Phụ lục này chỉ dành cho những người không thích văn chương, và thích xem xét sự việc dưới dạng đồ thị chứ không phải bằng chữ.

HÌNH 19. Đồ thị này giải thích kết quả phi tuyến tính và ý tưởng “càng ít càng tốt”. Khi liều lượng tăng lên vượt quá một mức nhất định, kết quả sẽ đảo ngược. Ta thấy mọi mối quan hệ phi tuyến đều có dạng lồi hay lõm, hay kết hợp cả hai như trong đồ thị này. Đồ thị cũng cho thấy trong những trường hợp phi tuyến tính, việc rút gọn sẽ thất bại: những lý lẽ theo kiểu gọt chân cho vừa giày như “điều này là tốt cho bạn” hay “điều này là xấu” sẽ trở nên sai lầm nghiêm trọng.

Đồ thị cũng giải thích lý do khiến các quy tắc suy nghiệm hình thành từ hoạt động thử nghiệm và sửa sai có vai trò quan trọng vì các quy tắc này không đưa bạn đến chỗ nguy hiểm, như ngôn từ và sự liên tưởng. Lưu ý đồ thị có dạng lồi trong vùng “càng nhiều càng tốt”, có nghĩa là càng tăng liều lượng càng có lợi. Khi vượt quá điểm bão hòa, càng tăng liều lượng càng có hại, và theo ngôn ngữẢrập Levant, vùng này được gọi là

“nhiều thêm thì cũng là giảm đi”(“more of it is like less of it.”)

Cuối cùng, đồ thị cũng cho thấy “sự phát triển tinh vi” (đúng hơn, đó là sự phức tạp nhưng làm ra vẻ phát triển tinh vi) trở nên có hại hơn so với niềm khao khát đơn giản hóa một cách tối ưu của những người thực hành.

Định lý chuyển giao tính mỏng manh:

Theo Định lý chuyển giao tính mỏng manh, ta có:

MỐI QUAN HỆ GIỮA KẾT QUẢ VÀ LIỀU LƯỢNG CÓ DẠNG LỒI

(TRONG MỘT KHOẢNG GIÁ TRI NHẤT ĐINH) ↔ ƯA THÍCH BIẾN ĐỘNG

(CHO ĐẾN MỘT MỨC ĐỘ NHẤT ĐINH)

(biến động và các thuộc tính tương tự khác thể hiện sự hỗn độn, xáo trộn), và

MỐI QUAN HỆ GIỮA KẾT QUẢ VÀ LIỀU LƯỢNG CÓ DẠNG LÕM ↔ KHÔNG THÍCH BIẾN ĐỘNG

ĐỒ THỊ BIỂU DIỄN TÍNH MỎNG MANH

Theo thời gian

HÌNH 20. Biến thiên tính mỏng manh theo thời gian, hai loại mỏng manh. Một chuỗi đại diện. Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn biến thiên kết quả. Đồ thị này có thể áp dụng cho những lĩnh vực bất kỳ: chỉ báo về sức khỏe, sự thay đổi của cải vật chất, hạnh phúc vv… Ta thấy, ta có những lợi ích và biến thiên nhỏ (hay không biến thiên) trong phần lớn thời gian, và chỉ thi thoảng mới những kết quả bất lợi lớn. Tình trạng bất định có thể tác động một cách hết sức khốc liệt. Lưu ý rằng thiệt hại có thể xảy ra bất kỳ lúc nào và lớn hơn nhiều so với lợi ích cộng dồn. Mỏng manh loại 2 (hình bên trái) và mỏng manh loại 1 (hình bên phải) khác nhau ở chỗ: trong loại 2, tình trạng bất định không mang lại kết quả có lợi lớn, trong khi trong loại 1, tình trạng bất định có thể mang lại cả lợi ích lẫn thiệt hại.

HÌNH 21. Hệ thống mạnh mẽ (nhưng không có khả năng cải thiện nghịch cảnh) (hình bên trái): Chỉ có những biến thiên nhỏ hay không có biên thiên theo thời gian. Không bao giò có những biến thiên lớn. Hệ thống có khả năng cải thiện nghịch cảnh (hình bên phải): Tính bất định sẽ mang lại lợi ích nhiều hơn so với thiệt hại; hình này chính xác đối ngược với đồ thị bên trái trong hình 20.

