiệt độ khoảng âm 18 độ C, và một giờ đồng hồ ở nhiệt độ khoảng 60 độ C, vì thế nhiệt độ bình quân vẫn là 21 độ C. Như vậy, xem ra bạn sắp sửa mất bà rồi, sẽ có một đám tang, và có thể có quyền thừa kế.

Rõ ràng, sự thay đổi nhiệt độ trở nên ngày càng có hại hơn khi nó càng khác xa với 21 độ C. Như bạn thấy, mảng thông tin thứ hai, sự biến thiên, hóa ra quan trọng hơn mảng thông tin thứ nhất. Khái niệm bình quân không có ý nghĩa khi người ta mỏng manh trước sự biến thiên; sự phân tán nhiệt độ trở nên ngày càng quan trọng hơn. Bà ngoại bạn mỏng manh trước sự biến thiên nhiệt độ, trước sự biến động thời tiết. Ta hãy gọi mảng thông tin thứ hai là hiệu ứng bậc hai, hay nói chính xác hơn, hiệu ứng lồi.

Ở đây, lưu ý rằng, khái niệm giá trị bình quân tuy có thể giúp ta đơn giản hóa vấn đề, song nó cũng có thể là một chiếc giường Procrustes hay việc gọt chân cho vừa giày. Thông tin nhiệt độ trung bình 21 độ C không giúp đơn giản hóa tình huống của bà ngoại. Nó là thông tin bị o ép vào một chiếc giường Procrustes, và đây cũng chính là những gì các nhà lập mô hình thực hiện, vì theo đúng bản chất, mô hình là sự giản đơn hóa. Bạn đâu muốn sự giản đơn hóa làm méo mó tình huống đến mức gây hại.

Hình 16 mô tả tính mỏng manh của sức khỏe của bà ngoại trước sự biến thiên nhiệt độ. Nếu tôi biểu thị sức khỏe trên trục tung, và nhiệt độ trên trục hoành, tôi thấy đường biểu thị có dạng “lõm về phía dưới”, hay hiệu ứng lồi âm.

Giá như phản ứng cơ thể của bà ngoại có tính “tuyến tính” (không phải đường cong mà là đường thẳng), thì thiệt hại do nhiệt độ thấp hơn 21 độ C sẽ được bù đắp bằng lợi ích của nhiệt độ trên 21 độ C. Nhưng trên thực tế, sức khỏe của bà ngoại chỉ chịu đựng được một nhiệt độ tối đa nhất định, chứ nếu không thì sức khỏe của bà sẽ không ngừng được cải thiện khi nhiệt độ tăng lên.

HÌNH 16. Siêu mỏng manh. Sức khỏe là một hàm số theo nhiệt độ có dạng lõm về phía dưới. Sự kết hợp giữa -18 độ C và 60 độ C sẽ có hại hơn cho sức khỏe của bà so với 21 độ C. Trên thực tế, gân như mọi sự kết hợp nhiệt độ dân đến nhiệt độ bình quân 21 độ C đều có hại hơn so với 21 độ C.95 Đường biểu thị có dạng lõm về phía dưới hay hiệu ứng lồi âm.

Bây giờ hãy chấp nhận điều này khi ta nhanh chóng chuyển sang những thuộc tính tổng quát hơn; trong trường hợp phản ứng sức khỏe của bà trước thay đổi nhiệt độ, ta có: (a) mối quan hệ phi tuyến (đường biểu diễn không phải là đường thẳng), (b) đường biểu diễn có dạng lõm nhiều về phía dưới, và cuối cùng (c) mối quan hệ càng phi tuyến tính, giá trị bình quân càng không quan trọng, và tính ổn định xung quanh giá trị bình quân càng quan trọng.

BÂY GIỜ ĐẾN HÒN ĐÁ LUYỆN ĐAN96

Phần lớn tư duy thời Trung cổ nhắm vào việc đi tìm hòn đá luyện đan. Cần nhắc lại rằng, hóa học ra đời từ thuật giả kim, chủ yếu bao gồm việc tìm kiếm sức mạnh hóa học của các chất. Nỗ lực chính là nhằm tạo ra giá trị bằng cách biến kim loại thành vàng thông qua quá trình chuyển hóa. Chất cần thiết được gọi là hòn đá luyện đan (lapis philosophorum). Nhiều người lao vào công việc này, bao gồm các học giả như Albertus Magnus, Isaac Newton, và Roger Bacon cũng như những nhà tư tưởng vĩ đại tuy không hoàn toàn là học giả như Paracelsus.

Chính vì là một vấn đề có tầm quan trọng không nhỏ, nên hoạt động chuyển hóa được gọi là Magnus Opus, nghĩa là công trình vĩ đại (nhất). Tôi thật sự tin rằng hoạt động mà tôi sẽ thảo luận - dựa vào một số thuộc tính của khả năng chọn lựa - cũng gần giống như việc ta có thể có hòn đá luyện đan.

Những điểm lưu ý sau đây sẽ giúp ta hiểu ra:

Tính khốc liệt của vấn đề đánh đồng (nhầm lẫn giữa giá dầu với địa chính trị, hay nhầm lẫn giữa một vụ cá cược ăn chắc với việc dự báo tốt, mà không nhận ra mối quan hệ có dạng lồi của kết quả và khả năng chọn lựa). Vì sao những đối tượng có khả năng chọn lựa sẽ có lợi thế dài hạn, và làm thế nào để đo lường khả năng đó. Một thuộc tính tinh tế cộng thêm được gọi là bất đẳng thức Jensen. Nhớ lại ví dụ giao thông trong chương 18, ta có 90.000 chiếc ô tô trong một giờ, rồi đến 110.000 chiếc ô tô trong giờ sau, nên trị trung bình là 100.000 chiếc, và giao thông sẽ kinh khủng. Mặt khác, giả sử ta có 100.000 chiếc ô tô trong hai giờ, giao thông sẽ thông suốt và thời gian giao thông sẽ ngắn.

Số lượng xe là một biến số; thời gian giao thông là hàm số theo biến số. Hành vi của hàm số so với biến số “không như nhau”, như cách nói trong những chương trước. Ở đây ta có thể thấy, hàm số trở nên khác với biến số trong bối cảnh phi tuyến tính.

Càng phi tuyến tính, thì hàm số càng khác với biến số. Nếu giao thông là tuyến tính, thì sẽ thời gian giao thông sẽ như nhau trong hai tình huống sau: có 90.000 xe, rồi đến 110.000 xe; và luôn luôn có 100.000 xe trên đường. Biến số càng biến động - càng bất định - thì hàm số càng khác xa với biến số. Thử xem lại số lượng xe bình quân. Hàm số (thời gian giao thông) phụ thuộc vào biến động xung quanh giá trị bình quân. Sự việc sẽ càng xấu đi khi phân phối trở nên không đồng đều. Ứng với cùng một giá trị bình quân, bạn thích trong cả hai thời đoạn luôn luôn có 100.000 xe ô tô; 80.000 ô tô rồi đến 120.000 ô tô sẽ còn tệ hơn so với 90.000 ô tô rồi đến 110.000 ô tô. Nếu hàm số có dạng lồi (khả năng cải thiện nghịch cảnh), thì trị trung bình của hàm số theo biến số sẽ cao hơn so với hàm số theo trị trung bình của biến số. Và nếu hàm số có dạng lõm (tính mỏng manh) thì ngược lại. Để ví dụ cho nhận xét (c), vốn là một dạng phức tạp hơn của độ lệch, ta hãy giả định rằng hàm số đang xem xét là một hàm bình phương (nhân một số với chính nó). Đây là một hàm có dạng lồi. Đổ một con súc sắc thông thường (có sáu mặt) và kết quả bạn có là con số hiện ra, nghĩa là bạn nhận được một con số bằng với con số mà súc sắc hiện ra: bạn nhận được 1 nếu súc sắc đổ ra số 1, bạn nhận được 2 nếu súc sắc đổ ra số 2. Khi đó, hàm số bình phương của trị trung bình kỳ vọng sẽ là (1+2+3+4+5+6 chia cho 6)2, bằng 3,52, nghĩa là bằng 12,25. Như vậy hàm số theo trị trung bình bằng 12,25.