Xem xét theo xác suất

HÌNH 22.Trục hoành biểu diễn kết quả, trục tung biểu diễn xác suất xảy ra kết quả. Đối tượng mạnh mẽ: Các kết quả có giá trị dương và âm nhỏ. Đối tượng mỏng manh (loại 1, hiếm gặp): Có thể mang lại cả kết quả âm lón và dương lón. Tại sao lại hiếm gặp? Tính đối xứng vô cùng hiếm hoi trên thực tế, thế nhưng mọi phân phối thống kê đều có xu hướng giản đơn hóa thông qua sử dụng tính đối xứng. Đối tượng mỏng manh (loại 2): Ta thấy kết quả bất lợi lón, thường ngầm ẩn và không được chú ý tới, trong khi kết quả có lợi thì nhỏ bé. Có tiềm năng xảy ra kết quả bất lợi (đuôi trái) nghiêm trọng, to lón hơn nhiều so với kết quả thuận lợi (đuôi phải), vì đuôi trái dày (béo) hơn so với đuôi phải. Đối tượng có khả năng cải thiện nghịch cảnh: Kết quả có lợi lón (đuôi phải), kết quả bất lợi nhỏ (đuôi trái). Kết quả có lợi lón có nhiều khả năng xảy ra hơn, còn kết quả bất lợi lón ít có khả năng xảy ra hơn (nếu không muốn nói là không thể xảy ra). Đuôi phải (kết quả có lợi) lón hơn đuôi trái.

BẢNG 9. BỐN NHÓM KẾT QUẢ KHÁC NHAU

Hàm phân phối của đối tượng mỏng manh có đuôi trái dày, nên đối tượng mỏng manh nhạy cảm trước những xáo trộn ở bên trái của hàm phân phối xác suất.

HÌNH 23. Định nghĩa tính mỏng manh (đồ thị trái): Tính mỏng manh là vùng diện tích tô bóng, sự gia tăng về lượng của biến phụ thuộc ở đuôi trái ứng với miền giá trị nhỏ hơn một giá trị K nhất định khi phản ứng trước những thay đổi thông số của biến độc lập - chủ yếu là “sự biến động”. Ta xếp các thay đổi này vào nhóm s–, và ta sẽ giải thích về nó nhiều hơn trong phần giải thích dưới đây (tôi xoay xở để che giấu các phương trình).

Định nghĩa khả năng cải thiện nghịch cảnh (đồ thị phải): Đồ thị này không hoàn toàn đối xứng, mà là hình ảnh phản chiếu qua gương cho đuôi phải cộng với tính mạnh mẽ ở đuôi trái. Thông số thay đổi của biến độc lập được gọi là s+.

Điểm then chốt là, tuy chúng ta không thể xác định được phân phối xác suất một cách chính xác, ta vẫn có thể tìm hiểu kết quả của biến phụ thuộc thông qua suy nghiệm nhờ “định lý chuyển giao” trong nghiên cứu của Taleb và Douady (2012). Nói cách khác, ta không cần am hiểu xác suất tương lai của các biến cố, nhưng ta vẫn có thể am hiểu tính mỏng manh trước các biến cố này.

XÂY DỰNG CHIẾN LƯỢC HAI ĐẦU THEO THỜI GIAN

HÌNH 24. Chiến lược hai đầu biểu thị theo thời gian. Hạn chế’ thiệt hại ở mức kết quả tối thiểu, đồng thời duy trì lợi ích không giới hạn.

XÂY DỰNG CHIẾN LƯỢC HAI ĐẦU (BIẾN ĐỔI DẠNG LỒI) VÀ CÁC THUỘC TÍNH CỦA CHIẾN LƯỢC HAI ĐẦU BIỂU THỊ BẰNG XÁC SUẤT

Trình bày ý tưởng chiến lược hai đầu dưới dạng đồ thị.

HÌNH 25. Trường hợp 1, trường hợp đối xứng. Bom thêm độ bất định vào hệ thống sẽ giúp biến đổi hình chuông cao ban đầu với phạm vi kết quả hạn hẹp thành hình chuông thứ hai, thấp hơn nhưng phạm vi kết quả mở rộng hơn. Vì thế‘sẽ dẫn đến sự gia tăng kết quả bất ngờ cả bất lợi lẫn có lợi, cả biến cố Thiên Nga Đen tiêu cực lẫn tích cực.

HÌNH 26. Trường hợp 2 (hình bên trái): Đối tượng mỏng manh. Lợi ích có hạn, thua lỗ to lốn hơn. Gia tăng độ bất định trong hệ thống sẽ làm tăng phần lốn kết quả tiêu cực, nghĩa là chỉ có biến cố Thiên Nga Đen tiêu cực. Trường hợp 3 (hình bên phải): Đối tượng có khả năng cải thiện nghịch cảnh. Gia tăng tính ngẫu nhiên và độ bất định trong hệ thống sẽ làm tăng xác suất xảy ra những kết quả rất thuận lợi, và do đó sẽ làm tăng kết quả kỳ vọng. Nó sẽ dẫn đến kết quả thuận lợi nhiều hơn so vối kết quả bất lợi, mà về mặt toán học, tương đương vối việc làm cho máy bay luôn luôn chỉ đến sớm hơn chứ không đến muộn hơn.

TRÌNH BÀY NHẬN ĐỊNH CỦA TONY BÉO DƯỚI DẠNG TOÁN HỌC: “KHÔNG PHẢI LÀ CÙNG MỘT “TỨ” (“THỨ”, VÌ ANH NÓI NGỌNG), HAY SỰ ĐÁNH ĐỒNG GIỮA BIẾN CỐ VÀ SỰ LIÊN LỤY VỚI BIẾN CỐ

Phần này cũng giải thích việc “biến đổi dạng lồi.”

f(x) là hàm số biểu thị mức độ liên lụy với biến số x. Nói cách khác, hàm f(x) có thể gọi là “kết quả xảy ra phụ thuộc vào biến số x”, hay “độ liên lụy với biến số x”, hay “độ thỏa dụng của kết quả phụ thuộc vào biến số x”, trong đó, ta trình bày f là một hàm thỏa dụng, và x có thể là một biến độc lập bất kỳ.

Ví dụ: x là cường độ động đất ở một mức độ nhất định trong một vùng cụ thể, f(x) là số người chết do động đất. Ta dễ dàng thấy, hàm f(x) dễ dự đoán hơn so với biến số x, (nếu ta di dời dân chúng ra xa một vùng cụ thể hay xây dựng những tiêu chuẩn an toàn nhất định vv…)

Ví dụ: x là số mét ứng với độ cao tôi rơi xuống mặt đất khi ai đó xô tôi từ độ cao x, f(x) biểu thị tình trạng sức khỏe của tôi do tác động của cú roi. Rõ ràng tôi không thể dự đoán x (ai sẽ đẩy tôi ở độ cao nào), nhưng tôi có thể dự đoán được f(x).

Ví dụ: x là số xe ô tô ở thành phố New York vào trưa mai, f(x) là thời gian đi lại từ điểm A đến điểm B của một tác nhân nào đó. Dự đoán f(x) dễ hơn dự đoán x (thử đi xe điện ngầm, hay tốt hơn nên đi bộ).

Có những người nói về f(x) nhưng tưởng rằng họ đang nói về x. Đó là đánh đồng giữa biến cố và sự liên lụy với biến cố. Sai lầm này thể hiện qua tư tưởng của Aristotle và cũng tràn ngập trong triết lý về xác suất (ví dụ như Hacking).

Ta có thể trở nên có khả năng cải thiện nghịch cảnh trước biến số x mà không cần phải am hiểu x, thông qua dạng lồi của hàm số f(x).

Giải đáp cho câu hỏi “Bạn làm gì trong một thế giới mà bạn không am hiểu?” đơn giản là, xây dựng trạng thái đáng mong đợi của hàm f(x).

Điều chỉnh hàm f(x) thường dễ dàng hơn so với việc am hiểu tường tận biến số x. (Nói cách khác, làm sao để trở nên mạnh mẽ thì dễ dàng hơn so với việc dự báo biến cố Thiên Nga Đen.)

Ví dụ: Giả sử tôi có một tài sản tài chính và tôi mua bảo hiểm để bảo hiểm cho trường hợp giá trị thị trường của tài sản (ở đây là biến số x) rót xuống dưới 20 phần trăm, hàm f(x) sẽ không phụ thuộc vào vùng phân phối xác suất của biến x ứng với những giá trị dưới 20 phần trăm và không bị tác động trước sự thay đổi độ lớn thông số trong vùng này. (Đây là ví dụ về một chiến lược hai đầu.)

HÌNH 27. Biến đổi dạng lồi (f(x) là một hàm lồi theo x). Sự khác biệt giữa x và sự liên lụy với x. Trong đồ thị thứ hai, không có kết quả bất lợi. Vấn đề chủ yếu là điều chỉnh hàm f(x) sao cho hiểu biết của chúng ta về thuộc tính của x ở phía bên trái hàm phân phối không còn quan trọng nữa. Hoạt động này được gọi là biến đổi dạng lồi, ở đây được gọi là “chiến lược hai đầu.”