Nhưng trị trung bình của hàm số là như sau. Lấy bình phương của mọi kết quả, 12+22+32+42+52+62 chia cho 6, nghĩa là trị trung bình của giá trị bình phương, và bạn thấy trị trung bình của hàm số bằng 15,17.

Như vậy, vì hàm bình phương là một hàm lồi, nên trị trung bình của bình phương sẽ cao hơn so với bình phương của trị trung bình. Mức chênh lệch giữa 15,17 và 12,25 là cái mà tôi gọi là lợi ích ngầm của khả năng cải thiện nghịch cảnh, ở đây bằng 24 phần trăm.

Có hai loại độ lệch: thứ nhất là hiệu ứng lồi cơ bản, dẫn đến nhầm lẫn giữa trị trung bình của biến số (ở đây là 3,5), và hàm số (lồi) theo biến số (ở đây là 15,17); và thứ hai, rắc rối hơn, là nhầm lẫn giữa trị trung bình của hàm số (15,17) và hàm số theo trị trung bình (12,25). Độ lệch thứ hai tiêu biểu cho khả năng chọn lựa.

Người nào có kết quả tuyến tính thì cần phải đoán đúng hơn 50 phần trăm cơ hội. Người nào có kết quả lồi thì chỉ cần đoán đúng ít hơn. Lọi ích ngầm ẩn của khả năng cải thiện nghịch cảnh nằm ở chỗ, bạn vẫn có thể dự đoán kém hơn so với ngẫu nhiên nhưng vẫn đạt kết quả cao. Đây là sức mạnh của khả năng chọn lựa: hàm số theo biến số của bạn có dạng rất lồi, nên bạn có thể dự đoán sai mà vẫn đạt kết quả tốt; tình hình càng bấp bênh bất trắc càng tốt.

Đây là lý do tôi nói bạn có thể khờ khạo nhưng có khả năng cải thiện nghịch cảnh và vẫn có thể làm ăn khấm khá.

“Độ lệch lồi” ngầm ẩn xuất phát từ một thuộc tính toán học gọi là bất đẳng thức Jensen. Đây chính là những gì mà dòng thuyết giảng chung về phát minh đổi mới vẫn thường bỏ sót. Nếu bạn bỏ qua độ lệch lồi, bạn sẽ bỏ sót những gì làm cho thế giới phi tuyến tính xoay vần. Và trên thực tế, ý tưởng này đang bị bỏ sót trong hoạt động thảo luận chung. Thật đáng tiếc.97

Làm thế nào biến vàng thành bùn: hòn đá luyện đan nghịch đảo

Thử xem lại ví dụ trên đây bằng một hàm số căn bậc hai (hàm nghịch đảo của hàm bình phương, có dạng lõm, nhưng ít lõm hơn so với hàm bình phương có dạng lồi).

Căn bậc hai của trị trung bình kỳ vọng là

bằng

bằng 1,87. Hàm số theo trị trung bình bằng 1,87.

Nhưng trị trung bình của hàm số là như sau. Lấy căn bậc hai của từng kết quả, cộng lại rồi chia cho 6,

, nghĩa là trị trung bình của căn bậc hai, ta thấy trị trung bình của hàm số bằng 1,80.

Mức chênh lệch này được gọi là “độ lệch lồi âm” (hay “độ lệch lõm” nếu như bạn là một người chặt chẽ về ngôn ngữ). Thiệt hại ngầm ẩn của tính mỏng manh là ở chỗ, bạn cần phải dự báo và biết mình sẽ đi về đâu một cách giỏi hơn rất nhiều so với ngẫu nhiên, thì mới bù trừ được tác động tiêu cực.

Tôi xin tóm tắt lập luận: nếu bạn có tính phi đối xứng thuận lợi, hay hiệu ứng lồi dương, các quyền chọn là một trường hợp đặc biệt, thì trong dài hạn bạn sẽ khấm khá một cách hợp lý, đạt được kết quả cao hơn bình quân khi có tình trạng bất định. Càng bất định, vai trò của khả năng chọn lựa càng có tác dụng hơn, và bạn sẽ đạt được kết quả cao hơn. Thuộc tính này hết sức quan trọng trong cuộc sống.