Ngụy biện gỗ xanh: Khi người ta nhầm lẫn hàm f(x) với một hàm số khác, g(x), hàm này có các thuộc tính lồi khác.

Giải thích bằng toán học chi tiết hơn: Nếu một đối tượng có khả năng cải thiện nghịch cảnh trước một biến số x, thì phương sai của x (hay độ biến thiên, hay các đại lượng khác đo lường độ biến động của x) sẽ có lợi cho hàm f(x), vì hàm phân phối bị lệch nên trị trung bình phụ thuộc vào phương sai, và khi hàm phân phối lệch phải, trị trung bình kỳ vọng của nó sẽ tăng theo phương sai (ví dụ, với hàm lognormal, trị trung bình có chứa số hạng + ½ σ2).

Hơn nữa, phân phối xác suất của hàm f(x) khác biệt đáng kể so với phân phối xác suất của x, nhất là trong những trường họp phi tuyến.

Khi f(x) có dạng lồi (lõm) đơn điệu, phân phối xác suất của f(x) sẽ lệch phải (trái).

Khi f(x) tăng dần và có dạng lồi rồi đến dạng lõm khi đi từ trái sang phải (của trục hoành), phân phối xác suất của f(x) sẽ có đuôi mỏng hơn so với phân phối xác suất của x. Ví dụ, theo lý thuyết triển vọng (prospect theory) của Kahnenman-Tversky, cái gọi là độ thỏa dụng của thay đổi của cải sẽ “mạnh mẽ” hơn so với độ thỏa dụng của của cải.

Tại sao kết quả quan trọng hơn so với xác suất (giải thích bằng toán học): Gọi p(x) là hàm mật độ, giá trị kỳ vọng J f(x)p(x)dx sẽ phụ thuộc tăng dần theo hàm f chứ không phải theo hàm p, và hàm f càng phi tuyến, thì giá trị kỳ vọng càng phụ thuộc vào f nhiều hơn so với p.

GÓC TỌA ĐỘ THỨ TƯ (TALEB, 2009)

Ý tưởng ở đây là: ta không thể tính toán được các biến cố đuôi (trong những lĩnh vực có đuôi béo), nhưng ta có thể đánh giá sự liên lụy với rủi ro biến cố. Giả định f(x) là một hàm tăng dần, bảng 10 liên hệ ý tưởng này với khái niệm góc tọa độ thứ tư.

BẢNG 10

LỒI CỤC BỘ VÀ LỒI TOÀN THỂ (TOÁN HỌC)

Trong tự nhiên, không thứ gì có kết thúc mở: cái chết là thiệt hại tối đa cho một thực thể. Vì thế, sự việc cuối cùng sẽ có dạng lồi ở cực này, có dạng lõm ở cực kia.

Thật ra, hệ sinh vật có một mức thiệt hại tối đa. Ta hãy xem lại mối quan hệ có dạng lõm về phía dưới trong câu chuyện tảng đá to và nhiều hòn đá nhỏ trong chương 18: mở rộng phạm vi, ta thấy mức độ thiệt hại có dạng lồi. Mối quan hệ lõm là chi phối, nhưng có tính cục bộ. Hình 28 xem xét tính liên tục của câu chuyện tảng đá to và nhiều hòn đá nhỏ.

HÌNH 28. Đồ thị bên trái trình bày phạm vi rộng hơn của câu chuyện tảng đá to và nhiều hòn đá nhỏ trong chương 18. Đến một điểm nào đó, dạng lõm về phía dưới chuyển thành dạng lồi về phía dưới khi ta đạt đến giá trị thiệt hại tối đa. Đồ thị bên phải trình bày khả năng cải thiện nghịch cảnh mạnh, không có giới hạn trên (dẫn đến Ngẫu nhiên cực độ). Các kết quả thưởng phạt này chỉ có trong các biến số kinh tế, ví dụ như doanh số bán sách, hay những vấn đề không có giới hạn hoặc gần như không có giới hạn. Tôi không thể tìm được một kết quả như vậy trong tự nhiên.

HÌNH 29. Khả năng cải thiện nghịch cảnh yếu (Ngẫu nhiên bình thường), với kết quả tối đa có hạn. Thường thấy trong tự nhiên.

CÁC TRƯỜNG HỢP PHI TUYẾN TÍNH KHÁC THƯỜNG (CHUYÊN SÂU TOÁN HỌC)

Hai trường họp phi tuyến tính tiếp theo gần như không bao giờ ta gặp phải bên ngoài các biến số kinh tế; chúng chỉ xuất hiện trong phạm vi những tình huống do chứng khoán phái sinh gây ra.

HÌNH 30. Đồ thị bên trái trình bày một hàm tăng dần có dạng lõm về phía dưới rồi đến lồi về phía dưới, trái với các hàm biểu thị kết quả theo liều lượng có giới hạn mà ta thấy trong tự nhiên. Nó dẫn đến tính mỏng manh loại 2 (đuôi rất béo). Đồ thị bên phải biểu thị trường hợp nguy hiểm nhất: lồi giả hiệu. Khả năng cải thiện nghịch cảnh cục bộ, nhưng tính mỏng manh toàn cầu.

PHI TUYẾN TÍNH TRONG Y HỌC VÀ BIỂU THỊ DƯỚI DẠNG XÁC SUẤT (CHƯƠNG 21 VÀ 22)

HÌNH 31. Thiệt hại do người điều trị gây ra trong y học: Trường hợp lợi ích nhỏ và thiệt hại lớn kiểu biến cố Thiên Nga Đen, được trình bày dưới dạng xác suất. Hiện tượng lợn lành chữa thành lợn què xảy ra khi ta có lợi ích nhỏ bé dễ nhận thấy (ví dụ như tránh cảm giác khó chịu khi bị bệnh nhẹ) và liên lụy với biến cố Thiên Nga Đen do tác dụng phụ khó thấy và chưa xảy ra ngay (ví dụ như cái chết). Mối quan hệ có dạng lõm của kết quả điều trị này cũng tương tự như việc bán một quyền chọn tài chính (đầy rủi ro) dựa vào lợi nhuận ít ỏi tức thời mà rêu rao là “bằng chứng cho thấy không có thiệt hại”.

Tóm lại, đối với một người khỏe mạnh, xác suất xảy ra kết quả thảm khốc thì nhỏ (xác suất giảm do người ta không nhìn thấy và không xem xét đến biến cố), trong khi lợi ích ít ỏi lại có xác suất xảy ra cao.

HÌNH 32. Phi tuyến tính trong sinh học. Dạng lồi về phía dưới rồi đến lõm về phía dưới nhất thiết gắn liền với những hàm tăng dần (đơn điệu, nghĩa là không bao giờ giảm dần), và có giới hạn, với các giá trị tối đa và tối thiểu, nghĩa là không có phía nào tiến tới vô hạn. Ở những mức thấp, mối quanhệ giữa kết quả và liều lượng có dạng lồi về phía dưới (tăng dần liều lượng sẽ dần dần trở nên hiệu nghiệm hơn). Đến một lúc nào đó, tăng thêm liều lượng sẽ có xu hướng trở nên dần dần hết hiệu nghiệm, hay bắt đầu gây hại. Mối quan hệ này cũng áp dụng việc tiêu thụ bất kỳ thứ gì quá đều đặn. Loại đồ thị này nhất thiết áp dụng cho mọi tình huống có giới hạn ở cả hai phía, có giá trị tối đa và tối thiểu (bão hòa), kể cả hạnh phúc.

Ví dụ, nếu ta nghĩ rằng có tồn tại một mức hạnh phúc và bất hạnh tối đa, thì dạng tổng quát của đường biểu diễn có dạng lồi ở bên trái và lõm ở bên phải này ắt phải áp dụng cho hạnh phúc (thay “liều lượng” bằng “của cải” và “kết quả” bằng “hạnh phúc”). Lý thuyết triển vọng của Kahneman-Tversky lập mô hình một dạng tương tự cho “độ thỏa dụng” của sự thay đổi của cải vật chất, mà họ đã chứng minh bằng thực nghiệm.

HÌNH 33. Nhớ lại ví dụ về chứng cao huyết áp. Trên trục tung, ta biểu thị lợi ích của việc điều trị; trên trục hoành, ta biểu thị mức độ nghiêm trọng của chứng bệnh. Mũi tên chỉ vào mức mà ở đó lợi ích khả dĩ bằng với thiệt hại khả dĩ. Vì hàm số có dạng phi tuyến tính (lồi) theo độ nghiêm trọng của bệnh tật, nên thiệt hại do người điều trị gây ra sẽ biến mất khi độ nghiêm trọng tăng lên. Điều này ngụ ý rằng khi bệnh nhân bị bệnh rất nặng, hàm phân phối sẽ dịch chuyển về phía khả năng cải thiện nghịch cảnh (đuôi phải sẽ dày hơn), lợi ích nhờ điều trị sẽ lớn hơn nhiều so với thiệt hại khả dĩ do người điều trị gây ra, chẳng có gì để mất.

Lưu ý rằng nếu tăng điều trị, vượt quá mức lợi ích tối đa, bạn sẽ vào vùng có dạng lõm, vùng này không được vẽ trên đồ thị - xét tổng quát hơn, nó giống như trong dồ thị trên.

HÌNH 34. Đồ thị trên biểu diễn liệu pháp tăng cường sức khỏe nhờ độc tố liều nhỏ cho vật thể sống (liệu pháp Hormesis) (tương tự như hình 19): Ta có thể thấy giai đoạn hưởng lợi khi liều lượng gia tăng (thoạt đầu đường biểu thị có dạng lồi), rồi chuyển sang giai đoạn thiệt hại khi ta tăng liều lượng thêm một ít (đường biểu diễn bắt đầu có dạng lõm); rồi ta thấy đường biểu thị trở nên gần như nằm ngang ở mức thiệt hại tối đa (vượt quá một mức nhất định, vật thể sống sẽ bị chết, nên ta có tình huống xấu nhất, có giới hạn, và biết trước trong sinh học). Trong đồ thị bên phải, đường biểu diễn sai về liệu pháp Hormesis trong các sách giáo khoa y khoa cho thấy thoạt đầu có dạng lõm xuống dưới, trong đó đoạn đầu trông giống như đường thẳng, hay hoi lõm.

VẤN ĐỀ GÀ TÂY NGHỊCH ĐẢO

HÌNH 35. Khả năng cải thiện nghịch cảnh, vấn đề gà tây nghịch đảo: Biến cố hiếm hoi không biết trước là tích cực, có lợi. Khi bạn nhìn vào một hệ thống có phân phối lệch phải (có khả năng cải thiện nghịch cảnh) và suy luận về những biến cố không biết trước, bạn bỏ sót những kết quả tốt và ước lượng quá thấp lợi ích (Pissano, 2006a, 2006b, sai lầm). Trong đồ thị bên phải là một vấn đề Harvard khác, vấn đề của Froot (2001). Vùng tô đậm tương ứng với những gì ta có xu hướng không nhìn thấy trong những mẫu nhỏ, do thiếu các điểm quan sát. Điều thú vị là, diện tích vùng tô màu tăng lên theo sai số mô hình. Trong những phần trình bày chuyên sâu về toán học hơn, ta gọi vùng này là ωB(gà tây) và ωC (gà tây nghịch đảo).

KHÁC BIỆT GIỮA ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM VÀ PHÂN PHỐI

Ta hãy áp dụng phân tích này để xem thử những người lập kế hoạch phạm sai lầm như thế nào, và tại sao thâm hụt ngân sách có xu hướng tệ hơn so với dự toán.

HÌNH 36. Khoảng cách giữa dự đoán và thực tế: Phân phối xác suất kết quả chi phí dự án trong suy nghĩ của các nhà lập kế‘hoạch dự án (hình bên trái) và trên thực tế’ (hình bên phải). Trong đồ thị bên trái, họ giả định rằng chi phí dự án vừa thấp vừa khá chắc chắn. Đồ thị bên phải cho thấy kết quả tệ hơn và trải rộng hơn, đặc biệt là triển vọng xảy ra kết quả bất lợi nhiều hơn. Lưu ý tính mỏng manh gia tăng do đuôi trái phồng ra.

Việc hiểu sai tác động của tính bất định này áp dụng cho thâm hụt ngân sách chính phủ, việc lên kế’ hoạch trong đó có yếu tố công nghệ thông tin, thời gian đi lại (ở mức độ ít hơn), và nhiều lĩnh vực khác. Ta sẽ sử dụng đồ thị này để trình bày sai số mô hình do ước lượng quá thấp tính mỏng manh thông qua giả định rằng một thông số nào đó là hằng số, trong khi thật ra nó có tính ngẫu nhiên. Đây là một căn bệnh dịch lan tràn trong kinh tế’ học dưới sự dẫn dắt của các quan chức quan liêu (thảo luận trong phần tiếp theo).